輾轉相除法的統(tǒng)一公式及其應用

楊 妮，魏春強

（安康學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，陜西 安康 725000）

1 統(tǒng)一公式

對于P[x]中任意兩個多項式f(x)與g(x)，其中g(x)≠0，f(x)g(x)，由輾轉相除法可以得到下面的等式：

于是可得

定理1（統(tǒng)一公式）對于P[x]中任意兩個多項式 f(x)與 g(x)，g(x)≠0，f(x)>g(x)，則

證明用數(shù)學歸納法。當k=1時，定理1成立，由輾轉相除法開始的兩個等式，有

由于

即定理1對k=2成立。

假定命題對正整數(shù)1,2,…,k都成立，現(xiàn)在證明對k+1也成立。

2018年10月16日，農(nóng)業(yè)農(nóng)村部副部長于康震赴遼寧省錦州市北鎮(zhèn)市現(xiàn)場指導非洲豬瘟疫情處置并組織召開東北三省非洲豬瘟防控工作現(xiàn)場會。于康震強調，要充分認識當前復雜嚴峻的疫情形勢，把規(guī)?；B(yǎng)豬場和種豬場“兩場”的疫病防控工作擺在更加突出的位置，統(tǒng)籌疫病防控和產(chǎn)業(yè)發(fā)展，采取有力措施，切實保護好生豬產(chǎn)業(yè)和市場供給的基礎。

由此，對一切k(k=1,2,…,n)，定理1的結論成立。

同理可證明，對于P[x]中任意兩個多項式f(x)與 g(x)，f(x)≠0，f(x)

定理2[1]13對于P[x]中任意兩個多項式f(x)與g(x)，最大公因式是d(x)，則存在多項式u(x)，v(x)，使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)成立。

由定理1我們給出新證法。

證明當g(x)=0時，f(x)與g(x)的最大公因式為

當g(x)≠0時，不妨設f(x)>g(x)，由定理1的證明可知d(x)=rn(x)，

由上式得

2 應用

在實際應用中，經(jīng)常需要計算定理2中的多項式u(x)與v(x)，而傳統(tǒng)的回代法求u(x)與v(x)的計算過程往往比較繁瑣。若通過輾轉相除法的統(tǒng)一公式，借助列表法求定理2中的多項式u(x)，v(x)，可明顯減少計算量。

通過仔細觀察，我們可以將統(tǒng)一公式通過列表進行計算：先把q1(x)，q2(x)，…，qn(x)，寫入表的第二行，再在表的第二及第三列寫入M0(x)=1，Q0(x)=0，M1(x)=q1(x)，Q1(x)=1，然后根據(jù) Mk(x)=qk(x)Mk-1(x)+Mk-2(x)，Qk(x)=qk(x)Qk-1(x)+Qk-2(x)，順次求出 M2(x)，Q2(x)，M3(x)，Q3(x)，…，Mn(x)，Qn(x)。表中的“+”號連接qk(x)到Mk-1(x)，Qk-1(x)的線及箭頭“→”可以幫助我們記憶，最后在Mn(x)，Qn(x)前分別乘上(-1)n-1與(-1)n就得所求的u(x)與v(x)。列表如下：

下標i0 1 2 … k-2 k-1 k… n qi(x) q1 q2…qk-2qk-1 qk…qn Mi(x)1 qM2…Mk-2Mk-1Mk…Mn Qi(x)0 1Q2…Qk-2Qk-1Qk…Qn

例1[2]求f(x)=4x4-2x3-16x2+5x+9與g(x)=2x3-x2-5x+4的最大公因式d(x)，并求出u(x)，v(x)，使得 f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)。

解法一用傳統(tǒng)回代法。

由

于是

故

解法二用統(tǒng)一公式法。

由定理2知

列表如下：

下標i 0 1 2 qi(x) 2x -1 Mi(x) 1 2x -2 3x+1 Qi(x) 0 1 -1 3x+1 3 3x2+2 3x+1 3

總結：對比解法一和解法二，我們可以看出，采用統(tǒng)一公式法求解u(x)和v(x)更方便快捷，計算量小，準確度高，而傳統(tǒng)的回代法求解u(x)和v(x)過程繁雜，也容易出錯。

例2[1]45求f(x)=x4+2x3-x2-4x-2與g(x)=x4+x3-x2-2x-2的最大公因式d(x)，并求出u(x)，v(x)，使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)。

解用統(tǒng)一公式法。

由定理2知

列表如下：

?

3 結語

本文結合輾轉相除法與列表法，總結出用輾轉相除法求最大公因式相關的多項式u(x)和v(x)的統(tǒng)一公式，為求解u(x)和v(x)提供了簡便途徑。不但簡化了計算量，而且條理清晰，過程簡潔，一目了然，特別對求解u(x)和v(x)的步驟較多的題目，采用統(tǒng)一公式法求解比傳統(tǒng)的回代法更有優(yōu)勢，規(guī)避了傳統(tǒng)的回代法步驟較多，過程繁雜，運算量大，極易出錯的弊端。

[1]王萼芳，石生明.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]李金坤.高等代數(shù)同步輔導及習題全解[M].4版.北京：中國水利水電出版社，2015：15.