高中數(shù)學(xué)函數(shù)值域求法探究

但漢光

（重慶市合川瑞山中學(xué)，重慶）

一、配方法的解題方式

不同的函數(shù)有不同的求值域的方法，在面對(duì)一個(gè)函數(shù)的時(shí)候，抓住這個(gè)函數(shù)的特點(diǎn)，選取正確的解題思路，這樣做題不僅效率高，而且準(zhǔn)確。當(dāng)所求函數(shù)是一個(gè)二次函數(shù)或者可以化成二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的時(shí)候，可以利用配方法進(jìn)行解題。這其實(shí)就是y=ax2+bx+c（a≠0）或者F（x）=a［f（x）］2+bf（x）+c（a≠0）這樣形式的函數(shù)。

這道題的解題思路就是將根號(hào)中被開方的數(shù)變成一個(gè)平方數(shù)，再利用這個(gè)二次函數(shù)的值求出函數(shù)值域。將根號(hào)當(dāng)中的-x2-6x-5設(shè)為函數(shù)A，則原來(lái)的y就變?yōu)榘袮進(jìn)行配方，得出所以得到 0≤A≤4，因而［0，2］，最后就得出答案的值域是［0，2］。

在對(duì)函數(shù)的值域進(jìn)行求解的時(shí)候，不僅僅要注意對(duì)應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用，同時(shí)也要注意定義域和值域之間制約的關(guān)系，配方法是一種思路，也是一種思維方法。

二、利用判別式的解題方法

函數(shù)三要素為函數(shù)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則，定義域和值域?qū)瘮?shù)有很重要的決定作用，通過(guò)定義域和對(duì)應(yīng)法則可以確定值域的范圍。對(duì)于值域的求解是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在面對(duì)題目所給函數(shù)可以化成關(guān)于某個(gè)變量的二次方程的無(wú)理函數(shù)或者分式函數(shù)的時(shí)候，利用判別式“△”進(jìn)行值域的求解是一種很好的方法。這就要求這個(gè)所給函數(shù)的形式應(yīng)該是分?jǐn)?shù)的形式，分子和分母都是二次式而且沒(méi)有公約式，分母的二次項(xiàng)也不可以是0，函數(shù)的定義域需要是R，這樣的函數(shù)的一般形式就是

這道題目的思路就是將這個(gè)分式函數(shù)化為等式，討論x2的系數(shù)是否是0，從而進(jìn)一步得到y(tǒng)的范圍，也就是所要求的函數(shù)值域的范圍。由題目得到y(tǒng)x2+yx+y-x-1=0，則對(duì)于yx2+（y-1）x+y-1=0這個(gè)式子一定有實(shí)數(shù)根。當(dāng)y=0的時(shí)候，-x-1=0，得出x=-1；當(dāng) y≠0 的時(shí)候，（y-1）2-4y（y-1）≥0，綜上所述，得到這就是題目所要求的值域的范圍。

將函數(shù)的關(guān)系變成二次方程，因?yàn)榉匠淌怯袑?shí)數(shù)解的，所以它的判別式是一個(gè)大于等于0的非負(fù)數(shù)，從而可以進(jìn)一步求出函數(shù)的值域范圍。

三、利用數(shù)形結(jié)合畫出圖象進(jìn)行解題

大多數(shù)函數(shù)都有能夠畫出來(lái)的圖象，圖象能夠直觀地表現(xiàn)出函數(shù)的特點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合的方法就是將函數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化變成圖象問(wèn)題、幾何問(wèn)題，讓思路變得更加清晰，更加容易理解，從函數(shù)的圖象中得到函數(shù)的值域。在面對(duì)有很強(qiáng)的幾何意義的函數(shù)的時(shí)候，可以利用這種數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)進(jìn)行解題，就好比看到這個(gè)式子表示的是（x1，y1）和（x2，y2）兩個(gè)點(diǎn)連線的斜率。

比如，看這樣一道數(shù)學(xué)題目：求出函數(shù)y=|x-1|+|x+4|的值域。

這道題目的思路就是將這個(gè)函數(shù)變成分段函數(shù)，畫出圖象。將題目所給的函數(shù)變?yōu)榉侄魏瘮?shù)，得到y(tǒng)=-2x-3（x≤-4）、y=5（-4＜x＜1）、y=2x+3（x≥1）三個(gè)式子，將這三個(gè)函數(shù)用圖象表示出來(lái)得到y(tǒng)≥5，所以，題目所給的函數(shù)的值域是y∈［5，+∞）。

對(duì)于分段函數(shù)繪制圖象的時(shí)候，要注意函數(shù)的端點(diǎn)是否有取值，利用函數(shù)表示的圖象得到函數(shù)值域的范圍，彰顯著數(shù)形結(jié)合的思維，是解決這一類問(wèn)題的一種重要的方法。

四、利用不等式進(jìn)行求解

構(gòu)造可以利用基本不等式使用條件的函數(shù)形式，利用不等式進(jìn)行解題，不僅僅體現(xiàn)在這樣的題目當(dāng)中，數(shù)學(xué)中還有很多題目都需要這樣的解題思路。

綜上所述，在現(xiàn)當(dāng)代教育模式的大背景下，高中數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行函數(shù)值域的教學(xué)過(guò)程中，要堅(jiān)持做到以上幾大方面，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，加強(qiáng)他們數(shù)學(xué)函數(shù)的應(yīng)用能力，在提高教師自身教學(xué)水平的同時(shí)，也讓學(xué)生的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生活充實(shí)且富有意義。