傾斜角與斜率

山東省聊城市高唐縣高唐二中學(xué)校 劉艷軍

一、教學(xué)目標(biāo)

1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素。

2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過(guò)程，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式。

3.體會(huì)數(shù)形結(jié)合及分類討論思想在概念形成及公式推導(dǎo)中的作用。

重點(diǎn)：斜率的概念，用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過(guò)程，過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式。

難點(diǎn)：直線的斜率和傾斜角之間的關(guān)系，即用代數(shù)方法推導(dǎo)斜率的過(guò)程。

二、教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題

問(wèn)題1、（出示幻燈片）給出的兩點(diǎn)P、Q相同嗎？

從形的角度看，它們有位置之分，但無(wú)大小與形狀之分。

從數(shù)的角度看，如何區(qū)分兩個(gè)點(diǎn)？（用坐標(biāo)區(qū)分）

問(wèn)題2、過(guò)這兩點(diǎn)可作什么圖形？唯一嗎？只經(jīng)過(guò)其中一點(diǎn)（如點(diǎn)P）可作多少條直線？它們的區(qū)別用什么來(lái)刻畫呢？

若只想定出其中的一條直線，除了再用一點(diǎn)外，還有其他方法嗎？可以增加一個(gè)什么樣的幾何量？（估計(jì)不少學(xué)生能意識(shí)到需要有一個(gè)角）

由此引導(dǎo)學(xué)生歸納，確定直線位置可有兩種方式

（1）已知直線上兩點(diǎn)

（2）已知直線上一點(diǎn)和直線的傾斜程度

問(wèn)題3、角的形成還需一條線，也就是說(shuō)要有刻畫傾斜程度的角，就必須還有一條形成角的參照的直線。在平面直角坐標(biāo)系下，以哪條軸線為基準(zhǔn)形成刻畫傾斜程度的角？（學(xué)生可能回答x軸或y軸）

以x軸或y軸為基準(zhǔn)都可以，習(xí)慣上我們用x軸。

問(wèn)題4、過(guò)點(diǎn)P與x軸形成450角的直線有幾條？

（學(xué)生可能答一條或兩條，投影演示結(jié)果）如何區(qū)分清楚這兩條直線呢？估計(jì)學(xué)生能想到還需要確定方向。

選擇哪個(gè)角來(lái)描述直線的傾斜程度，就能保證坐標(biāo)系下的任何一條直線都有唯一的角與它對(duì)應(yīng)呢？

（教師引導(dǎo)學(xué)生選取不同的方向來(lái)描述角，并區(qū)分L1與L2）。

數(shù)學(xué)概念來(lái)刻畫事物時(shí)，講求統(tǒng)一美與簡(jiǎn)潔美，如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確描述這個(gè)角呢？（揭示課題）

1.傾斜角的定義：在直角坐標(biāo)系下，以x軸為基準(zhǔn)，當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α，叫做直線l的傾斜角。

學(xué)生練習(xí)畫出過(guò)點(diǎn)P的各種傾斜角的直線。

學(xué)生容易忽略與x軸平行的直線，補(bǔ)出圖（4），問(wèn)傾斜角在哪兒？如何規(guī)定？

規(guī)定：當(dāng)直線l與c軸平行或重合時(shí)，它的傾斜角為0°。

（1）討論一下幾個(gè)問(wèn)題

①直線傾斜角的范圍是多少？

②在平面直角坐標(biāo)系中，每一條直線都有確定的傾斜角嗎？

③傾斜角相同的直線相同嗎？

自然有傾斜角的范圍是[0°，180°）

這樣平面直角坐標(biāo)系中每條直線都有唯一一個(gè)確定的傾斜角α與它對(duì)應(yīng)。傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等，傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等。

以上定義了一個(gè)從“形”的角度用傾斜角刻畫平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一條直線的傾斜程度。

（二）鞏固舊知，同化新知

生活中，我們都有過(guò)爬山、爬坡的體驗(yàn)，對(duì)于斜坡的傾斜程度，可以用什么量來(lái)反映？（坡角與坡度）初中對(duì)坡度是如何定義的？

