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    基于熱力學(xué)熵的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建過程

    2018-02-18 10:36:22梁韻瑾
    中國(guó)科技縱橫 2018年21期
    關(guān)鍵詞:信息熵數(shù)學(xué)模型

    梁韻瑾

    摘 要:熵最初起源于熱學(xué)現(xiàn)象,是描述熱力學(xué)系統(tǒng)分子無序度的狀態(tài)量。隨著對(duì)熱力學(xué)熵研究的不斷深入,熵已經(jīng)逐漸脫離了熱力學(xué)學(xué)科范疇,具有了更深層的信息論、系統(tǒng)論等拓展領(lǐng)域和哲學(xué)韻味。本文試圖從熵的起源、熵的微觀含義、信息論、基于標(biāo)準(zhǔn)化熵的熵權(quán)理論等方面逐步分析、構(gòu)建基于熱力學(xué)熵的數(shù)學(xué)模型,以此加深基于熵理論背后數(shù)學(xué)含義的理解,加強(qiáng)對(duì)熱力學(xué)熵的物理概念和拓展應(yīng)用方面的認(rèn)識(shí)。

    關(guān)鍵詞:熵;統(tǒng)計(jì)熵;信息熵;熵權(quán)理論;數(shù)學(xué)模型

    中圖分類號(hào):U491.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1671-2064(2018)21-0218-02

    1 引言

    熵于1865年由物理學(xué)家克勞修斯首次提出,最初應(yīng)用在傳統(tǒng)熱力學(xué)中,可用于表達(dá)熱力學(xué)系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)。熵作為一個(gè)抽象概念,經(jīng)過一百多年眾多學(xué)者的研究思考,熵的相關(guān)問題在理論上得到了很大突破,同時(shí)基于熵概念構(gòu)建的一系列數(shù)學(xué)模型在應(yīng)用上也滲透到信息學(xué)、社會(huì)科學(xué)、生物學(xué)、哲學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和工程科學(xué)等眾多學(xué)科領(lǐng)域,但在其應(yīng)用泛化的同時(shí),不可避免地也帶來概念和理論上的層次混亂[1],因此梳理熵的發(fā)展歷程,研究基于熱力學(xué)熵的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建過程對(duì)科學(xué)的發(fā)展及應(yīng)用的規(guī)范具有重大現(xiàn)實(shí)意義。

    2 熵的起源

    熵是表征熱力學(xué)系統(tǒng)分子無序度的物理量,具有宏觀定義與微觀定義[2],早在1824年卡諾提出了卡諾機(jī)循環(huán)定理,并說明卡諾熱機(jī)在理想狀態(tài)下時(shí)其高溫吸熱量等于處于低溫狀態(tài)下的放熱量,即,這里Q表示熱機(jī)具有的能量,Tx表示熱機(jī)具有的溫度,其熱溫比前后不變??ㄖZ機(jī)循環(huán)揭示了能量轉(zhuǎn)換的規(guī)律,也為熱力學(xué)第二定律的提出打下了良好基礎(chǔ)。1865年,克勞修斯提出了熱力學(xué)第二定律,表示理想系統(tǒng)在可逆狀態(tài)下時(shí),在不可逆狀態(tài)下時(shí),并定義了熵這一物理量,表征為系統(tǒng)熱量與溫度的比值,即,由于能量不易測(cè)量,故用來表示熵。

    在可逆狀態(tài)下時(shí):

    在不可逆狀態(tài)下時(shí):

    由于在孤立系統(tǒng)中系統(tǒng)不與外界進(jìn)行能量交換,所以△Q=0,即△S≥0,這就是著名的熱力學(xué)第二定律,又名熵增原理,這里的熵叫做熱力學(xué)熵,表示系統(tǒng)中熱量轉(zhuǎn)化為功的程度和能量在空間中分布的均勻程度。這是熵的首次提出,此時(shí)熵只具有熱力學(xué)的宏觀意義,表征熱力學(xué)系統(tǒng)分子混亂度的一個(gè)狀態(tài)量,其大小只與初末態(tài)有關(guān),與所經(jīng)歷的過程無關(guān)。

