基于改進(jìn)證據(jù)理論的結(jié)構(gòu)損傷識別研究

丁怡潔， 王社良， 趙歆冬

(西安建筑科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，西安 710055)

工程結(jié)構(gòu)在其服役期內(nèi)，由于受到荷載以及突發(fā)因素的作用，將不可避免地產(chǎn)生損傷，使得結(jié)構(gòu)的可靠性不斷下降，從而威脅結(jié)構(gòu)的安全。為了保證工程結(jié)構(gòu)在服役期的正常使用和安全，國內(nèi)外許多機(jī)構(gòu)已經(jīng)著手研究并發(fā)展結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測及診斷系統(tǒng)，而健康診斷系統(tǒng)的一個重要環(huán)節(jié)是傳感器的選擇、布置及對多源不確定信息的處理技術(shù)，該環(huán)節(jié)決定了如何獲得有價值的數(shù)據(jù)，并從大量數(shù)據(jù)中為結(jié)構(gòu)狀態(tài)的快速評估提取相關(guān)信息。但是，在多次學(xué)術(shù)會議上，這一環(huán)節(jié)被認(rèn)為是結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測及評估系統(tǒng)中最為薄弱的一環(huán)。

近年來，不斷發(fā)展起來的多傳感器信息融合技術(shù)以其強(qiáng)大的時空覆蓋能力和對多源不確定性信息的綜合處理能力，有效地提高了對于結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的監(jiān)測和診斷的能力。目前信息融合技術(shù)在土木工程結(jié)構(gòu)損傷識別及健康監(jiān)測方面的應(yīng)用主要集中在決策融合層面，所采用的決策融合算法主要有Bayes推理[1]、證據(jù)理論[2-3]、模糊邏輯推理[4]等。其中，證據(jù)理論由于具有建模靈活與組合機(jī)制簡單等突出優(yōu)點(diǎn)，近年來得到了廣泛的應(yīng)用[5-7]。但是，證據(jù)理論在處理高度沖突證據(jù)及兼容證據(jù)時會產(chǎn)生悖論。針對其問題，許多學(xué)者提出了改進(jìn)的證據(jù)組合方法[8-10]，但是其中大多數(shù)方法采用在原組合規(guī)則基礎(chǔ)上“打補(bǔ)丁”的方式，組合形式復(fù)雜，不能同時解決證據(jù)沖突和證據(jù)兼容兩種問題，或者含有難以確定的待定參數(shù)，不能很好地適用于工程結(jié)構(gòu)損傷融合識別?；谏鲜鲈颍疚膶ψC據(jù)理論存在的問題進(jìn)行了分析，并通過引入證據(jù)損耗觀點(diǎn)，對證據(jù)組合規(guī)則進(jìn)行了擴(kuò)展與改進(jìn)，提出了證據(jù)損耗函數(shù)與證據(jù)傾向因子兩個參數(shù)的計算公式。數(shù)值算例表明，本文提出的組合算法能夠有效處理沖突證據(jù)與兼容證據(jù)，具有更好的抗高沖突性、魯棒性和聚焦性。本文還對1個3層單跨的空間桿系模型結(jié)構(gòu)進(jìn)行了多種工況下的損傷識別試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果表明，與傳統(tǒng)損傷識別方法相比，本文提出的融合識別方法能夠有效地降低誤判，補(bǔ)充漏判，提高損傷識別的準(zhǔn)確性。

1 證據(jù)理論及其存在問題

設(shè)Θ為一辨識框架，m: 2Θ→[0,1]滿足：

(1)m(?)=0

稱m為辨識框架上的基本概率指派函數(shù)(BPA)。

對于兩個相互獨(dú)立而且完全可靠的證據(jù)源m1、m2， Dempster組合規(guī)則為：

(1)

