基于LMI的不確定混沌系統(tǒng)的有限時間同步

徐 彤

（天津工業(yè)大學(xué)計算機(jī)科學(xué)與軟件學(xué)院，天津 300387）

0 引言

混沌是一類非線性的動力學(xué)現(xiàn)象，在自然界中是廣泛存在的。由于混沌科學(xué)在化學(xué)反應(yīng)，電力轉(zhuǎn)換，生物系統(tǒng)，信息處理，保密通信等學(xué)科領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，引起了人們的強(qiáng)烈重視。自從上世紀(jì)九十年代年物理學(xué)家E. Ott等人提出了OGY[1]方法對混沌系統(tǒng)進(jìn)行了有效的控制，近年來，針對混沌系統(tǒng)的研究已經(jīng)開始飛速的發(fā)展。

近些年來，許多行之有效的混沌同步方法被相繼提出，例如狀態(tài)反饋控制方法，脈沖控制法，滑模變結(jié)構(gòu)方法等。滑模變結(jié)構(gòu)控制在 1950年被提出，已經(jīng)逐步成為一種經(jīng)典的控制方法，且方便應(yīng)用于各種系統(tǒng)，使得眾多學(xué)者在解決混沌同步問題時將變結(jié)構(gòu)方法作為首選。在利用滑?？刂品椒〞r，如果在系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣中出現(xiàn)了非匹配不確定項，將會使滑?？刂剖プ陨淼聂敯粜?，難以達(dá)到同步誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定，因此這在很大程度上限制了變結(jié)構(gòu)方法在混沌同步中的深入應(yīng)用。因此，眾多學(xué)者開始將研究混沌同步控制的重點轉(zhuǎn)向混沌系統(tǒng)中可能出現(xiàn)的非匹配不確定項問題。Aghababaa與Heydarib[2]研究了一種帶有非匹配不確定性并且含有外部擾動的不確定系統(tǒng)的混沌同步問題。Cai J[3]等人研究了一類非匹配不確定系統(tǒng)的有限時間同步問題。然而，由于線性矩陣不等式（LMI）技術(shù)其本身的結(jié)構(gòu)簡單，應(yīng)用便捷及求解便利等特性，近年來已經(jīng)逐漸被應(yīng)用到滑?？刂萍夹g(shù)中。因此，本文在上述研究的基礎(chǔ)上，針對一類非匹配不確定混沌系統(tǒng)的混沌同步問題，提出了基于線性矩陣不等式（LMI）技術(shù)的滑?？刂品椒ǎ⒃诨Ｃ娴脑O(shè)計上引入了積分型滑模面，利用 Lyapunov穩(wěn)定性定理，以線性矩陣不等式（LMI）的形式給出滑動模態(tài)存在的充分條件，并且設(shè)計積分切換控制器，實現(xiàn)了不確定混沌系統(tǒng)的有限時間同步。最后，求出控制參數(shù)，以帶有非匹配不確定項的蔡氏電路和Lorenz系統(tǒng)為例，給出仿真算例。實驗結(jié)果表明，本文提出的控制器與其他控制方法相比，具有較好的魯棒性及抗干擾性。

1 不確定混沌系統(tǒng)模型的描述

本文主要以蔡氏電路和洛倫茲系統(tǒng)為例，針對一類統(tǒng)一混沌系統(tǒng)研究混沌同步控制問題。以下為蔡氏電路數(shù)學(xué)模型：

以下為洛倫茲混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：

我們將（1）（2）統(tǒng)一寫為以下形式：

式中， x ∈R3為系統(tǒng)狀態(tài)向量，A,0為合適維度的矩陣或向量，可以看出，當(dāng)滿足如下條件時，系統(tǒng)（3）可以表示為蔡氏電路：

當(dāng)滿足如下條件時，系統(tǒng)（3）可以表示為洛倫茲混沌系統(tǒng)：

眾多學(xué)者針對上述一類統(tǒng)一混沌系統(tǒng)，利用滑模變結(jié)構(gòu)方法，進(jìn)行了大量研究。 但是，如果上述混沌系統(tǒng)中包含了非匹配不確定項與外部擾動因素，以往的滑?？刂品椒▌t會失效。因此，本文在上述混沌系統(tǒng)中同時考慮了非匹配不確定項及外部干擾的情況。 將（3）改寫為如下形式：

將上述不確定混沌系統(tǒng)定義為主系統(tǒng)，為了使主從系統(tǒng)達(dá)到混沌同步，將從系統(tǒng)定義為如下形式：

式中，x ， y∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量，u = ( u1,u2)Τ是控制輸入， f (x) ,f(y)是連續(xù)的非線性函數(shù)，B為系統(tǒng)的輸入矩陣，d1( t),d2(t)為未知但范數(shù)有界的外部干擾函數(shù)。

本文主要思路是通過設(shè)計積分切換控制器，使得從系統(tǒng)的運(yùn)動軌跡漸進(jìn)地到達(dá)主系統(tǒng)運(yùn)動軌線并最終保持同步，即