    3 熵的微觀含義

    熱力學(xué)第二定律系統(tǒng)下的熵不僅具有宏觀定義,而且還具有微觀表述。早在1872年玻爾茲曼便提出了在分子運(yùn)動(dòng)中熵的微觀含義,他定義的統(tǒng)計(jì)熵是在微觀態(tài)上由大量統(tǒng)計(jì)得出的結(jié)果[3],S=klnΩ,其中Ω表示宏觀態(tài)中所對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)的數(shù)目,k為玻爾茲曼常數(shù),取值約為1.38×10-23J/K。根據(jù)玻爾茲曼提出的等概率原理,當(dāng)宏觀態(tài)中微觀狀態(tài)被取到的概率相等時(shí),P=,P表示概率,即:

    玻爾茲曼將熱力學(xué)熵與概率統(tǒng)計(jì)相互聯(lián)系起來得到熵的微觀表述,其中S=klnΩ表示熱力學(xué)系統(tǒng)的紊亂程度。當(dāng)系統(tǒng)處于非平衡狀態(tài)時(shí),系統(tǒng)處于有序狀態(tài),能量密度分布不均勻,混亂度較小,熵較?。幌到y(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí),系統(tǒng)處于無序狀態(tài),能量密度分布均勻,混亂度較大,熵較大。由此看出,熵越大表示系統(tǒng)越趨向于平衡態(tài),反之相反。此時(shí)熵便從宏觀熱力學(xué)角度推廣到了以量子理論為基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)微觀層次。

    4 信息熵

    1948年信息論的創(chuàng)始人香農(nóng)基于對(duì)熵在熱力學(xué)中的研究,受到玻爾茲曼從微觀角度描述熱力學(xué)熵的啟發(fā),首先系統(tǒng)性地提出了信息的度量方法,他利用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法,把熵作為一個(gè)隨機(jī)事件的不確定性或信息量的度量,把獲得的信息用來表示消除信息不確定性的可能,將熵從熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)力學(xué)角度推廣到了信息計(jì)量的信息熵角度,從而奠定了現(xiàn)代信息論的科學(xué)理論依據(jù)[4]。香農(nóng)得出的信息熵具有一定的哲學(xué)韻味,將信息計(jì)量與分子統(tǒng)計(jì)進(jìn)行了類比。假設(shè)信息源中有無數(shù)信號(hào),其中某種信號(hào)的概率為Pi,此時(shí)信息量為-lnPi。當(dāng)信號(hào)有n種且其概率P均相等時(shí),該信息源中的平均信息量為:

    這個(gè)新推出的與平均信息量相關(guān)聯(lián)的公式與玻爾茲曼推出的熵的公式有驚人的一致性,于是香農(nóng)大膽地假設(shè)出信息熵這一概念,用于表達(dá)一個(gè)系統(tǒng),即一個(gè)信息源中所含有的平均信息量。

    當(dāng)隨機(jī)變量為離散型數(shù)據(jù)時(shí):

    其中c為常數(shù),取值與信息度量單位選擇有關(guān)。

    當(dāng)隨機(jī)變量為連續(xù)型數(shù)據(jù)時(shí):

    其中f(x)為連續(xù)型隨機(jī)變量x的概率密度分布函數(shù)。當(dāng)系統(tǒng)中信息量,得到信息量的途徑、手段越多時(shí),信息熵越小;當(dāng)系統(tǒng)中信息量,得到信息量的途徑、手段越少時(shí),信息熵越大。信息熵可用于評(píng)判一個(gè)信息體系的正負(fù)值,可作為一種工具去幫助信息流由無序趨向有序,熵值減小的方向轉(zhuǎn)移。信息熵的提出又把熵?cái)U(kuò)展至了信息學(xué)的領(lǐng)域。