Zadeh[11]對證據(jù)理論進(jìn)行了質(zhì)疑，提出了著名的Zadeh問題：

例1假定在判別命題A，B，C時，由兩個獨(dú)立的證據(jù)源提供的BPA分別為：

m1:m1(A)=0.99,m1(B)=0.01,m1(C)=0

m2:m2(A)=0,m2(B)=0.01,m2(C)=0.99

由證據(jù)理論可得：

m(A)=0,m(B)=1,m(C)=0

命題B由置信0.01變成了必然事件，這顯然是不合理的。Zadeh問題反映了證據(jù)理論的高沖突問題。

例2僅對例1中的m2(A)稍加變動，即有：

m2:m2(A)=0.01,m2(B)=0.01,m2(C)=0.98

由證據(jù)理論可得：

m(A)=0.99,m(B)=0.01,m(C)=0

可見當(dāng)焦元的BPA發(fā)生微小變化時，組合結(jié)果卻發(fā)生了劇烈的變化。此例反映了證據(jù)理論的魯棒性問題。

例3假定在判別命題A，B，C時，由兩個獨(dú)立的證據(jù)源提供的BPA分別為：

m1:m1(A)=0.5,m1(B∪C)=0.5

m2:m2(A∪B)=0.5,m2(C)=0.5

由證據(jù)理論可得：

m(A)=0.333,m(B)=0.333,m(C)=0.333

結(jié)論是A，B，C是等可能的，但其實(shí)沒有證據(jù)明確支持B。此例中證據(jù)沖突程度并不大，它反映了證據(jù)兼容問題，即不具有良好的聚焦性。

2 改進(jìn)證據(jù)合成方法

2.1 改進(jìn)的證據(jù)組合規(guī)則

由于證據(jù)兼容具有更深的隱含性，目前對證據(jù)理論的改進(jìn)主要是針對證據(jù)沖突問題。針對這一問題，文獻(xiàn)[12]首次提出了證據(jù)損耗的觀點(diǎn)，說明只有無損證據(jù)，即完全一致性組合才是絕對可靠的，其他組合都屬于有損組合，有損組合均存在損耗，擺脫了以往文獻(xiàn)對證據(jù)兼容和沖突簡單分類的局限性。

基于證據(jù)損耗觀點(diǎn)，文獻(xiàn)[12]還提出了擴(kuò)展的證據(jù)組合規(guī)則：

(2)

式中：c′=1-∑m1(Ai)m2(Bj)Δ。Δ和η分別表示m1(Ai)和m2(Bj)相遇時的證據(jù)損耗函數(shù)及對A的傾向因子。

由式(2)還可以看出，公式中包含有兩類組合項(xiàng)：一致性證據(jù)組合與干擾性沖突組合，并沒有包含否定性沖突組合項(xiàng)。為了使公式具有一般性，本文將否定性沖突組合加入到組合公式中，使其包含所有的組合項(xiàng)，此時組合規(guī)則如式(3)所示：

(3)

即有

m(A)=c′-1∑m1(Ai)m2(Bj)[1-Δ]η

(4)

式中：c′=1-∑m1(Ai)m2(Bj)Δ。

由式(4)可知，證據(jù)損耗函數(shù)與傾向因子是新的組合公式有別于原Dempster組合規(guī)則的兩個重要參數(shù)，但是文獻(xiàn)[12]并沒有給出這兩個參數(shù)的具體計算方法與進(jìn)一步解釋。接下來，本文將對這兩個參數(shù)作進(jìn)一步分析。

2.2 證據(jù)損耗函數(shù)與傾向因子

文獻(xiàn)[12]指出， 0≤Δ≤1，完全一致性組合Δ=0，其他組合項(xiàng)的證據(jù)損耗按照完全一致性組合、包容性組合、相交性組合、干擾性沖突組合和否定性沖突組合的次序依次增大。本文將其細(xì)化歸類，將證據(jù)損耗函數(shù)的取值范圍列于表1。

由表1可知，對證據(jù)的一致性與證據(jù)沖突的細(xì)化是以“集合屬性”的觀點(diǎn)來理解證據(jù)理論，不同的證據(jù)分類在證據(jù)組合時具有不同的屬性度量，應(yīng)當(dāng)予以區(qū)別對待。例如當(dāng)m1(Ai)和m2(Bj)相遇時，對于A的包容性組合，Ai=A，Bj?A，證據(jù)損耗應(yīng)隨著Bj的基數(shù)，或者說Ai∪Bj的基數(shù)增大而增大。相比而言，對于A的相交性組合，Ai?A，Bj?A，Ai∩Bj=A，為兩證據(jù)都只部分支持A，證據(jù)損耗應(yīng)當(dāng)隨著Ai，Bj與A的相交程度增大而減小。而對于A的干擾性沖突組合，Ai=A，Ai∩Bj=?，則意味著一條證據(jù)明確支持A，另一條證據(jù)對此持完全相反的意見，證據(jù)之間產(chǎn)生了沖突。對這樣的沖突證據(jù)，并不能像Dempster組合規(guī)則那樣簡單拋棄，而是應(yīng)當(dāng)有所保留地對A賦予一定置信度，當(dāng)然，由于有一條證據(jù)完全否定A，證據(jù)損耗程度比較大。對于A的否定性沖突組合，Ai∩A=?，Bj∩A=?，Ai∩Bj=?， 為兩證據(jù)都不支持A，所以證據(jù)損耗最大，達(dá)到100%。

