考慮剪力滯效應(yīng)的薄壁曲線箱梁自由振動(dòng)的有限段法

張 琪，羅旗幟 ，周旭輝

（1.佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院交通與土木建筑學(xué)院，廣東佛山528000；2.上海市政工程設(shè)計(jì)研究總院（集團(tuán)）廣東有限公司，廣東深圳518040）

混凝土薄壁箱梁以其良好的抗扭性能而廣泛應(yīng)用于曲線橋梁工程中。薄壁曲線箱梁是空間結(jié)構(gòu)，既存在彎扭耦合作用，又受剪力滯效應(yīng)的影響，故其受力性能分析比直線箱梁更復(fù)雜。橋梁的服役壽命除依賴其靜力性能外，更依賴于橋梁結(jié)構(gòu)在車輛荷載作用下的動(dòng)力工作性能。近年來，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)曲線箱梁結(jié)構(gòu)剪力滯效應(yīng)的靜力分析已作了較深入地研究［1-3］，其計(jì)算理論日趨完善，部分研究成果已被應(yīng)用于設(shè)計(jì)中。但對(duì)于薄壁曲線箱梁剪力滯效應(yīng)的動(dòng)力分析及研究還處于初始階段。要比較全面、準(zhǔn)確地了解薄壁曲線箱梁的動(dòng)力特性，目前最常用的方法是數(shù)值法，特別是空間有限元法［4-6］；而解析法或半解析法應(yīng)用于此類問題的動(dòng)力分析見諸報(bào)導(dǎo)不多。與數(shù)值法相比，解析法或半解析法具有更重要的理論價(jià)值，計(jì)算量少，便于工程應(yīng)用，能更好地揭示動(dòng)力特性以及各參數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系。文獻(xiàn)［7］基于能量泛函變分原理，得到考慮剪力滯效應(yīng)影響的曲線箱梁自由振動(dòng)微分方程，并采用分離變量法獲得簡(jiǎn)支曲梁的自振頻率。文獻(xiàn)[8］在能量法基礎(chǔ)上，進(jìn)一步假設(shè)位移場(chǎng)函數(shù)，獲得了自振頻率顯示解，并分析了剪力滯效應(yīng)對(duì)于曲線箱梁自振頻率的影響。但文獻(xiàn)［7］、［8］方法僅限于簡(jiǎn)支曲線箱梁。文獻(xiàn)［9］提出了一種曲線箱梁橋動(dòng)力特性分析的有限段元法，采用多項(xiàng)式插值函數(shù)作為單元內(nèi)部的位移函數(shù)，獲得自振頻率的近似解，但離散單元仍較多。作者曾提出了薄壁箱梁剪力滯動(dòng)力特性分析的有限段法［10］，研究了多跨連續(xù)直線箱梁剪力滯效應(yīng)對(duì)自振頻率的影響，并與有限元法作了比較，結(jié)果吻合較好。

本文將考慮剪力滯效應(yīng)的直線箱梁動(dòng)力分析的有限段法推廣到曲線箱梁中去。以能量泛函變分原理獲得的曲線箱梁剪力滯控制微分方程的齊次解為位移模式中的峰值函數(shù)，提出了一種半解析的有限段計(jì)算方法，將空間結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為桿系結(jié)構(gòu)。文中給出了連續(xù)曲線箱梁算例，其結(jié)果與有限元解法作了比較，證明本文方法的正確性。

1 基本假定

曲線箱梁的橫截面尺寸和坐標(biāo)系統(tǒng)如圖1所示，荷載作用如圖2所示。曲線箱梁在豎向分布荷載和分布扭矩作用下會(huì)產(chǎn)生豎向彎曲和扭轉(zhuǎn)。

基于薄壁結(jié)構(gòu)理論，有以下假定:

