在平面向量教學中培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合思想

劉順強

由于向量是中學數(shù)學課程改革中新增的內(nèi)容，所以在教學實踐方面必然會經(jīng)歷一個實驗、探索、調(diào)整、完善的過程，在平面向量教學中出現(xiàn)一些誤區(qū).例如，過于強調(diào)向量的工具性與優(yōu)越性，而很少提及向量應用背后的思想方法體系，是相當普遍的現(xiàn)象.其實，向量的引入有助于學生更好地建立代數(shù)與幾何的聯(lián)系，能讓中學生盡早地了解和掌握向量的思想方法；用向量研究問題時可以實現(xiàn)形象思維和抽象思維的有機結(jié)合，發(fā)展學生數(shù)形結(jié)合的思想方法，以向量為載體，可以讓學生初步了解用“數(shù)”的知識處理“形”的問題的一般步驟和方法（向量法與坐標法），進而培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合思想.

一、在向量的線性運算中滲透數(shù)形結(jié)合思想

向量不同于數(shù)量，它既有大小又有方向，是一個具有幾何與代數(shù)雙重身份的概念，同時也是一個具有一套優(yōu)良運算通性的數(shù)學體系.向量的幾何成分很多，有的概念可以用有向線段來表示，有的運算直接用幾何作圖來定義，有的處理方法則滲透著數(shù)與形的辯證關(guān)系，向量的這些幾何屬性為培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合思想提供了條件.

幾何作圖不僅是平面向量中的一項基本技能，而且也是滲透數(shù)形結(jié)合思想的絕佳素材.教學時多讓學生畫圖，多讓學生辨認復雜圖形中各向量之間的關(guān)系，例如，“向量的加法與減法”，教學中要讓學生在幾何作圖中學運算，更要學生在運算中體會數(shù)形結(jié)合思想，教學實踐中，可以分為四個階段.第一階段要求學生用定義作出兩個向量的和向量，通過作圖讓學生深刻領(lǐng)悟定義中“取”“作”“則”三個字的含義.第二階段要求學生通過兩個向量進而掌握三個、四個向量的和向量.先在三角形、平行四邊形等簡單圖形中辨認向量，再在復雜的五邊形、六邊形等復雜圖形中辨認向量，通過作圖讓學生探索向量加法的法則和運算規(guī)律，實現(xiàn)知識由表象向本質(zhì)深化的目標.第三階段要求學生先作出一個向量的相反向量，再作出兩個向量的差向量，通過作圖讓學生自行定義向量的減法，實現(xiàn)知識的主動構(gòu)建.第四階段要求學生先進行向量加減法的幾何作圖訓練，再進行向量代數(shù)運算訓練，實現(xiàn)向量運算由直觀形象向抽象符號的過渡.這樣教學不是對向量運算簡單地下定義，而是引導學生在作圖中感悟隱含于向量運算之中的數(shù)形結(jié)合思想，分階段展示向量運算的形成過程，使得學生所學的不再是零散的知識點，而是有序的知識鏈，把數(shù)學知識結(jié)構(gòu)內(nèi)化成學生的認知結(jié)構(gòu)，有利于滲透數(shù)形結(jié)合思想.例如，已知|a|=|b|=1，|a+b|=2，求|a-b|.

很多學生在解本題的時候傾向于模長、數(shù)量積的代數(shù)公式，而且容易計算錯誤，如果通過向量加減法的平行四邊形法則作圖就可以直接畫出答案，在教學中充分利用了幾何直觀性的特點，注意從形和數(shù)兩個方面來理解.

