分?jǐn)?shù)階Froude擺系統(tǒng)的混沌同步

王東曉

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 理學(xué)院，河南 鄭州 450015)

整數(shù)階混沌系統(tǒng)是我們熟悉的系統(tǒng)，而實際系統(tǒng)，很多是分?jǐn)?shù)階次的,有分?jǐn)?shù)階特性的對象，采用分?jǐn)?shù)階來描述,能夠更好的揭示其行為和本質(zhì)，分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)引起眾多科研工作者的興趣，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的同步問題倍受關(guān)注，且已經(jīng)取得了很多相關(guān)成果[1-4]。文獻(xiàn)[5]同步了分?jǐn)?shù)階摩擦系統(tǒng)，文獻(xiàn)[6]對時滯分?jǐn)?shù)階PD控制器設(shè)計問題加以研究，文獻(xiàn)[7]則反饋同步了分?jǐn)?shù)階Van der pol-Duffling系統(tǒng)，文獻(xiàn)[8]在有限時間內(nèi)，保證了分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定。而Froude擺系統(tǒng)是典型的二階非自治系統(tǒng)，在特別的參數(shù)設(shè)置下系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌態(tài)，F(xiàn)roude擺系統(tǒng)的同步問題引起了控制界的廣泛關(guān)注，例如：文獻(xiàn)[9]研究了外力激勵下Froude擺系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的機理問題，文獻(xiàn)[10]研究了兩個Froude擺系統(tǒng)的暫態(tài)階梯混沌同步控制問題，文獻(xiàn)[11]研究了Froude擺系統(tǒng)的全局有限時間同步問題，基于有限時間穩(wěn)定性理論，有限時間內(nèi)全局同步兩個Froude擺系統(tǒng)。本文基于終端滑?？刂蒲芯苛朔?jǐn)?shù)階Froude擺系統(tǒng)的同步問題，以Lyapunov穩(wěn)定性理論和分?jǐn)?shù)階微積分的相關(guān)理論為理論基礎(chǔ)，得出了取得系統(tǒng)同步的充分條件。

1 主要結(jié)果

1.1 控制方案一

定義1[12]：Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為:

考慮如下一類分?jǐn)?shù)階Froude混沌系統(tǒng)：

(1)

當(dāng)α=0.35,β=0.1,δ=1.0,f=0.42,ω=1.0,q=0.873時系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌態(tài)。

系統(tǒng)(1)其對應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)為：

(2)

定義系統(tǒng)誤差e1=y1-x1,e2=y2-x2，對應(yīng)誤差系統(tǒng)為：

(3)

結(jié)合e2(t)→0，從而e1(t)→0

=-η|s(t)|<0

由Lyapunov穩(wěn)定性理論，系統(tǒng)狀態(tài)軌跡滑向滑模面，綜上所述系統(tǒng)(3)在零點穩(wěn)定，驅(qū)動系統(tǒng)(1)與響應(yīng)系統(tǒng)(2)是滑?；煦缤降模ɡ淼米C。

1.2 控制方案二

Eα(z)=Eα,1(z),E1,1(z)=ez。

引理1[13]：若α<2,β∈?R,πα/2<ρ

|Eα,β(z)||arg (z)|π),|z|>0。

引理2[14]：若V(t)是[0,)上的連續(xù)函數(shù)，滿足DαV(t)-ηV(t)，則有：

V(t)V(t0)Eα(-η(t-t0)α),其中α∈(0,1),η>0為常數(shù)。

定理2：驅(qū)動系統(tǒng)(1)、響應(yīng)系統(tǒng)(2)是混沌同步的，當(dāng)選取如下控制器時。

證明：無妨設(shè)e1≥0,選取Lyapunov函數(shù)V(t)=|e1(t)|+|e2(t)|，求分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)很容易得到：

由sign(e1(t))sign(e2(t))e2(t)=sign(e1(t))|e2(t)|,再e2(t)≠0,sign(e2(t))sign(e2(t))=1,得到：

根據(jù)引理2很容易得到：V(t)V(t0)Eα(-(t-t0)q)