    5 基于標(biāo)準(zhǔn)化熵的熵權(quán)理論

    截至信息熵概念的建立,熵已具有了一定哲學(xué)意義,即用熵來描述系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)。此時(shí)學(xué)者們希望建立一個(gè)有普適意義的熵,即具有標(biāo)準(zhǔn)性,可用于各種系統(tǒng)中,這就是標(biāo)準(zhǔn)化熵[5-6]。標(biāo)準(zhǔn)化熵是系統(tǒng)約束性的度量,可用于度量系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)化狀態(tài)。系統(tǒng)約束較低時(shí),熵較高;而系統(tǒng)約束較高時(shí),熵較低。熵權(quán)法也隨之而建立,表示各指標(biāo)的變異程度,依照信息論,信息熵:

    ,其中

    對(duì)于有n個(gè)待評(píng)項(xiàng)目,m個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)的系統(tǒng)而言,某指標(biāo)rj的頻率或概率用該指標(biāo)在n個(gè)待評(píng)項(xiàng)目下的歸一化系數(shù)表示,即:

    其中rij為待評(píng)指標(biāo)觀測(cè)值。進(jìn)而求得指標(biāo)的效用值為:

    則指標(biāo)的權(quán)重值為:

    運(yùn)用各指標(biāo)的熵權(quán)進(jìn)行加權(quán)計(jì)算,可以得出更為準(zhǔn)確、客觀的結(jié)果。當(dāng)指標(biāo)變異程度越小,系統(tǒng)越有序,權(quán)重越小,對(duì)應(yīng)的熵權(quán)越小。當(dāng)指標(biāo)變異程度越大,系統(tǒng)越無序,權(quán)重越大,對(duì)應(yīng)的熵權(quán)越大[7]。

    6 結(jié)語(yǔ)

    熵不僅在理論上具有極大成果,在應(yīng)用上的延伸也十分廣泛,目前熵已經(jīng)擴(kuò)展到信息學(xué)、社會(huì)科學(xué)、生物學(xué)、哲學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和工程科學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域。比如應(yīng)用熵理論可以表示社會(huì)的負(fù)面程度,表征社會(huì)的混亂程度。薛定諤引入的負(fù)熵概念可以在生物界表現(xiàn)人體及其他生物都朝向混亂度增加的方向移動(dòng)。在工程應(yīng)用中,熵也可以用來分析項(xiàng)目可靠性,指導(dǎo)工程的有效進(jìn)行等。熵在短短一百多年內(nèi)由傳統(tǒng)熱力學(xué)逐漸擴(kuò)展到了如今廣泛應(yīng)用的各種領(lǐng)域,從宏觀和微觀各角度都賦予了熵豐富的內(nèi)涵,實(shí)現(xiàn)了從理論走進(jìn)實(shí)際,并上升到哲學(xué)意義的過程。作為一個(gè)前景良好,基礎(chǔ)扎實(shí)的概念,熵在今后也必有更大的突破。

    參考文獻(xiàn)

    [1]董春雨,姜璐.試論熵概念的層次性[J].自然辯證法研究,1995,(8):23-26.

    [2]李秀燕,肖榮輝,陳賜海.熵的概念及其拓展[J].漳州師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009,(3):63-67.

    [3]李林,單長(zhǎng)吉.熵的概念理解及應(yīng)用[J].黑龍江科技信息,2014,(14):29.

    [4]張紹伶.基于熵權(quán)法的水利工程工期方案評(píng)價(jià)研究[D].大連:大連理工大學(xué),2014.

    [5]麥綠波.標(biāo)準(zhǔn)化學(xué)科熵的概念及其數(shù)學(xué)模型的創(chuàng)建(上)[J].中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)化,2012,(11):79-82.

    [6]麥綠波.標(biāo)準(zhǔn)化學(xué)科熵的概念及其數(shù)學(xué)模型的創(chuàng)建(下)[J].中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)化,2012,(12):79-82.

    [7]劉瓊,史諾.熵權(quán)法在教學(xué)評(píng)價(jià)中的量化分析與實(shí)證研究[J].長(zhǎng)沙航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2015,(3):21-24.

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