當(dāng)坡角α增大時(shí)，坡度如何變化？

當(dāng)坡角α=90°與0°時(shí)，升高量、前進(jìn)量分別是什么？坡度又分別是什么？

坡角、坡度都能反映傾斜程度，遷移到數(shù)學(xué)中，坡角相當(dāng)于直線的傾斜角，而坡度則對(duì)應(yīng)于直線的斜率。

2.斜率：傾斜角不是90°的直線，其傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率。即k= t an α ( α ≠ 9 0°)

問(wèn)題5、當(dāng)α為鈍角時(shí)，直線的斜率如何求？（轉(zhuǎn)化到其補(bǔ)角θ上）

問(wèn)題6、當(dāng)α在[0°，180°）內(nèi)變化時(shí)，斜率k如何變化？

問(wèn)題7、傾斜角與斜率都能刻畫直線的傾斜程度，哪個(gè)量更優(yōu)越呢？

傾斜角能從形的角度刻畫傾斜程度，而斜率是比值，實(shí)質(zhì)是數(shù)值，它能從數(shù)的角度反映傾斜的程度，顯然用斜率更細(xì)致入微些。

（三）嘗試推導(dǎo)，深化認(rèn)識(shí)

兩點(diǎn)確定一條直線，可見由兩點(diǎn)也就確定了直線的傾斜程度，即傾斜角與斜率。看來(lái)，直線上兩點(diǎn)與直線的斜率有著密不可分的聯(lián)系。

問(wèn)題8、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線上兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）且x1≠x2，能否用P1、P2的坐標(biāo)來(lái)表示直線斜率k？

（學(xué)生活動(dòng)）：隨意在坐標(biāo)系下畫兩點(diǎn)P1、P2及直線P1P2，探究各種圖形并嘗試推導(dǎo)，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分析。教師可適當(dāng)引導(dǎo)其將斜坡截面圖遷移到坐標(biāo)系中，類似升高量，前進(jìn)量，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段長(zhǎng)，并請(qǐng)同學(xué)敘述各個(gè)圖的推導(dǎo)過(guò)程與結(jié)果。

解：設(shè)直線P1P2傾斜角為α（α≠ 9 0°）當(dāng)直線P1P2方向向上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P1作 軸的平行線，過(guò)點(diǎn)P2作 軸的平行線，兩線交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q為（x2，y1）

（1）當(dāng)α 為銳角時(shí)，α=∠QP1P2，x1＜x2，y1＜y2

在RtΔP1P2Q中，

（2）當(dāng)α 為鈍角時(shí)，α = 1 80°-θ（設(shè)∠QP1P2=θ），x1＜x2，y1＜y2,tan α = t an(180°- θ ) = -tan θ

在RtΔP1P2Q中，（可讓學(xué)生分組推導(dǎo)）

同理，當(dāng)直線P2P1方向向上時(shí)，無(wú)論α為銳角或鈍角，也有即

思考：1、各種一般情形得出的結(jié)論一致嗎？與P1、P2這兩點(diǎn)坐標(biāo)順序有關(guān)系嗎？

2、當(dāng)直線垂直于x軸或y軸時(shí)，上述結(jié)論適用嗎？

3、斜率公式使用時(shí)應(yīng)注意什么問(wèn)題？

鞏固練習(xí)：求經(jīng)過(guò)下列兩點(diǎn)直線的斜率，并判斷傾斜角是銳角還是鈍角。

（2）A（3,2）,B（4,1）（kAB=-1）

（3）A（3,2）,B（3,-1）（不存在）

（4）A（3,2）,B（-4,2）（kAB=0）

（四）反思小結(jié)，概括提煉（同學(xué)們這節(jié)課有何收獲？）

1.明確了確定直線位置的幾何要素。

2.理解了刻畫傾斜程度的量（傾斜角與斜率），知道了求斜率的兩種方法（定義法、坐標(biāo)法）

3.經(jīng)歷了代數(shù)方法刻畫斜率的過(guò)程,感受了數(shù)形結(jié)合與分類討論的數(shù)學(xué)思想

(五)板書設(shè)計(jì)

（六）作業(yè)

①自學(xué)課本 P85：例1、例2；

②作業(yè)本： P89：1、2、3。