從一道習(xí)題來看動(dòng)點(diǎn)問題

廖玉勝

動(dòng)態(tài)問題不僅是近幾年中考的熱點(diǎn)問題，而且是對(duì)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)能力的檢驗(yàn)手段之一。動(dòng)態(tài)問題是以幾何知識(shí)和圖形為背景，滲入運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)的一類試題。幾何圖形中的點(diǎn)與線的運(yùn)動(dòng)，就形成了數(shù)學(xué)中的動(dòng)態(tài)問題。動(dòng)態(tài)問題基本上可以分三種：動(dòng)點(diǎn)問題、動(dòng)線問題和動(dòng)形問題。實(shí)際上初中階段出現(xiàn)最多的只是動(dòng)點(diǎn)問題。怎么讓學(xué)生很好地解決動(dòng)點(diǎn)問題，還需要我們教師加強(qiáng)探索研究，巧妙地引導(dǎo)學(xué)生分析，發(fā)現(xiàn)一些適合自己解決問題的辦法。一般地：不被“動(dòng)”所迷惑，善于在“動(dòng)”中尋找相對(duì)的“靜”，即：抓住運(yùn)動(dòng)中的某一“極端點(diǎn)”（瞬間點(diǎn)），發(fā)揮空間想象能力，分析“動(dòng)”與“靜”的內(nèi)在聯(lián)系，尋求解決問題的途徑。對(duì)于多數(shù)學(xué)生來說完成這類試題是比較困難的，但是，只要教師能從生活實(shí)例出發(fā)，將動(dòng)點(diǎn)問題實(shí)際背景化，讓學(xué)生看得見摸得著，是完全可以達(dá)到預(yù)期效果的。下面就從類似課本上的一道習(xí)題來探究解決動(dòng)點(diǎn)問題的基本辦法。

習(xí)題：動(dòng)車路線MN和高速公路PQ在點(diǎn)O處交匯，兩條道路成30°的夾角，高速公路上A處有一所福利院，距離交叉處O有200 m。動(dòng)車行駛時(shí)，周圍200 m以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，當(dāng)動(dòng)車在路線MN上沿ON方向行駛時(shí)，福利院是否會(huì)受到噪音的影響？如果動(dòng)車行駛的速度為280 km/h，試求出福利院受到影響的時(shí)間?。ńY(jié)果保留整數(shù)）

先思考臺(tái)風(fēng)運(yùn)動(dòng)問題：2018年“HK”臺(tái)風(fēng)（強(qiáng)熱帶風(fēng)暴）的中心在距離SY市東偏北約370多公里海面上，附近最大風(fēng)力為10級(jí)（風(fēng)速25米/秒），臺(tái)風(fēng)運(yùn)動(dòng)的半徑大約為110—130公里。估計(jì)“HK”臺(tái)風(fēng)將以每小時(shí)15公里左右的速度向西偏北方向移動(dòng)，強(qiáng)度會(huì)繼續(xù)加強(qiáng)，最強(qiáng)可達(dá)風(fēng)級(jí)12級(jí)（風(fēng)速30米/秒左右）。然后臺(tái)風(fēng)將適當(dāng)改變方向繼續(xù)向前移動(dòng)。

一、引導(dǎo)分析：臺(tái)風(fēng)本身就是一個(gè)圓形，它在運(yùn)動(dòng)過程中就會(huì)留下寬度為近300公里的一個(gè)影響帶，如果某地在它經(jīng)過留下的影響帶中，就會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響。實(shí)際上我們就將臺(tái)風(fēng)運(yùn)動(dòng)痕跡轉(zhuǎn)化成了相對(duì)靜止的一個(gè)“帶狀”圖形。

二、學(xué)生發(fā)現(xiàn)：臺(tái)風(fēng)是以臺(tái)風(fēng)中心為圓心，以某一長度為危害半徑的運(yùn)動(dòng)圓，這就是動(dòng)態(tài)圓。那么，習(xí)題中的問題也可以理解為：動(dòng)車沿鐵路行走過程中，就相當(dāng)于臺(tái)風(fēng)運(yùn)動(dòng)；影響范圍為200m，也就是一個(gè)寬度為200m的帶狀圖形，點(diǎn)A（福利院）就在這個(gè)運(yùn)動(dòng)圓留下的痕跡內(nèi)（圖1）。動(dòng)車是以一個(gè)圓形在向前“動(dòng)”，我們是不好求出點(diǎn)A受影響的時(shí)間的。那么逆向思考：我們將福利院和動(dòng)車都看成一個(gè)點(diǎn)，比較點(diǎn)A與動(dòng)車的距離，如果兩點(diǎn)的距離大于200m，那么福利院就不會(huì)受到影響。

三、問題解決：因?yàn)楦＠菏遣弧皠?dòng)”的。因此我們可以以A點(diǎn)為圓心，200m為半徑作圓（圖2），觀察動(dòng)車是否進(jìn)入圓中。我們把動(dòng)車轉(zhuǎn)化為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，福利院就是相對(duì)靜止的點(diǎn)。如果動(dòng)車進(jìn)入以A點(diǎn)為圓心，200米為半徑的圓（即：當(dāng)動(dòng)車在OG上時(shí)，也就是動(dòng)車與A的距離小于200m時(shí)），福利院就受影響，因此只要求出OG的長度即可！從而將一個(gè)貌似復(fù)雜的動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生十分熟悉的純幾何問題，這種“轉(zhuǎn)化”也正是初中學(xué)生必須具備的一種能力。

我們所采取的這種分析方法：從實(shí)例出發(fā)，由易到難，盡量避免多數(shù)同學(xué)對(duì)于動(dòng)點(diǎn)問題的畏懼心理?！耙造o制動(dòng)”，即把動(dòng)態(tài)問題變?yōu)殪o態(tài)問題來解決。一般情況下是要抓住變化中的“不變量”，以“靜”制“動(dòng)”。比如近幾年中考中的壓軸題都是動(dòng)點(diǎn)問題與函數(shù)問題、幾何問題相結(jié)合，那么首先你就必須要清楚地了解函數(shù)圖像或幾何圖形的性質(zhì)、特點(diǎn)。動(dòng)點(diǎn)題無非就是要你將所有的點(diǎn)找出來，也就是將動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為靜止的點(diǎn)，根據(jù)題意寫出函數(shù)關(guān)系式或找出與幾何圖形相聯(lián)系的等量關(guān)系，通常這就是變化過程中的一個(gè)基本量；然后就可以把相關(guān)的量都用關(guān)系式表達(dá)出來。這就要求我們必須充分地了解學(xué)過的幾何圖形的概念和性質(zhì)。有時(shí)候也可以試一試某些極端點(diǎn)，很多中考題都是通過極端點(diǎn)，尋求到相對(duì)靜止的狀態(tài)。

綜上所述，動(dòng)點(diǎn)問題一般要求學(xué)生必須要熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)，擁有較強(qiáng)的綜合分析問題的能力，數(shù)形結(jié)合，才能更好地去解決問題。目前，老師運(yùn)用幾何畫板軟件，就可以很好地幫助我們實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)。