淺談課后作業(yè)改編

郭斌斌

摘要：讓學生通過小組合作的方式來探究勾股定理的證明。

關(guān)鍵詞：勾股定理；小組合作； 斜邊垂直；新課程理念

引言：勾股定理是一個基本的初等幾何定理，現(xiàn)約有500種證明方法，是數(shù)學定理中證明方法最多的定理之一，也是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一。

新浙教版2.7探索勾股定理（1）中，只介紹了一種證明方法，介于勾股定理證明的趣味性，我覺得有必要對勾股定理的證明方法進行拓展、延伸和提煉。

一、命題描述

原題：作業(yè)本2.7探索勾股定理（1）第7題

如圖1，將一個直立的火柴盒在桌面上橫向倒下，火柴盒的一個側(cè)面ABCD橫倒后的位置AB′C′D′，連結(jié)CC′.設AB=a，BC=b，AC=c，利用梯形BCC′D′面積的不同算法可以說明勾股定理a2+b2=c2成立.請你試一試，看能不能推導出勾股定理.

改編：如圖1，將一個直立的火柴盒在桌面上橫向倒下，火柴盒的一個側(cè)面ABCD橫倒后的位置AB′C′D′，連結(jié)CC′.現(xiàn)沿著AC，AC′剪開，得到4個全等的RtΔ.

（1）請你利用4個全等的直角三角形，來驗證勾股定理，要求：1.所得圖形不同于圖1；2.以4人一小組為單位進行合作討論，畫出所得圖形，并寫出證明過程.

（2）請你利用2個全等的直角三角形，來驗證勾股定理，以4人一小組為單位進行合作討論，畫出所得圖形，并寫出證明過程.

（3）請你利用直角三角形和正方形的組合，來驗證勾股定理，以4人一小組為單位進行合作討論，畫出所得圖形，并寫出證明過程.

二、設計意圖及實施策略

1.設計意圖

主觀上：曾經(jīng)看到過這樣一則故事：1876年一天的傍晚，當時美國議員伽菲爾德正在散步，發(fā)現(xiàn)有兩個小孩正在談論著什么。由于好奇他向兩個小孩走去，只見其中一個正用樹枝在地上畫著一個直角三角形，于是問他們在干什么。那小孩說：“先生，如果兩條直角邊長為5和7，那么斜邊長是多少？”他不假思索地回答：“斜邊的平方等于5的平方加上7的平方。”小孩又說：“你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時語塞。于是他回家潛心探討，終于弄清了其中的道理。由此可見勾股定理有著很大的魅力，所以我覺得有必要對勾股定理的證明方法進行拓展，好讓學生能夠進一步體會勾股定理之美。

客觀上：數(shù)學課上不僅要進行知識的傳授，而且要重視數(shù)學思維能力的培養(yǎng)及個性品質(zhì)的形成。就需要學生積極參與課堂教學，變被動接受為主動探究，真正發(fā)揮學生的主體作用。

2.實施策略

基本步驟如下：

（1）以4人一小組為單位進行合作討論，小組成員間的座位是采用面對面和相鄰的形式，這樣有利于互相學習、討論；

（2）組內(nèi)成員分工明確，第1位學生要集合大家的智慧，利用所給的直角三角形或者和正方形的組合，要擺出正確的圖形，第2位學生要根據(jù)所擺出的圖形在白紙上畫出該圖形，第3位學生需要記錄下證明的過程，第4位學生作為發(fā)言人展示小組的合作學習成果；

（3）完成習題的（1）之后，每個小組成員之間的角色要相互轉(zhuǎn)換一次，以此類推，盡可能的使每個成員都能從不同的位置和角色上得到體驗、鍛煉和提高。

（4）由于小組中的每個成員都有自己的認知結(jié)構(gòu)和自己思想方法的局限性，所以課后請每個小組成員記錄下在合作討論中的收獲。

三、學生答題情況

由于學生已經(jīng)學過新浙教版2.7探索勾股定理（1），所以對于勾股定理證明的思想方法有了一定的成功體驗和積累。但是此題顯然不是簡單的按部就班，而是需要學生的創(chuàng)新精神和數(shù)學構(gòu)造思想的一種結(jié)合，不僅如此，此題還要求學生的發(fā)散思維，追求圖形構(gòu)造的多樣化，綜上所述，這題應該具有一定的難度，對學生的數(shù)學綜合運用能力要求比較高。