所以，考慮到各種分類的“集合屬性”，同時參考Δ的取值范圍， 本文給出m1(Ai)和m2(Bj)相遇時證據(jù)損耗函數(shù)的計算公式：

(5)

式中： ‖表示集合的基數(shù)。

表1 證據(jù)損耗函數(shù)的取值規(guī)律

文獻(xiàn)[12]表示，傾向因子描述的是同一證據(jù)的同一證據(jù)項(xiàng)在遇到同一證據(jù)的不同證據(jù)項(xiàng)或不同證據(jù)的同一證據(jù)項(xiàng)時表現(xiàn)出不同的傾向性。由于證據(jù)理論假定各證據(jù)源100%可靠，所以對于A的一致性證據(jù)組合項(xiàng)，組合時損耗后剩余的Mass函數(shù)應(yīng)當(dāng)全部賦予A，故相應(yīng)的傾向因子應(yīng)為1。對于A的干擾性沖突組合項(xiàng)，對A的傾向性則可由各證據(jù)源對A的信任程度來決定，即有

(6)

式中：fi(Aj)表示證據(jù)mi對Aj的信任程度。 它可以是fi(Aj)的信任度函數(shù)，或者，為了方便計算，也可以直接取作Aj的Mass函數(shù)：

fi(Aj)=mi(Aj)

(7)

故本文給出的傾向因子為：

(8)

2.3 算例分析

采用本文提出的證據(jù)組合方法對例1～例3進(jìn)行分析，組合結(jié)果如下：

例1m(A)=0.4998,m(B)=0.0003,m(C)= 0.4998

結(jié)果說明A和C具有相同的可信度，B的信任很低，對沖突的處理效果較好。

例2m(A)=0.5218,m(B)=0.0003,m(C)= 0.4779

與例1相比，當(dāng)m2(A)從0增加為0.01時，焦元A的組合信度也略有提高，組合結(jié)果不再出現(xiàn)質(zhì)的變化，表現(xiàn)出較好的魯棒性。

例3m(A)=0.3949,m(B)=0.2105,m(C)= 0.3949

可見A和C的組合信任高于B，解決了原Dempster組合規(guī)則證據(jù)兼容的問題，具有較好的聚焦性。

3 空間桿系結(jié)構(gòu)的損傷識別試驗(yàn)

3.1 試驗(yàn)概況

試驗(yàn)以1個3層單跨的空間桿系模型結(jié)構(gòu)為研究對象。該模型平面尺寸為300 mm×400 mm，每層層高均為400 mm，模型所有桿件均采用外徑5 mm，壁厚1 mm的Q235鋼管，每個節(jié)點(diǎn)處均設(shè)有0.5 kg的鋼球，模型底部與試驗(yàn)臺座固結(jié)。試驗(yàn)?zāi)Ｐ腿鐖D1所示。

試驗(yàn)在西安建筑科技大學(xué)結(jié)構(gòu)工程與抗震教育部重點(diǎn)試驗(yàn)室進(jìn)行，采用SIMO的激勵方法，采用PCB型壓電式加速度傳感器采集結(jié)構(gòu)的響應(yīng)信號，測試并分析了多種工況下模型結(jié)構(gòu)的動力參數(shù)變化情況，模型測點(diǎn)布置情況參見表2，試驗(yàn)工況見表3。

圖1 試驗(yàn)?zāi)Ｐ图捌錁?gòu)件編號Fig.1 Test model and numbering of elements

表2 激勵點(diǎn)及測點(diǎn)布置

表3 試驗(yàn)工況

試驗(yàn)利用DASP V10軟件進(jìn)行模態(tài)分析，通過特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)法識別試驗(yàn)?zāi)Ｐ徒Y(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。為了與試驗(yàn)分析結(jié)果進(jìn)行比較，采用ANSYS有限元分析軟件對試驗(yàn)?zāi)Ｐ徒Y(jié)構(gòu)進(jìn)行建模分析。模型采用Q235鋼，彈性模量E=2.1×105MPa， 泊松比v=0.3， 密度ρ=7.85×103kg/m3， 所有桿件均采用Link8單元，鋼球采用MASS21單元。采用ANSYS的子空間迭代法對結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，得到不同工況下模型結(jié)構(gòu)的前3階模態(tài)。表4給出了不同工況下，模型結(jié)構(gòu)的前3階模態(tài)頻率計算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的對比。由對比可知，由于模型誤差、測量誤差以及數(shù)據(jù)處理誤差的存在，計算結(jié)果與測量結(jié)果有一定的誤差，但誤差仍在合理的范圍內(nèi)，因此可以認(rèn)為兩者的一致性較好，從而驗(yàn)證了原始數(shù)據(jù)的可靠性。

