巧用數(shù)形結(jié)合 妙解數(shù)學(xué)難題

蘭甲明

在圓的相關(guān)計(jì)算里面，圓錐及其展開(kāi)圖是相對(duì)比較難以理解和掌握的一節(jié)內(nèi)容，因?yàn)楸竟?jié)知識(shí)對(duì)學(xué)生的幾何直觀、演繹推理能力、數(shù)形結(jié)合思想要求比較高，更有平面幾何與立體圖形的相互融合，增加了學(xué)生的學(xué)習(xí)和解題難度，如何突破這個(gè)難點(diǎn)，讓學(xué)生更容易的理解和掌握其中的知識(shí)技能并能解決相關(guān)的問(wèn)題，我建議主要從以下三方面著手實(shí)施教學(xué)：

一、理解并識(shí)記重要公式

這里面常用到的有以下公式：圓的面積、周長(zhǎng)，扇形面積、弧長(zhǎng)，圓錐的側(cè)面積，勾股定理。

其中圓的周長(zhǎng)、面積和勾股定理是以前學(xué)習(xí)過(guò)的內(nèi)容，學(xué)生已經(jīng)掌握，扇形面積、弧長(zhǎng)的計(jì)算公式是上節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，因?yàn)轳R上要用到，所以在學(xué)習(xí)這兩個(gè)公式時(shí)，教師一定要重視學(xué)生對(duì)由圓的面積到扇形面積、圓的周長(zhǎng)到弧長(zhǎng)公式的探究和推導(dǎo)過(guò)程，必要時(shí)部分公式可以要求學(xué)生自主探究或合作完成，一方面加深學(xué)生的理解，便于準(zhǔn)確記憶。另一方面，鍛煉學(xué)生的演繹推理能力和運(yùn)算能力，為后續(xù)得出圓錐的相關(guān)計(jì)算公式以及問(wèn)題解決做好準(zhǔn)備。

二、用好數(shù)形結(jié)合方法

由于圓錐是立體圖形，在研究其展開(kāi)圖時(shí)就有好些學(xué)生難以理清其中紛繁復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，要化解這個(gè)難點(diǎn)，教師最好借助真實(shí)的教具操作或者多媒體動(dòng)畫(huà)演示，為學(xué)生留下視覺(jué)上的直觀印象和肢體上的操作體驗(yàn)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)以下幾點(diǎn)：1、圓錐展開(kāi)圖是扇形。2、圓錐的側(cè)面即是展開(kāi)圖的扇面，即面積相等（S錐側(cè)=S扇）。3、圓錐的底面圓的周長(zhǎng)和展開(kāi)扇形的弧長(zhǎng)是相等的（即C底=L?。?。4、圓錐的母線長(zhǎng)（a）與扇形的半徑（R）對(duì)應(yīng)，即相等（a=R）。

于是，得到以下等量關(guān)系： a=R

S錐側(cè)=S扇形

C圓=L弧

經(jīng)過(guò)推理，會(huì)得到以下公式：S錐側(cè)=（ra，

S錐全=（ra+（r2

展開(kāi)圖扇形的圓心角度數(shù)： α=r/a*360

在這個(gè)環(huán)節(jié)，一方面重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法，另一方面提高學(xué)生演繹推理的能力。

三、建立模型，解決問(wèn)題

1.無(wú)圖型

例：圓錐底面圓的半徑為3m，其側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，求圓錐的母線長(zhǎng)？

（1）當(dāng)學(xué)生難以理清題意時(shí)，畫(huà)圖無(wú)疑是個(gè)最有效的辦法，畫(huà)出大致圖形以后，就能很清晰看出圓錐底面半徑是3cm，也容易看出圓錐展開(kāi)圖扇形圓心角為180度。需要計(jì)算的量正好是母線a。

（2）因?yàn)閮蓚€(gè)圖形中有三組等量關(guān)系，即圓錐底面圓周長(zhǎng)與扇形弧長(zhǎng)，圓錐側(cè)面積與扇形面積，圓錐展開(kāi)圖的圓心角即半圓圓心角是180度。

則有：（1）由L弧=C圓，得到n（R/180=2（r（其中R=a，n=180°，r=3）計(jì)算可得：a=6

（2） 由S扇=S錐側(cè)，得到n（R2/360=（ra（其中R=a，n=180°，r=3）計(jì)算可得：a=6

（3） 由α=r/a*360°，得到r/a*360=180° （其中r=3）計(jì)算可得：a=6

可以發(fā)現(xiàn)，根據(jù)任何一個(gè)等式，都可以將已知量代入，求得母線a 的值。

2.有圖型

例2 如圖，用圓心角為120o，半經(jīng)為6 cm的扇形紙片卷成一個(gè)圓錐形無(wú)底紙帽（接縫忽略不計(jì)），則這個(gè)紙帽的高是多少？

（1）首先，觀察圖形，要算圓錐的高，只能先算出底面圓半徑，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算出圓錐的高。

（2）要計(jì)算圓錐的底面半徑，同樣我們可以根據(jù)兩圖形中相等的量列出三種等量關(guān)系：

即：由L弧=C圓，得到n（R/180=2r（其中R=6，n=120o）；

由S扇=S錐側(cè)得到n（R2/360=（ra（其中R=6，n=120o，a=6）；

由r/a*360° =120° （其中R=6）；

無(wú)論依據(jù)那個(gè)等式都可計(jì)算出r的值為2，進(jìn)而計(jì)算出圓錐高h(yuǎn)的值。

總之，圓錐及其展開(kāi)圖的相關(guān)計(jì)算雖然是教學(xué)中的難點(diǎn)，但只要引導(dǎo)學(xué)生過(guò)好演繹推理關(guān)、掌握好數(shù)形結(jié)合思想方法、合理運(yùn)用數(shù)學(xué)模型，循序漸進(jìn)實(shí)施教學(xué)，一定會(huì)使教者得心應(yīng)手，學(xué)者輕松愉快，進(jìn)而達(dá)一舉一反三的神奇效果。

（作者單位：甘肅省慶陽(yáng)市華池縣上里塬鄉(xiāng)上里塬初中 745605）endprint