第（1）題的答題情況：所有小組都能構(gòu)造出如圖2的圖形，少部分小組還能構(gòu)造出如圖3的圖形，但當老師加以適當?shù)囊龑В?.圖2能成功的驗證勾股定理的關(guān)鍵點你認為是什么；2.要產(chǎn)生c2就需要做到四個直角三角形的斜邊互相垂直，這樣引導之后所有小組都能構(gòu)造出如圖3的圖形。

第（2）題的答題情況：所有小組都能構(gòu)造出如圖4的圖形，也都能想到需要連結(jié)DE，并且能借助圖4完成勾股定理的證明。

當追求所擺圖形的多樣化時，卻遇到了一定的困難，只有少數(shù)小組能構(gòu)造出如圖5或如圖6的圖形，但當老師加以適當?shù)囊龑В?.我們已經(jīng)從第（1）題獲得了哪些成功的經(jīng)驗；2.如何做到兩個直角三角形的斜邊互相垂直，這樣引導之后大部分小組都能構(gòu)造出如圖5、如圖6的一個或者兩個圖形。

對于利用已經(jīng)構(gòu)造出的如圖5和如圖6的兩個圖形來完成勾股定理的證明，顯然對于學生而言并非易事，也只有2個小組能勝利完成證明過程，因此老師作了適當?shù)囊龑В?.觀察如圖4的圖形，為什么會想到連結(jié)DE，是因為能夠產(chǎn)生c2，事實上產(chǎn)生的是面積c22；2.居然如此，那么我們能不能用類比思想來解決問題，能不能在如圖5和如圖6的圖形中產(chǎn)生面積c22，這樣引導之后大部分小組都能想到連結(jié)如圖7、圖8中的DB，從而能進一步利用圖形來完成勾股定理的證明。

第（3）題的答題情況：有了第（2）題完成對于勾股定理證明的基礎，大部分小組能夠構(gòu)造出至少1個圖形，而且也能夠利用面積法完成對于勾股定理的證明。

四、評價建議及命題反思

1.小組合作的評價：（1）小組合作學習為學生創(chuàng)設了一種民主、平等的課堂氛圍，學生在合作中尋找到了學習的樂趣，體驗到了參與合作的快樂，因此在整個探究的過程中，每位小組成員參與學習的積極性都非常高；（2）合作學習最大的優(yōu)勢是充分發(fā)掘和利用了人際資源，在合作中懂得了“眾人拾柴火焰高”的道理，所以在一個小組里的每個成員都能主動思考，各司其職；（3）學生在合作討論中思維常常會產(chǎn)生碰撞，而本題又要求構(gòu)造圖形的多樣化，所以學生會嘗試不同的方案來解決，因此每一位成員的創(chuàng)新意識在無形中提高；（4）通過小組合作學習的開展，學生的集體榮譽感和團隊意識得到了增強。

2.命題反思：（1）題目的起點不夠低，從第（1）題的小組合作的過程來看，盡管絕大部分的小組能夠構(gòu)造出圖形，并能寫出勾股定理的證明過程，但是在每一小組中學習基礎相對薄弱學生的主動參與性不強，也就是他們的參與實際上是被動的，如果題目的難度再降低點，那么他們的參與很有可能變被動為主動；（2）從整個題目的設計，可能存在一定的缺陷，我們已經(jīng)知道，能夠成功證明勾股定理的圖形，那么就要做到直角三角形的斜邊應該是互相垂直的，而斜邊互相垂直的情況不一定是頂點要重合。所以從思維的嚴謹性上考慮應該要讓學生走出只構(gòu)造出頂點重合的情形，至少從圖形上要知道不一定是頂點要重合；（3）命題設計的完整性還不夠，課堂教學的目的就是讓學生學習并掌握科學文化知識，以期更方便地解決生活中發(fā)現(xiàn)的問題。所以此題在最后環(huán)節(jié)設計中可以增加一些聯(lián)系生活的應用問題，從而好讓學生更加充分的體會到我們數(shù)學學習的目的。

參考文獻：

[1] 岳健.淺談如何組織有效的小組合作學習 [J].新課程（上），2011（5）：207.

[2] 龔志明.學以致用，讓初中數(shù)學回歸生活[J].科教創(chuàng)新，2013（2）.

（作者單位：浙江省南潯錦繡實驗學校 313009 ）endprint