表4 各工況模態(tài)頻率試驗(yàn)值與計算值

3.2 損傷識別

基于改進(jìn)證據(jù)組合方法的工程結(jié)構(gòu)損傷識別一般模型如圖2所示。

圖2 基于改進(jìn)證據(jù)理論的結(jié)構(gòu)損傷識別模型Fig.2 Structural damage detection model based on improved evidence theory

選取模態(tài)應(yīng)變能法MSECR[13]、基于頻率的MDLAC[14]以及基于模態(tài)振型向量的MDLAC′[15]三種方法分別對試驗(yàn)結(jié)構(gòu)進(jìn)行初步損傷判別，并且將每種識別方法得到的判別結(jié)果作為后續(xù)損傷融合判別的證據(jù)源。

為了構(gòu)造各損傷證據(jù)源的BPA，本文將每種方法得出的損傷系數(shù)值都轉(zhuǎn)化為歸一化概率的形式，這樣亦可直觀顯示識別方法的判別效果。由上述三種初步識別方法所得的各單元損傷的BPA如圖3～圖5所示。

圖3 MSECR識別結(jié)果Fig.3 Detection results of MSECR

圖4 MDLAC識別結(jié)果Fig.4 Detection results of MDLAC

圖5 MDLAC′識別結(jié)果Fig.5 Detection results of MDLAC′

由圖3～5可以看出，三種識別方法的判定結(jié)果有較大差異。其中模態(tài)應(yīng)變能法對前三種工況有相對較好的識別能力，但對于工況4、5則出現(xiàn)了明顯的誤判與漏判。基于模態(tài)振型的MDLAC′法對單損傷識別精度較高，但對多損傷工況均出現(xiàn)了較多誤判，而基于頻率的MDLAC法則誤判率更高。每一種識別方法都無法可靠地進(jìn)行損傷定位。

采用本文提出的證據(jù)組合規(guī)則對三種損傷識別結(jié)果進(jìn)行融合判別，識別結(jié)果見圖6。

對比圖3～圖6可以發(fā)現(xiàn)，相比傳統(tǒng)的損傷識別方法，文中提出的融合方法能夠充分利用多證據(jù)源信息，降低誤判，補(bǔ)充漏判，得到比單一判別方法更為可靠的識別結(jié)果。其中對工況1～工況4，融合方法有效抑制了前三種方法中普遍存在的誤判的干擾，對各個桿件的損傷狀態(tài)都給出了比較準(zhǔn)確的判別。對工況5，在各損傷單元處，融合方法都給出了較高的融合值，但對于無損單元2和單元7，由于模態(tài)應(yīng)變能法和MDLAC法都給出了相當(dāng)高的信度值，導(dǎo)致融合結(jié)果也給出了相對較高的信度。即使這樣，對工況5的融合識別結(jié)果也明顯優(yōu)于任何一種單一識別方法。

圖6 融合方法的識別結(jié)果Fig.6 Detection results of fusion method

由識別結(jié)果也可以看出，本文提出的融合方法，既不嚴(yán)格要求各證據(jù)源提供精確的損傷信息，也不要求各證據(jù)之間有良好的一致性。實(shí)際上，對于本次試驗(yàn)，對多損傷識別，三種傳統(tǒng)識別方法的識別精度都有限，其中基于頻率的MDLAC方法誤判率尤其高，而且三個證據(jù)源之間的沖突程度也是很高的。因此，只要能夠提供部分有效信息的損傷判別方法都可以考慮作為融合輸入的證據(jù)源，這樣的要求對于工程結(jié)構(gòu)損傷識別問題而言是比較容易滿足的。另一方面，由融合識別結(jié)果也發(fā)現(xiàn)，當(dāng)大多數(shù)證據(jù)源在同一位置處發(fā)生誤判時會影響最終的融合結(jié)果。對于這樣的問題，可以通過增加證據(jù)源數(shù)目予以克服。畢竟本次試驗(yàn)只選用了三個損傷證據(jù)源，隨著證據(jù)源數(shù)目的增加，出現(xiàn)多數(shù)證據(jù)在同一位置處發(fā)生誤判的機(jī)率也會減少。