二、在向量與數(shù)量的對比中突出數(shù)形結(jié)合思想

向量與數(shù)量的概念之間，運算體系、處理方法之間等都可以用來對比，通過對比，可以減少負遷移的產(chǎn)生，使學生認清向量的運算對象，并能正確運用向量的運算法則進行學習.比如，向量數(shù)量積的結(jié)合律a·（b·c）≠（a·b）·c，但是在多項式的運算中乘法的結(jié)合律a（bc）=（ab）c卻是正確的.了解了向量的幾何意義，就能清楚地認識這兩種運算律在本質(zhì)上的區(qū)別，會通過舉例的方式指出其錯誤.又如，向量的運算法則、運算律與實數(shù)的運算法則、運算律的對比，向量的平行與垂直的條件、直線平行與垂直的條件的對比，向量夾角、直線的傾斜角、復數(shù)的輔角的對比，對于初次接觸向量的學生來說，教學難度就在于向量存在著多條與應用了十多年的數(shù)量運算格格不入的法則，存在一些與以往不合邏輯的性質(zhì)，比如，“0向量的方向任意，可平行，可垂直”“向量包含大小，但不可以比較大小”等，教學中重視向量這些不合常理的性質(zhì)的分類與對比，做到化解難點，顯示向量帶方向的圖形特征，所以，對比是學習向量的一種良好方法，也是突出數(shù)形結(jié)合思想的有效途徑.

三、在向量的應用中發(fā)展數(shù)形結(jié)合思想

1.重視用數(shù)形結(jié)合思想指導解向量題.在向量解題活動中，我們經(jīng)常可以看到這樣的現(xiàn)象：學生只是滿足于用某種方法進行問題的解答，而不再進行進一步的思考和研究，未能對向量解題過程中的教學思想進行升華，以教“入寶山而空手回”.向量解題教學不要以題論題，要多引導學生“是如何想的”，要教會學生“要如何下手”，學生最關(guān)心的問題是：以后遇到類似的問題，思路遇阻的原因，以及如何找到解題方法，要解決上面的問題，關(guān)鍵把數(shù)學思想貫穿于解題教學的各個環(huán)節(jié)，實現(xiàn)向量解題教學的優(yōu)化，向量解題的思維過程常常離不開數(shù)形結(jié)合思想的指導，它是開通解題途徑的金鑰匙.例如，已知a=（-3，4），|a-b|=1，求|b|的最大、最小值.如果設b=（x，y），利用條件列方程組計算比較麻煩，很難利用代數(shù)運算實現(xiàn)目標，可以借助向量減法的三角形法則（a，b，a-b構(gòu)成三角形）、坐標的幾何意義、向量模長的幾何意義求解：作出a的坐標，a與b的三角形法則，則b的終點軌跡為圓，圓的半徑是1，圓心是a的終點，從而可知最大值是5+1=6，最小值是5-1=4.

利用數(shù)形結(jié)合的思想讓學生理解向量運算的形的特征，主動通過“畫”出答案，在圖中顯示數(shù)學思維過程，有效地反映數(shù)學知識的應用過程.

2.重視在向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積運算教學中發(fā)展數(shù)形結(jié)合思想.由于向量具有幾何與代數(shù)的雙重屬性，這就為“數(shù)”與“形”的問題搭起了橋梁，利用這座橋梁，我們根據(jù)“數(shù)”的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相應的“形”，并利用“形”的特性與規(guī)律，解決數(shù)的問題；或者將圖形的信息轉(zhuǎn)化成數(shù)的信息，使要解決的問題轉(zhuǎn)化成對數(shù)量關(guān)系的討論.

縱觀高考這幾年的試題，考查向量的比重有所下降，但是向量與復數(shù)、解析幾何、三角函數(shù)的交匯較多.在平面和向量的章末小結(jié)中，應以數(shù)形結(jié)合思想方法為主線貫穿相關(guān)知識：平面向量的一個基本定理，平行與垂直的充要條件，向量的三種表示方法，向量的四種運算及運算律.在復習向量時，抓住向量與解三角形的交匯，向量與函數(shù)（特別是三角函數(shù)）的交匯，向量與橢圓、雙曲線、拋物線的軌跡方程的交匯，引導學生適當綜合歸類，能起到強化數(shù)形結(jié)合應用的意識.數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微.”向量教學中要努力體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，不失時機地向?qū)W生滲透這種思想，培養(yǎng)學生運用數(shù)形結(jié)合思想解決向量問題的能力.endprint