此外，針對此類混沌系統(tǒng)，本文還提出了以下假設(shè)：

假設(shè)1 矩陣對（A, B ）是可控的；

假設(shè)2 系統(tǒng)狀態(tài)向量 x ,y可以觀測；

假設(shè)3 系統(tǒng)輸入矩陣B滿秩為m且m≤n；

假設(shè)4 存在一個已知常量ρA且對于所有的t∈R,都有 Δ A (t) ≤ ρA；

假設(shè) 5 系統(tǒng)外部干擾 d1( t),d2(t)是未知的，但存在一個已知常量D且對于所有的t∈R，||d2(t)-d1(t)||≤D。

下面給出個幾個在證明中用到的引理：

引理1 考慮以下不等式[5]：

式中， Q (x) = Q (x)Τ， R (x) = R(x)Τ，且∏(x)是關(guān)于x的仿射函數(shù)。則上述不等式等價于：

引理2 給出以下不等式[6]：

由以上不等式可推廣至下述形式：

引理3 考慮如下不確定系統(tǒng)[6]：

式中， x1(t) ∈ Rn-m， x2(t)∈ Rm， λ為正標(biāo)量，A1(t)和 A2(t)是未知但是范數(shù)有界的合適維度的矩陣。若子系統(tǒng) x˙1( t) = A1( t)x1二次鎮(zhèn)定，則原系統(tǒng)（9）也能夠滿足二次鎮(zhèn)定。

引理4 假設(shè)正定函數(shù) V (t)滿足以下不等式[12]

式中，α和φ為正常量，η兩個正奇數(shù)之比且滿足01η＜＜。那么對于任意0t，()Vt將會在有限時間t∫內(nèi)收斂至零。t∫的表達(dá)式如下：

2 積分型滑模面設(shè)計及分析

為了使主從系統(tǒng)達(dá)到混沌同步，定義誤差向量e y x= - ，根據(jù)系統(tǒng)（6）（7）可以得到動態(tài)誤差系統(tǒng)：

式中， F (x,y) = f(y) - f(x)， d (t) = d2(t) - d1(t )且由假設(shè)5可知d(t)≤D。

為了使系統(tǒng)從初始狀態(tài)到最終時刻都存在滑動模態(tài)，我們設(shè)計了如下積分型滑模面：

式中， C =(BΤX-1B )-1X-1,v為積分滑模項，且CB=I,λ＞0。

為了使誤差系統(tǒng)的運(yùn)動軌線保持在切換面s(e)=0，采用等效控制方法，令s=s˙=0，得到等效控制：

式中， B g(x,y) = F(x,y)， B h(t) = D(t)。將等效控制代入動態(tài)誤差系統(tǒng)（11）

定理1 針對非匹配不確定誤差系統(tǒng)（11），如果將滑模面設(shè)計為（12）的形式，且參數(shù)設(shè)計滿足如下LMI，則誤差系統(tǒng)（11）在滑模面 0s= 上是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

式中，B~是BΤ的零空間的的任意基底，且B~不是唯一的。

證明 為了分析動態(tài)誤差系統(tǒng)（11）在滑模面上的穩(wěn)定性，定義變型矩陣M和聯(lián)系向量z：

將e = M-1z代入上式，有

式中，λ＞0， Γ1(t )＜∞， Γ2(t)＜∞，由引理3可知，如果=Γ1( t)z1是鎮(zhèn)定的，那么上述滑動模態(tài)將會漸進(jìn)穩(wěn)定。因此，下面我們將繼續(xù)證明(A + ΔA)XB~z 的 漸 近 穩(wěn) 定 性 。 定 義Lyapunov函數(shù)如下：

式中，P為對稱的正定矩陣。將（19）求導(dǎo)

由上式可以看出，如果存在對稱正定陣P使得：

根據(jù)引理1可將上述不等式改寫為線性矩陣不等式形式根據(jù)引理2，可知以下不等式成立：

根據(jù)以上不等式，可將（23）改寫為：

根據(jù)引理 1，可將上述不等式改寫為（15）的形式?？梢钥闯觯绻鸏MI（15）成立，即若令P=，且X為 LMI（15）的可行解，則動態(tài)誤差系統(tǒng)（11）在滑動模態(tài)上是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

3 設(shè)計切換控制器

定理 2 對于動態(tài)誤差系統(tǒng)（11），設(shè)計如下控制器，使誤差系統(tǒng)可以從任意初始狀態(tài)在有限時間內(nèi)收斂至平衡狀態(tài)，并使動態(tài)誤差系統(tǒng)的運(yùn)動軌跡一直保持在滑模面上。

式中，β，σ為任意的正參數(shù)，K為ρACe+D的一組上界，可將K表示為K≥（ρACe+D ）max。

證明 定義Lyapunov函數(shù)2()V s如下：

對上式求導(dǎo)，有

將控制器（26）代入（11）：

根據(jù)K ≥ （ρACe +D）max，可以判斷：

由此，可以得出：

上式中，λ min(β),λmin(σ)分別表示β，σ的最小特征值；μ = λ m in(β) ＞ 0，η =λm in(σ)＞0；α2=(α + 1 )2 ＜ 1 。根據(jù)引理 4，可以看出系統(tǒng)的狀態(tài)軌線將會在有限時間t∫內(nèi)收斂至平衡狀態(tài)。有限時間t∫的表達(dá)式如下：

4 仿真算例

4.1 蔡氏電路

給定以下數(shù)值：

式中，α=10，β=15，n=-1.2，m=-0 .6，此時蔡氏電路系統(tǒng)具有明顯的混沌特征，其相軌跡圖如圖1所示。

圖1 蔡氏電路混沌吸引子Fig.1 Chua’s circuit chaotic attractor

進(jìn)一步考察蔡氏電路系統(tǒng)不確定項及外部擾動因素：

式中， ρ1=0.2sin10πt ， ρ2=0.2sin20πt ，ρ3=0.1sin30πt?？擅黠@看出蔡氏電路的系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的不確定項不滿足匹配條件。使用 Matlab軟件的LMI工具箱，求出不等式（15）的可行解：

圖2 主系統(tǒng)與子系統(tǒng)隨時間的響應(yīng)曲線Fig.2 Time response curve of master system and slave system

圖3 誤差系統(tǒng)隨時間的響應(yīng)曲線Fig.3 Time responses curve of synchronization error system

由圖2、3可以看出，在加入了本文設(shè)計的控制器后，動態(tài)誤差系統(tǒng)快速收斂至平衡狀態(tài)，在接近5s時主系統(tǒng)與從系統(tǒng)的狀態(tài)達(dá)到混沌同步。

4.2 Lorenz混沌系統(tǒng)

給定以下數(shù)值：

式中，α=10，b=83，n=-1.2，m=-0 .6，此時Lorenz系統(tǒng)具有明顯的混沌特性，相軌跡圖如圖4所示。

圖4 洛倫茲混沌吸引子Fig.4 Lorenz chaotic attractor

進(jìn)一步 Lorenz混沌系統(tǒng)不確定項及外部擾動因素：

式 中 ， ρ1=0.1sin20πt ， ρ2=0.1sin10πt，ρ3=0.2sin30πt 。求得不等式（15）的可行解：

根 據(jù) C = (BΤX-1B )-1X-1可 以 得 出C=取得主系統(tǒng)初始狀態(tài) [x1( 0)x2(0)x3( 0)]Τ=[111]Τ，從系統(tǒng)初始狀態(tài)為 [ y1( 0) y2( 0) y3(0)]Τ=[000]Τ，可以得出動態(tài)誤差系統(tǒng) [e1( 0) e2( 0) e3(0)]Τ=[111]Τ，取常數(shù)λ=1，K=3，β=1，σ=2，η=35。利用Simulink軟件得到同步仿真結(jié)果。

從圖5，6明顯看出，Lorenz系統(tǒng)在受到系統(tǒng)狀態(tài)矩陣非匹配不確定的干擾以及外部擾動下，在加入了本文設(shè)計的積分型滑?？刂破鳎?6）后，誤差系統(tǒng)狀態(tài)快速收斂至平衡狀態(tài)，在t接近3 s時達(dá)到主系統(tǒng)與從系統(tǒng)的混沌同步。上述結(jié)果可以看出，本文設(shè)計的控制方法可以使得動態(tài)誤差系統(tǒng)在有限時間內(nèi)收斂至平衡狀態(tài)保持在滑模面上，此類方法針對不確定混沌系統(tǒng)具有良好的魯棒性及抗干擾性。

圖5 主系統(tǒng)與子系統(tǒng)隨時間的響應(yīng)曲線Fig.5 Time response curve of master system and slave system

圖6 誤差系統(tǒng)隨時間的響應(yīng)曲線Fig.6 Time responses curve of synchronization error system

5 結(jié)論

本文研究了一類在狀態(tài)矩陣中帶有非匹配不確定項及外部擾動同時存在的不確定混沌系統(tǒng)的混沌同步問題。利用線性矩陣不等式（LMI）技術(shù)構(gòu)造積分滑模面的形式并通過LMI工具箱解得積分滑模面的參數(shù)設(shè)計，設(shè)計了積分型切換控制器，保證了滑動模態(tài)的存在和系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性，又較好的抑制了系統(tǒng)不確定帶來的影響。最后通過對含有非匹配不確定項及外部擾動的蔡氏電路和 Lorenz系統(tǒng)的仿真研究，驗證了所給出控制器的有效性，也表現(xiàn)出該方法針對一類不確定混沌系統(tǒng)的同步控制問題有較強(qiáng)的魯棒性和抗干擾性等優(yōu)點。同時，本文驗證的控制方法可以推廣至更多混沌系統(tǒng)，例如Rossler系統(tǒng)，Liu混沌系統(tǒng)等。

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