（1）忽略初曲率的影響；

（2）曲線箱梁處于彈性工作階段；

（3）曲線箱梁腹板中的應(yīng)力可由初等梁理論確定，僅計(jì)算腹板的彎曲應(yīng)變能；

（4）不考慮翼板的橫向變形、豎向擠壓變形以及板平面外的剪切變形，即（εx=εy=γzy=γxy=0）；

（5）曲線箱梁自由振動(dòng)時(shí)，箱梁的懸臂板、頂板以及底板剪力滯翹曲動(dòng)位移函數(shù)可以假設(shè)為［1］

圖1 曲線箱梁

圖2 曲線箱梁荷載示意圖

根據(jù)以上假定，曲線箱梁翼板的正應(yīng)變，除了服從平截面假定的剛性截面均勻位移產(chǎn)生的正應(yīng)變?chǔ)舲1外，還需補(bǔ)充由剪力滯翹曲位移產(chǎn)生的正應(yīng)變?chǔ)舲2，即

式（2）中，kx為梁軸線處的曲率。

2 位移模式

薄壁曲線箱梁梁段單元在自由振動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，梁段各節(jié)點(diǎn)動(dòng)撓度、動(dòng)扭轉(zhuǎn)角以及動(dòng)位移差函數(shù)的位移模式可以假設(shè)為［8］

式（3）位移模式中ω為曲線箱梁的自振頻率，θ為曲線箱梁自由振動(dòng)的初始相位角，峰值函數(shù)v（z）、φ（z）、ξ（z）采用了梁段單元控制微分方程的齊次解?；谟邢拊?，可沿跨徑方向?qū)⑶€箱梁分為若干段，如圖3所示的梁段單元，其兩端除具有直線箱梁［10］的撓度v、轉(zhuǎn)角v'以及縱向位移差函數(shù)ξ三個(gè)未知量外，尚需補(bǔ)充扭轉(zhuǎn)角φ和φ'扭率，共同描述曲線箱梁的梁段位移。曲線箱梁梁段位移模式中的峰值函數(shù)取以下表達(dá)式［1］

式（4~6）中，A1，A2，A3…A10為積分常數(shù)；F3，E3，T3，H3，S1，S2是與截面尺寸、材料特性和曲率半徑有關(guān)的參數(shù)。

圖3所示的梁段單元，其節(jié)點(diǎn)位移參數(shù)取為

當(dāng)z=0時(shí)，vi（0）=vi，vi'（0）=vi'，φi（0）=φi，φi'（0）=φi'，ξi（0）=ξi。當(dāng)z=s時(shí)，vj（s）=vj，vj'（s）=vj'，φj（s）=φj，φj'（s）=φj'，ξj（s）=ξj，將式（7）寫成矩陣形式

式（8）中，［H］、［N］、［P］為上述位移模式中的形函數(shù)；｛δ｝e為節(jié)點(diǎn)位移列陣。

將式（8）代入式（3），可將位移模式寫成矩陣形式

圖3 梁段單元

3 自振方程

3.1 梁段單元總勢(shì)能

按照前述假定，應(yīng)用能量法求得薄壁曲線箱梁考慮剪力滯效應(yīng)的總勢(shì)能為

式（10）中，E、G 分別為曲線箱梁的彈性模量和剪切模量；Ix、KT、Iω、Is、IsT分別為曲線箱梁任一截面的抗彎、抗扭、扇形、翼板以及廣義慣性矩，其中Is和IsT的表達(dá)式分別為

3.2 梁段單元總動(dòng)能

梁段單元豎向振動(dòng)時(shí)，動(dòng)能可以表示為

其中，ρ和A分別表示曲梁的密度和橫截面積。

3.3 自振方程

將式（9）代入式（13），轉(zhuǎn)化為矩陣形式并對(duì)｛δ｝e進(jìn)行一階變分，由于位移變分的任意性且 δ｛δ｝eT≠0，得

其中，ω為曲線箱梁的自振頻率，｛δ｝e為與自振頻率相對(duì)應(yīng)的各階振型。公式（14）即為考慮剪力滯效應(yīng)的薄壁曲線箱梁無阻尼自由振動(dòng)方程：（［K］e-ω2［M］e）｛δ｝e=｛0｝。

由式（14）得到的單元?jiǎng)偠染仃嚕跭］e和質(zhì)量剛度矩陣［M］e如下

通過矩陣組合，將單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧|(zhì)量矩陣集合成總體剛度矩陣和總體質(zhì)量矩陣，再利用子空間迭代法求解廣義特征值問題，即可獲得曲線箱梁的各階自振頻率和振型。本文采用Matlab軟件進(jìn)行編制程序。

4 對(duì)比與分析

4.1 結(jié)果對(duì)比

取三等跨連續(xù)梁分析，跨徑組合為15 m+15 m+15 m，曲梁半徑R=30 m，兩端為抗扭支承，中間為點(diǎn)支承，計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖4示，橫截面如圖5，其材料力學(xué)參數(shù)和幾何參數(shù)分別為：彈性模量E=3.5×104MPa，泊松比 μ=0.3，密度 ρ=2 500 kg/m3，頂板厚 t1=0.25 m，懸臂板厚 t2=0.25 m，底板厚 t3=0.25 m，腹板厚 tw=0.4 m，半頂板寬b1=2.55 m，懸臂板寬b2=2.55 m，半底板寬b3=2.55 m，梁高h(yuǎn)w=3.0 m。

圖4 連續(xù)曲梁計(jì)算簡(jiǎn)圖

圖5 橫截面尺寸（單位：m）

將材料力學(xué)參數(shù)、橋梁跨徑以及截面尺寸等導(dǎo)入自編計(jì)算程序，運(yùn)用子空間迭代法便可獲得前三階豎向自振頻率。有限元模擬采用Ansys中的solid45（8節(jié)點(diǎn)實(shí)體單元）進(jìn)行建模分析，節(jié)點(diǎn)數(shù)為9 768，單元數(shù)為4 959，兩種計(jì)算方法得到的曲線箱梁豎向自振頻率如表1所示。

表1 頻率計(jì)算結(jié)果

從表1中可知，本文解法得到的各階頻率與有限元結(jié)果相比吻合較好，證明了本文方法的正確性。

4.2 影響參數(shù)分析

研究表明曲線箱梁的寬跨比、曲率半徑等是影響剪力滯效應(yīng)的重要參數(shù)［1］，本文重點(diǎn)探討了寬跨比和曲率半徑對(duì)曲線箱梁自振頻率影響的變化規(guī)律。曲率半徑分別取為30 m、60 m、15 m，寬跨比（按文獻(xiàn)［1］定義）分別取為0.085 m、0.106 3 m、0.17 m，箱梁計(jì)算圖示和橫截面同圖4和圖5。本文計(jì)算結(jié)果與初等梁理論（不考慮剪力滯效應(yīng)）值作了比較，自振頻率計(jì)算結(jié)果見表2。

從表2可以看出：1）考慮剪力滯效應(yīng)后，曲線箱梁前三階自振頻率均有不同程度的減??；2）當(dāng)曲率半徑不變時(shí)，隨著寬跨比的增大，曲線箱梁的剪力滯效應(yīng)對(duì)自振頻率的影響越大；3）當(dāng)寬跨比不變時(shí)，隨著曲率半徑的增大，曲線箱梁剪力滯效應(yīng)對(duì)自振頻率的貢獻(xiàn)率也增大，但增大幅度比寬跨比的影響小。

表2 頻率計(jì)算結(jié)果

5 結(jié)語

（1）本文基于薄壁曲桿理論和有限元法，以曲線箱梁的剪力滯微分方程齊次解為位移模式中的峰值函數(shù)，提出了考慮剪力滯影響的薄壁曲線箱梁自由振動(dòng)的有限段法。通過連續(xù)曲線箱梁數(shù)值算例與有限元結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果吻合較好。

（2）本文方法在梁?jiǎn)卧幕A(chǔ)上計(jì)入了剪力滯效應(yīng)，不僅計(jì)算簡(jiǎn)便、效率較高、收斂速度快，而且適用于連續(xù)直線、曲線箱梁以及變截面箱梁等復(fù)雜結(jié)構(gòu)考慮剪力滯效應(yīng)的動(dòng)力問題分析。

（3）研究表明：剪力滯效應(yīng)能夠削弱結(jié)構(gòu)的剛度，從而使得曲線箱梁的各階頻率與初等梁理論的結(jié)果相比均有減?。患袅?yīng)對(duì)于曲線箱梁自振頻率的影響隨著曲率半徑和寬跨比的增大而增大，但寬跨比的影響更顯著。因此，對(duì)于寬跨比較大的連續(xù)曲線箱梁橋，剛度削弱程度比較嚴(yán)重，其剪力滯效應(yīng)須引起足夠的重視。

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