借助轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想

李劍

摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)中必須重視思想方法的教學(xué)，它是數(shù)學(xué)教育教學(xué)本身的需要，是以人為本的教育理念下培養(yǎng)學(xué)生素養(yǎng)為目標(biāo)的需要，是提高學(xué)生解題能力的需要。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要求教師重視并掌握各章節(jié)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法；要重視基本知識(shí)、基本技能的教學(xué)，并滲透數(shù)學(xué)思想方法；要引導(dǎo)促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)化；在循環(huán)教學(xué)中及時(shí)總結(jié)，明確介紹和突出體現(xiàn)某種思想方法，使學(xué)生對(duì)這一數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法得到強(qiáng)化和鞏固。

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)化思想；學(xué)生；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2017）10-0007

數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、演繹、分類、歸納、模型、轉(zhuǎn)化等。而轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種最基本的數(shù)學(xué)思想，在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通常是將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，也常常在不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題之間互相轉(zhuǎn)化，可以說(shuō)在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)轉(zhuǎn)化思想幾乎是無(wú)處不在的。

一、轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值

1. 轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位和價(jià)值

（1）《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的期待

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（最新稿）不僅把“數(shù)學(xué)思考”作為總體目標(biāo)之一提出，同時(shí)還將“雙基”擴(kuò)展為“四基”，即基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)變得越來(lái)越重要。

（2）數(shù)學(xué)教育專家的觀點(diǎn)

全國(guó)數(shù)學(xué)特級(jí)教師徐斌老師說(shuō)：比知識(shí)重要的是方法，比方法更重要的是思想。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)知識(shí)本身非常重要，但真正對(duì)學(xué)生以后的學(xué)習(xí)、生活和工作起長(zhǎng)期作用，并使其終身受益的是數(shù)學(xué)思想方法。日本數(shù)學(xué)家米山國(guó)藏指出：“無(wú)論是對(duì)于科學(xué)工作者、技術(shù)人員，還是數(shù)學(xué)教育工作者，最重要的就是數(shù)學(xué)的精神、思想和方法，而數(shù)學(xué)知識(shí)只是第二位”。

2. 小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)

（1）小學(xué)數(shù)學(xué)是學(xué)生自己的數(shù)學(xué)

小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)是學(xué)生借助已有的生活經(jīng)驗(yàn)通過(guò)具體活動(dòng)產(chǎn)生的；數(shù)學(xué)教學(xué)要向?qū)W生提供探索、討論、實(shí)踐、調(diào)查和解決問(wèn)題的各種機(jī)會(huì)，其基本方式不應(yīng)該是“授予”，而是“引導(dǎo)”，給學(xué)生的思考和發(fā)展留下充分的空間，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)活動(dòng)的主人；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不再是單純的記憶、模仿和訓(xùn)練，而是自主探索、合作交流與實(shí)踐創(chuàng)新等多種形式的學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)課堂應(yīng)由單純的知識(shí)傳授的殿堂轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生主動(dòng)從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的場(chǎng)所；數(shù)學(xué)教師應(yīng)由單純的知識(shí)傳授者轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者。

（2）小學(xué)數(shù)學(xué)是生活化的數(shù)學(xué)

從兒童的生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不再是局限于教室中的活動(dòng)，而且是一種社會(huì)性的活動(dòng)。學(xué)生的生活環(huán)境及任何一個(gè)活動(dòng)場(chǎng)所都應(yīng)該作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的課堂。校外的買賣活動(dòng)、房屋的建造備料、面積的估計(jì)測(cè)量都含有豐富的數(shù)學(xué)問(wèn)題和知識(shí)。學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、生活化的、有趣的和富有挑戰(zhàn)性的。這些內(nèi)容有利于學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理、交流等能力的培養(yǎng)。

3. 小學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)

（1）小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律

小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律是由具體向抽象、由低級(jí)向高級(jí)發(fā)展的過(guò)程。但到了四年級(jí)以后，其認(rèn)知帶有很強(qiáng)的形象性和具體性，所以教育學(xué)生應(yīng)該考慮這些特點(diǎn)，通過(guò)學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)，通過(guò)獲得成功體驗(yàn)的過(guò)程來(lái)調(diào)動(dòng)孩子學(xué)習(xí)的積極性。

（2）小學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣

學(xué)習(xí)習(xí)慣是指學(xué)生在長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)實(shí)踐過(guò)程中逐漸形成的不需要意志努力和監(jiān)督的自動(dòng)化行為傾向。學(xué)習(xí)習(xí)慣有好壞之分，如：課前預(yù)習(xí)、上課專心聽(tīng)講，認(rèn)真完成作業(yè)等都是良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，有了它，學(xué)生可以輕松快捷地學(xué)好知識(shí)。反之，如果養(yǎng)成書(shū)寫(xiě)潦草、做題馬虎等不良的學(xué)習(xí)習(xí)慣，不僅增加學(xué)生學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)，而且有損于學(xué)生的身體健康。

由此得出，在教學(xué)中需要借助轉(zhuǎn)化思想為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)搭建平臺(tái)，提高小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