4 結(jié) 論

針對實(shí)際應(yīng)用中證據(jù)理論存在的證據(jù)沖突與證據(jù)兼容問題，本文引入證據(jù)損耗的觀點(diǎn)，對Dempster組合規(guī)則進(jìn)行了進(jìn)一步擴(kuò)展，建立了損耗函數(shù)與證據(jù)傾向的計算公式，提出了一種新的證據(jù)組合方法，并將其應(yīng)用于土木工程結(jié)構(gòu)損傷識別。通過對1個3層單跨的空間桿系結(jié)構(gòu)的損傷識別試驗(yàn)，對比了傳統(tǒng)損傷識別方法與所提出的融合識別方法的識別效果。試驗(yàn)研究結(jié)果表明，本文提出的融合方法，既不嚴(yán)格要求各證據(jù)源提供精確的損傷信息，也不要求各證據(jù)之間具有良好的一致性，具有較好的容錯性、穩(wěn)定性和工程適用性。而且，通過多個損傷證據(jù)源聯(lián)合作用，有利于充分利用多源不確定性信息，提高損傷識別結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性。

[ 1 ] LVERSEN G R. Bayesian statistical inference [M]. California: Sage publishing, 1984.

[ 2 ] DEMPSTER A P. Upper and lower probabilities induced by a multi-valued mapping[J]. Annuals of Mathematical Statistics, 1976,38(4): 325-339.

[ 3 ] SHAFER G A. Mathematical theory of evidence[M]. Princeton: Princeton University Press, 1976.

[ 4 ] YAGER R R. Fuzzy logics and artificial intelligence[J]. Fuzzy Sets and Systems, 1997, 90(2): 193-198.

[ 5 ] 時勝國，于樹華，韓闖，等，基于層次診斷的水下結(jié)構(gòu)振動噪聲源分離量化[J]. 振動與沖擊，2014, 23(9): 33-39.

SHI Shengguo, YU Shuhua, HAN Chuang, et al. Separation and quantification of underwater structural vibration and noise sources based on hierarchy diagnosis[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 23(9): 33-39.

[ 6 ] 朱建渠，金煒東，鄭高，等，基于多源信息的高速列車走行部故障識別方法[J]. 振動與沖擊，2014, 33(21): 183-188.

ZHU Jianqu, JIN Weidong, ZHENG Gao, et al. High-speed train running gear fault recognition based on information fusion of multi-source[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(21): 183-188.

[ 7 ] TAO Y R, CAO L, CHENG G Q, et al. Safety analysis of structures with probability and evidence theory [J]. International Journal of Steel Structures, 2016, 16(2): 289-298.

[ 8 ] LEFEVRE E, COLOT O, VANNOORENBERGHE P. Belief functions combination and conflict management[J].Information Fusion, 2002, 3(2): 149-162.

[ 9 ] SUN Rui, HUANG Hongzhong, MIAO Qiang. Improved information fusion approach based on D-S evidence theory[J]. Journal of Mechanical Science and Technology, 2008, 22(12): 2417-2425.

[10] 李文立，郭凱紅.D-S證據(jù)理論合成規(guī)則及沖突問題[J]. 系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2010，30(8): 1422-1432.

LI Wenli, GUO Kaihong. Combination rules of D-S evidence theory and conflict problem[J]. Systems Engineering-Theory & Practice, 2010, 30(8): 1422-1432.

[11] ZADEH L A. Review of Shafer’s mathematical theory of evidence[J]. Information Sciences, 1984, 5(3): 81-83.

[12] 徐凌宇，張博鋒，徐煒民，等，D-S理論中證據(jù)損耗分析及改進(jìn)方法[J]. 軟件學(xué)報，1997, 15(1): 69-75.

XU Lingyu, ZHANG Bofeng, XU Weimin, et al. Evidence ullage analysis in D-S theory and development[J]. Journal of Software, 1997, 15(1): 69-75.

[13] SHI Z Y, LAW S S, ZHANG L M. Structural damage localization from modal strain energy change[J]. Journal of Sound and Vibration, 1988, 218(5): 825-844.

[14] CONTURSI T, MESSINA A, WILLIAMS E J. A Multiple-damage location assurance criterion based on natural frequency changes[J]. Journal of Vibration and Control, 1998, 4(5): 619-633.

[15] SHI Z Y, LAW S S, ZHANG L M. Optimum sensor placement for structural damage detection[J]. Journal of Engineering Mechanics, 2000, 126(11): 1173-1179.