V(t)=|e1(t)|+|e2(t)|,V(t0)=|e1(t0)|+|e2(t0)|

令z=-(t-t0)q,|arg (z)|=π，根據(jù)引理1，存在常數(shù)C使得：

‖V(t)‖

當(dāng)t→時‖V(t)‖→0，有‖ei(t)‖(i=1,2)→0，驅(qū)動系統(tǒng)響應(yīng)系統(tǒng)實現(xiàn)同步，定理得證。

1.3 控制方案三

針對誤差系統(tǒng)(3)設(shè)計非奇異終端滑模面

(4)

定理3：當(dāng)系統(tǒng)(3)在滑模面(4)上時,系統(tǒng)狀態(tài)變量在有限時間內(nèi)趨于穩(wěn)定，軌跡達(dá)到平衡點。

由Lyapunov穩(wěn)定性理論，定理得證。

同樣的滑模面下，設(shè)計新型雙冪次趨近律來設(shè)計控制律也可以實現(xiàn)系統(tǒng)同步。

定理4：設(shè)計如下控制器(5)

(k1|s|γ+k2|s|μ)sgn(s)

(5)

其中k1>0,k2>0,γ>1,0<μ<1，在上述控制器的控制下,系統(tǒng)(3)的狀態(tài)軌跡能夠達(dá)到滑模面上。

=-(k1|s|γ+1+k2|s|μ+1)<0

由Lyapunov穩(wěn)定性理論，系統(tǒng)狀態(tài)軌跡滑向滑模面，定理得證。

系統(tǒng)狀態(tài)軌跡滑向滑模面后，在滑膜面上系統(tǒng)(3)在零點穩(wěn)定，驅(qū)動系統(tǒng)(1)與響應(yīng)系統(tǒng)(2)是滑模混沌同步的。

2 數(shù)值仿真

利用預(yù)估校正算法進(jìn)行數(shù)值仿真。系統(tǒng)參數(shù)α=0.35,β=0.1,δ=1.0,f=0.42,ω=1.0,q=0.873時系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌態(tài)。三種方案設(shè)計不同的初始值。

方案一系統(tǒng)初始值設(shè)置為：(x1(0),x2(0))=(-1.2,-1.1),(y1(0),y2(0))=(-1.2,-1.5)；

方案二系統(tǒng)初始值設(shè)置為：(x1(0),x2(0))=(5,3),(y1(0),y2(0))=(3,2)；

方案三系統(tǒng)初始值設(shè)置為：(x1(0),x2(0))=(0.2,1.0),(y1(0),y2(0))=(1.5,2)；

圖1 方案一的誤差曲線Fig.1 The system errors of case 1

方案一和方案二的誤差曲線分別如圖1和圖2所示；方案三的誤差曲線如圖3所示，方案三中的滑模面參數(shù)取值r=1.5,λ=6,k1=10,k2=4,γ=2,μ=0.5,α=0.873。

從圖1-3中可以看出，系統(tǒng)誤差在初始時刻較遠(yuǎn)，隨著時間的推移，控制器發(fā)揮作用一段時間后，誤差漸趨于零，實現(xiàn)系統(tǒng)混沌同步。表明三種方案均是可行的，第一、三兩種方案相較于第二種實現(xiàn)同步更加迅速。在我們做出數(shù)值仿真的過程中，當(dāng)控制器不滿足方案要求時，偶爾同樣可以實現(xiàn)系統(tǒng)同步，這是因為我們所設(shè)計的控制方案是充分條件，而非充要條件。

3 結(jié) 論

本文研究了一類分?jǐn)?shù)階Froude混沌系統(tǒng)的同步控制問題，給出了三種同步方案，均可以實現(xiàn)系統(tǒng)同步；并基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，給出控制律設(shè)計過程和嚴(yán)格理論證明，理論結(jié)果和數(shù)值仿真表明，在所構(gòu)造方案得出的控制器作用下，主從系統(tǒng)是混沌同步的。我們的設(shè)計方案有一定的普適性，對于其他混沌系統(tǒng)有很好的借鑒作用。數(shù)值仿真表明有效性和可行性。

圖2 方案二的誤差曲線

Fig.2 The system errors of case 2

圖3 方案三的誤差曲線

Fig.3 The system errors of case 3