二、轉(zhuǎn)化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

轉(zhuǎn)化思想是從未知領(lǐng)域發(fā)展，通過(guò)數(shù)學(xué)元素之間的因果聯(lián)系向已知領(lǐng)域轉(zhuǎn)化，從中找出它們之間的本質(zhì)聯(lián)系，解決問(wèn)題的一種思想方法。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，主要表現(xiàn)為數(shù)學(xué)知識(shí)的某一形式向另一形式轉(zhuǎn)變，即化新為舊、化繁為簡(jiǎn)、化曲為直等。

1. 化新為舊

任何一個(gè)新知識(shí)，總是原有知識(shí)發(fā)展和轉(zhuǎn)化的結(jié)果。在實(shí)際教學(xué)中，教師可以把學(xué)生感到生疏的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成比較熟悉的問(wèn)題，并利用已有的知識(shí)加以解決，促使其快速高效地學(xué)習(xí)新知，而已有的知識(shí)就是這個(gè)新知的生長(zhǎng)點(diǎn)。如空間與圖形中的平行四邊形、三角形、梯形等圖形的面積公式推導(dǎo)，它們均是在學(xué)生認(rèn)識(shí)了這些圖形，掌握了長(zhǎng)方形面積的計(jì)算方法之后安排的，是整個(gè)小學(xué)階段平面圖形面積計(jì)算的一個(gè)重點(diǎn)，也是整個(gè)小學(xué)階段中能較明顯體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)容之一。

2. 化繁為簡(jiǎn)

在處理和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常常會(huì)遇到一些運(yùn)算或數(shù)量關(guān)系非常復(fù)雜的問(wèn)題，這時(shí)教師不妨轉(zhuǎn)化一下解題策略，化繁為簡(jiǎn)。反而會(huì)收到事半功倍的效果。

例如，在五年級(jí)上學(xué)期，新授求組合圖形的面積。（如上圖）之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)并掌握了長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形和三角形的面積計(jì)算方法，在此經(jīng)驗(yàn)和基礎(chǔ)之上，引導(dǎo)學(xué)生利用分割或者補(bǔ)全的方法將復(fù)雜的組合圖形轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的、基本的平面圖形，進(jìn)而計(jì)算它們的面積之和。通過(guò)小組討論后，學(xué)生的答案可謂精彩紛呈。

3. 化曲為直

“化曲為直”的轉(zhuǎn)化思想是小學(xué)數(shù)學(xué)曲面圖形面積學(xué)習(xí)的主要思想方法。它可以把學(xué)生的思維空間引向更寬更廣的層次，形成一個(gè)開(kāi)放的思維空間，為學(xué)生今后的發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

例如，圓面積的教學(xué)，教師在教學(xué)過(guò)程中，先請(qǐng)學(xué)生把圓16等分以后，請(qǐng)他們動(dòng)手拼成近似的平面圖形，即用轉(zhuǎn)化思想，通過(guò)“化曲為直”來(lái)達(dá)到化未知為已知。學(xué)生興趣盎然，通過(guò)剪、擺、拼以及多種感官協(xié)同參與活動(dòng)；或把其中的每一份再平均分成兩份后，拼成近似的長(zhǎng)方形，從而推導(dǎo)出面積公式：s=πR2。當(dāng)學(xué)生得出圓面積公式后，教師又創(chuàng)設(shè)一個(gè)情境：將圓平均分成32、64、128、256、512、1024……讓學(xué)生想象，拼出的圖形是否越來(lái)越接近標(biāo)準(zhǔn)的長(zhǎng)方形、平行四邊形、三角形和梯形。學(xué)生在這種“有限割拼，無(wú)限想象”的學(xué)習(xí)中，初步感受到了“化曲為直”轉(zhuǎn)化思想的教育，同時(shí)也體會(huì)到了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并為今后學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。endprint

三、借助轉(zhuǎn)化思想提高小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的實(shí)踐研究

新課標(biāo)指出：數(shù)學(xué)課程改革要以反映未來(lái)社會(huì)公民所必須的數(shù)學(xué)思想方法為主線，選擇和安排教學(xué)內(nèi)容。因?yàn)閿?shù)學(xué)的思想與方法是數(shù)學(xué)的靈魂，學(xué)生一旦擁有它，將終身受益。

五年級(jí)上學(xué)期在學(xué)習(xí)《三角形的面積》一節(jié)新授課時(shí)，筆者沒(méi)有按照以往的舊教法直接告訴學(xué)生三角形的面積公式，讓學(xué)生直接利用公式去計(jì)算；而是以學(xué)生身邊的實(shí)際問(wèn)題“怎樣計(jì)算紅領(lǐng)巾的面積”為載體，以小組合作學(xué)習(xí)的形式展現(xiàn)學(xué)生探索交流的過(guò)程，呈現(xiàn)學(xué)生操作活動(dòng)的多樣性。在學(xué)生探索交流的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生探索三角形的面積可以借助已經(jīng)學(xué)過(guò)的平行四邊形的面積來(lái)推導(dǎo)。因前面學(xué)習(xí)小數(shù)除法和平行四邊形的面積時(shí)，學(xué)生經(jīng)歷了將新知轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，在學(xué)生探索的過(guò)程中已經(jīng)滲透了轉(zhuǎn)化的思想，有利于探究新知，所以推導(dