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    一種求解二層單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的基于KKT背離度量方程的粒子群優(yōu)化算法

    2018-02-07 05:10:38張鈺張濤
    關(guān)鍵詞:下層次數(shù)粒子

    張鈺,張濤

    (長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院,湖北 荊州 434023)

    二層規(guī)劃是一種具有遞階結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)優(yōu)化問(wèn)題。在二層規(guī)劃模型中,一般可分為上、下2層,上層是一個(gè)含有下層最優(yōu)決策變量(或最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值)的復(fù)合最優(yōu)化問(wèn)題,下層則是一個(gè)以上層決策變量為參數(shù)的參數(shù)規(guī)劃[1~3]。二層規(guī)劃的嵌套結(jié)構(gòu)使得該模型的求解具有一定的復(fù)雜性,其復(fù)雜性表現(xiàn)在上層目標(biāo)函數(shù)決定于下層規(guī)劃問(wèn)題的解函數(shù),通常這個(gè)解函數(shù)非凸且不可微;二層規(guī)劃約束的嵌套特性使其可行域一般不再具備凸性和閉性,并且在有包含下層決策變量的上層約束時(shí)還可能不連通,甚至是空集。

    目前,求解二層規(guī)劃問(wèn)題的傳統(tǒng)算法可以分為4類:Karus-Kuhn-Tucker方法[4~7]、分支定界法[8]、罰函數(shù)法[9~12]以及下降法[13,14],這些傳統(tǒng)算法均要求目標(biāo)函數(shù)具有可微性和連續(xù)性。然而,二層規(guī)劃問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)通常不具備上述屬性且非凸。粒子群優(yōu)化算法[15]作為近來(lái)提出的一種智能算法,其算法特點(diǎn)與二層規(guī)劃問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征具有優(yōu)良的匹配性:該算法對(duì)模型結(jié)構(gòu)以及目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的性態(tài)要求更為寬松,且該算法以種群為操作單元且實(shí)數(shù)編碼,可以與二層規(guī)劃問(wèn)題的下層問(wèn)題的多解特征建立映射關(guān)系。因此,利用粒子群算法求解二層規(guī)劃問(wèn)題是一條有效途徑。2006年,Li等[16]提出了求解二層規(guī)劃問(wèn)題的分層粒子群算法;2009年,Kuo與Huang[17]提出了求解線性二層規(guī)劃問(wèn)題的粒子群算法;2011年,Gao等[18]利用粒子群算法求解了供應(yīng)鏈中的二層規(guī)劃模型;隨后,Zhang等[19]利用粒子群優(yōu)化技術(shù)求解了電力市場(chǎng)中的競(jìng)爭(zhēng)性招標(biāo)策略的二層規(guī)劃模型;2013年,Jiang等[20]提出了基于CHKS光滑方程的粒子群算法求解非線性二層規(guī)劃問(wèn)題。上述二層規(guī)劃模型的決策變量維數(shù)較低且模型相對(duì)較為簡(jiǎn)單。對(duì)于維數(shù)較高且函數(shù)性態(tài)(可微性、連續(xù)性及多模態(tài)性)較為復(fù)雜的二層規(guī)劃模型,利用上述算法進(jìn)行求解時(shí),將會(huì)花費(fèi)巨大的計(jì)算代價(jià)且收斂性得不到保障。針對(duì)復(fù)雜的二層規(guī)劃模型,利用粒子群算法求解的核心是確保下層規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解的精確性,如果所求下層問(wèn)題的最優(yōu)解具有非精確性或欺騙性,則整個(gè)問(wèn)題求解將會(huì)花費(fèi)巨大計(jì)算代價(jià)甚至求解失敗。為此,筆者基于單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的KKT條件,引入KKT背離度量方程,利用該度量方程控制下層問(wèn)題的最優(yōu)解精度,然后以下層問(wèn)題最優(yōu)解精度控制值為終止條件,設(shè)計(jì)求解二層規(guī)劃問(wèn)題的粒子群算法。

    1 模型與基本概念

    假設(shè)x∈Rn1,y∈Rn2,F,f:Rn1×Rn2→R,G,g:Rn1×Rn2→R,樂(lè)觀二層單目標(biāo)規(guī)劃可表述為:

    (1)

    式中,x∈Rn1和y∈Rn2分別為上層決策變量和下層決策變量;F(x,y)和f(x,y)分別表示上層目標(biāo)函數(shù)和下層目標(biāo)函數(shù);G(x,y)和g(x,y)分別表示上層約束函數(shù)和下層約束函數(shù)。

    記:

    約束域S={(x,y)|G(x,y)≤0,g(x,y)≤0}

    對(duì)于給定x∈Rn1,下層問(wèn)題的可行域S(x)={y|g(x,y)≤0}

    約束域S在上層問(wèn)題決策空間的投影S(X)={x|?y,G(x,y)≤0,g(x,y)≤0}

    對(duì)于x∈S(X),下層問(wèn)題的合理反應(yīng)集P(x)={y|y∈arg min[f(x,y):y∈S(x)]}

    二層單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的誘導(dǎo)域IR={(x,y)|(x,y)∈S,y∈P(x)}

    定義1 如果點(diǎn)(x,y)∈IR,則稱點(diǎn)(x,y)為問(wèn)題(1)的可行點(diǎn)。

    定義3 如果(xo,yo)成為問(wèn)題(1)的樂(lè)觀最優(yōu)解, 則 (xo,yo)滿足如下方程:

    2 算法設(shè)計(jì)

    利用粒子群優(yōu)化算法求解二層規(guī)劃問(wèn)題的基本工作流程如圖1所示:給定上層決策變量,執(zhí)行下層優(yōu)化問(wèn)題;然后將下層問(wèn)題的近似最優(yōu)解作為最優(yōu)響應(yīng)反饋給上層,從而得到整個(gè)問(wèn)題的近似最優(yōu)解;通過(guò)預(yù)設(shè)迭代次數(shù),使整個(gè)問(wèn)題的近似最優(yōu)解任意精度逼近精確解。具體步驟如下:

    Step1 初始化上層種群Pu,種群規(guī)模為Nu,初始化上層循環(huán)變量tu=0。

    Step2 對(duì)于上層決策變量xi(i=1,2,…,N), 初始化下層種群Pl,種群規(guī)模為Nl,初始化下層迭代次數(shù)tl=0。

    Step3 執(zhí)行下層優(yōu)化問(wèn)題。更新下層粒子的速度和位置:

    Step6 上層問(wèn)題的終止條件檢查,如果α(tu)≥α-predefined,轉(zhuǎn)Step7,否則輸出上層問(wèn)題的最優(yōu)解。

    Step7 按如下方程更新上層決策變量:

    Step8 對(duì)于更新的上層決策變量,轉(zhuǎn)Step2。

    如果yj

    如果pbestj(y)

    如果yj與pbestj(y)相等,則從兩者之中隨機(jī)挑選一個(gè)作為新的pbestj(y)。

    Step7中的pbestj(y)按同樣的方式選取。

    在Step4中,下層規(guī)劃問(wèn)題基于KKT背離度量方程的終止條件為:

    (2)

    (3)

    (4)

    圖1 二層規(guī)劃問(wèn)題的粒子群算法的基本工作流程

    3 數(shù)值仿真與結(jié)果分析

    粒子群優(yōu)化算法的相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下:r1,r2∈random(0,1),慣性權(quán)重w=0.7298,社會(huì)系數(shù)和認(rèn)知系數(shù)c1=c2=1.49618,上層問(wèn)題和下層問(wèn)題的粒子規(guī)模Nu=Nl=50。下層問(wèn)題的終止精度為1×10-4,計(jì)算機(jī)運(yùn)行條件CPU:AMDPhenon(tm)ⅡX6 1055T2.80GHz;RAM:3.25GB,利用C#編程進(jìn)行求解。

    以下分別為仿真試驗(yàn)算例。

    問(wèn)題1:

    問(wèn)題2:

    問(wèn)題3:

    問(wèn)題4:

    問(wèn)題5:

    問(wèn)題6:

    其中,問(wèn)題1~問(wèn)題5參數(shù)設(shè)置p=5,q=5,r=2;問(wèn)題6的參數(shù)設(shè)置p=5,q=3,r=2,s=2。

    將上述算例執(zhí)行11次并與參考文獻(xiàn)[21]中的結(jié)果做比較,表1給出了上層問(wèn)題和下層問(wèn)題的方程評(píng)價(jià)次數(shù)的比較結(jié)果,表2給出了上層問(wèn)題和下層問(wèn)題精度的比較結(jié)果。

    表1 上層問(wèn)題和下層問(wèn)題方程評(píng)價(jià)次數(shù)的比較結(jié)果

    表2 上層問(wèn)題和下層問(wèn)題最優(yōu)解的精度比較結(jié)果

    表1中,第5列與第6列分別表示下層問(wèn)題和上層問(wèn)題的方程評(píng)價(jià)次數(shù)的中位數(shù)。括號(hào)中的數(shù)值表示文獻(xiàn)[21]中的算法所需方程評(píng)價(jià)次數(shù)的中位數(shù)與筆者設(shè)計(jì)算法所需方程評(píng)價(jià)次數(shù)中位數(shù)的比率。從比較結(jié)果來(lái)看,2種方法都能成功求解所有問(wèn)題,但從上層問(wèn)題方程評(píng)價(jià)次數(shù)的中位數(shù)來(lái)看,文獻(xiàn)[21]中的算法所需次數(shù)是筆者設(shè)計(jì)算法所需次數(shù)的1.19~3.03倍,從下層問(wèn)題方程評(píng)價(jià)次數(shù)的中位數(shù)來(lái)看,文獻(xiàn)[21]中的算法所需的次數(shù)是筆者設(shè)計(jì)算法所需次數(shù)的2.31~6.01倍。

    從表2中可以看出,在獲得問(wèn)題的幾乎相同的精度解時(shí),文獻(xiàn)[21]中的方法所執(zhí)行的下層優(yōu)化問(wèn)題的次數(shù)約為筆者設(shè)計(jì)算法的1.5倍,且每執(zhí)行一次下層優(yōu)化問(wèn)題文獻(xiàn)[21]中的方法所需的方程評(píng)價(jià)次數(shù)約為筆者設(shè)計(jì)算法所需方程評(píng)價(jià)次數(shù)的1.6倍。

    4 結(jié)語(yǔ)

    提出了一種基于KKT背離度量方程的粒子群算法用于求解二層規(guī)劃問(wèn)題的樂(lè)觀解,用6組模型進(jìn)行仿真試驗(yàn)并與經(jīng)典文獻(xiàn)中的計(jì)算結(jié)果做了比較,結(jié)果表明KKT背離度量方程能夠有效的保證下層問(wèn)題最優(yōu)解的真實(shí)性,從而較大幅度的減少了計(jì)算量并在一定程度上改善了算法的收斂速度。在未來(lái)的研究中,將進(jìn)一步考慮在維數(shù)迅速膨脹的情況下如何設(shè)計(jì)該問(wèn)題的并行粒子群算法。

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