微分中值定理的證明及應(yīng)用

劉一萱

摘 要：微分中值定理是高等數(shù)學(xué)中微分學(xué)的核心內(nèi)容，它是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具。本文首先介紹了微分中值定理的歷史發(fā)展過(guò)程，然后給出了費(fèi)馬引理、羅爾定理、拉格朗日中值定理以及柯西中值定理的具體內(nèi)容和證明方法，并描述了它們的幾何意義和三者之間的關(guān)系，最后舉例說(shuō)明了微分中值定理在具體的解題過(guò)程中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：費(fèi)馬引理；羅爾定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理

中圖分類號(hào)：O172.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-2064（2018）21-0216-02

微分中值定理是一系列中值定理的總稱，通常包括羅爾定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理。它們將函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來(lái)，從而可以利用導(dǎo)數(shù)的局部性來(lái)研究函數(shù)的整體性質(zhì)，是研究函數(shù)的有力工具。因此，微分中值定理在微分學(xué)中占有很重要的地位。

1 微分中值定理歷史發(fā)展

人們對(duì)微分中值定理的認(rèn)識(shí)始于古希臘時(shí)代。當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，過(guò)拋物線頂點(diǎn)的切線必平行于拋物線底端的連線，阿基米德還利用該結(jié)論求出了拋物線弓形的面積。這其實(shí)就是拉格朗日中值定理的特殊情形。1635年，意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里在《不可分量幾何學(xué)》中描述：曲線段上必有一點(diǎn)的切線平行于曲線的弦，即卡瓦列里定理。它反映了微分中值定理的幾何形式。

1637年法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在《求最大值和最小值的方法》中給出了費(fèi)馬定理，即函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零。1691年法國(guó)數(shù)學(xué)家羅爾在《方程的解法》中給出了多項(xiàng)式形式的羅爾定理，后來(lái)發(fā)展成一般函數(shù)的羅爾定理，并且正是由費(fèi)馬定理推導(dǎo)而出。后來(lái)，法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日于1797年在《解析函數(shù)論》中首先給出了拉格朗日中值定理，并予以證明。它也是微分中值定理中最為主要的定理。同樣是來(lái)自法國(guó)的著名數(shù)學(xué)家柯西，這位近代微分學(xué)的奠基者，對(duì)微分中值定理進(jìn)行了更加深入的研究。他的三部巨著《分析教程》、《無(wú)窮小計(jì)算教程概論》和《微分計(jì)算教程》，在分析上進(jìn)行了嚴(yán)格的敘述和論證，使得微積分?jǐn)[脫了對(duì)幾何、運(yùn)動(dòng)的直觀理解和物理解釋，對(duì)微積分理論進(jìn)行了重構(gòu)，從而極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)分析嚴(yán)格化的進(jìn)程[1-2]。他在《無(wú)窮小計(jì)算教程概論》中嚴(yán)格地證明了拉格朗日中值定理，后來(lái)又在《微分計(jì)算教程》中將拉格朗日中值定理推廣為廣義中值定理—柯西中值定理?？挛髡J(rèn)為中值定理是微分學(xué)中最核心的定理，比如可以利用該定理嚴(yán)格證明洛必達(dá)法則，并研究泰勒公式的余項(xiàng)等。從柯西起，微分中值定理成為了研究函數(shù)非常重要的工具，也是微分學(xué)的重要組成部分。

2 微分中值定理及其證明

2.1 費(fèi)馬引理

設(shè)x0是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，且f（x）在x0處導(dǎo)數(shù)存在，則f'（x0）=0。費(fèi)馬引理可以由極值的定義證得。需要注意的是，導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)并不一定是極值點(diǎn)，例如f（x）=x3在x=0處導(dǎo)數(shù)為0，但顯然該點(diǎn)并不是f（x）的極值點(diǎn)。

2.2 羅爾定理

如果函數(shù)f（x）滿足：在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即f（a）=f（b）。那么在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得f'（ξ）=0。

證明：由f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)可知，存在ξ，η∈[a，b]，滿足f（ξ）=M，f（η）=m，其中M和m分別是f（x）在[a，b]上的最大值和最小值。不妨設(shè)M>m（M=m時(shí)結(jié)論顯然成立），這時(shí)M和m中至少有一個(gè)與f（a）不相同，不妨設(shè)M=f（ξ）>f（a）=f（b），此時(shí)ξ顯然是極大值點(diǎn)，由費(fèi)馬引理可得f' （ξ）=0。

羅爾定理的幾何意義是滿足定理?xiàng)l件的函數(shù)f（x），一定在（a，b）內(nèi)某一點(diǎn)存在一條平行于曲線段端點(diǎn)連線的切線。通?？梢岳昧_爾定理來(lái)討論函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上的零點(diǎn)問(wèn)題，并且還可以用來(lái)證明拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

2.3 拉格朗日中值定理

如果函數(shù)f（x）滿足：在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)。那么在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得f' 。

證明：設(shè)=k，則f（b）-f（a）=k（b-a），即f（a）-ka=

f（b）-kb。構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-kx，則F（x）同樣滿足定理中的條件且F（a）=F（b），根據(jù)羅爾定理，在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b）使得F'（ξ）=f'（ξ）-k=0，即f'（ξ）=k，故 。

拉格朗日中值定理的幾何意義是滿足定理?xiàng)l件的函數(shù)f（x），至少在（a，b）內(nèi)存在一點(diǎn)，使得該點(diǎn)處的切線斜率與曲線段端點(diǎn)連線的斜率相同。拉格朗日中值定理溝通了函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系，因此很多時(shí)候可以從導(dǎo)數(shù)的角度來(lái)研究函數(shù)在其定義域上的性質(zhì)。在研究函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性以及不等式的證明等方面，都可能會(huì)用到拉格朗日中值定理。

2.4 柯西中值定理

如果函數(shù)f（x）和g（x）滿足：在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；對(duì)∈（a，b），g'（x）≠0。那么在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得。

證明：同拉格朗日中值定理的證明類似，設(shè)=λ，構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）=f（x）-λ（g（x）-g（a）），則F（x）同樣滿足定理中的條件且F（a）=F（b），根據(jù)羅爾定理，在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ∈（a，b）使得F'（ξ）=f'（ξ）-λg'（ξ）=0，代入λ可得g'（ξ）=0，整理可得。

柯西中值定理的幾何意義是由函數(shù)f（x）和g（x）所確定的參數(shù)曲線上，至少在（a，b）內(nèi)存在一點(diǎn)，使得該點(diǎn)的切線平行于參數(shù)曲線兩端點(diǎn)的連線?？挛髦兄刀ɡ淼淖C明方法有很多種。與拉格朗日中值定理一樣，柯西中值定理也可以用來(lái)求函數(shù)極限、證明函數(shù)單調(diào)性以及證明等式與不等式等。

我們可以看到，在拉格朗日中值定理中，如果令f（a）=f（b），就可以得到羅爾定理。同樣的，在柯西中值定理中，如果令g（x）=x，則變成拉格朗日中值定理。因此，拉格朗日中值定理可以看作是羅爾定理的推廣，而柯西中值定理則可以看作是拉格朗日中值定理的推廣[3]。也可以說(shuō)，羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例，拉格朗日中值定理則是柯西中值定理的特例。從證明過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，拉格朗日中值定理和柯西中值定理都以羅爾定理為基礎(chǔ)，再通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)證得[4]。

3 微分中值定理的應(yīng)用

微分中值定理不僅具有明顯的幾何意義和運(yùn)動(dòng)學(xué)意義，它作為微分學(xué)最基本的定理之一，還是研究函數(shù)的有力工具。本節(jié)給出它在以下幾個(gè)方面的具體應(yīng)用。

3.1 求函數(shù)極限

例1：求。

解：令f（x）=（1+x）a-1，則f（0）=0，f'（x）=a（1+x）a-1。由拉格朗日中值定理可得f'（ξ）=（0<ξ

3.2 證明函數(shù)單調(diào)性

例2：設(shè)f（0）=0，f'（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，證明：在（0，+∞）上也單調(diào)遞增。

證明：對(duì)求導(dǎo)可得[]'=。根據(jù)拉格朗日中值定理可得==f'（ξ）（0<ξ0，故在（0，+∞）上也單調(diào)遞增。

3.3 證明不等式

例3：證明不等式ex>1+x（x>0）。

證明：即證ex-1>x。令f（x）=ex-1，g（x）=x，則f（0）=g（0）=0。由柯西中值定理可得=eξ>1，其中ξ∈（0，x），即f（x）>g（x），ex-1>x，從而原式得證。

3.4 證明等式

例4：設(shè)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，試證：存在c∈（a，b），使f（b）-2f（）+f（a）=f''（c）。

證明：由已知可得 = 。

構(gòu)造輔助函數(shù)，則上式等于。由題意可知和？均滿足拉格朗日中值定理的條件，兩次利用拉格朗日中值定理可得 === =。

4 結(jié)語(yǔ)

人們對(duì)微分中值定理的研究主要從費(fèi)馬定理開(kāi)始，大約經(jīng)歷了兩百多年的時(shí)間。定理的條件要求也從特殊到一般，從直觀到抽象，從強(qiáng)條件轉(zhuǎn)為弱條件。人們逐漸認(rèn)識(shí)到了微分中值定理的普遍性，數(shù)學(xué)也正是在這樣一個(gè)推陳出新、吐故納新的過(guò)程中不斷向前發(fā)展[5]。

本文總結(jié)了微分中值定理的具體內(nèi)容及其證明，并通過(guò)例子討論了微分中值定理在求函數(shù)極限、證明函數(shù)單調(diào)性以及證明不等式和等式方面的應(yīng)用，從中可以看出微分中值定理的重要性。另外，在證明拉格朗日中值定理和柯西中值定理的過(guò)程中，采用了構(gòu)造輔助函數(shù)的方法，這也是數(shù)學(xué)中常見(jiàn)而又非常重要的一種方法。通過(guò)對(duì)微分中值定理的研究，還可以提高發(fā)散思維能力和創(chuàng)新能力，有助于加深對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)和理解。

參考文獻(xiàn)

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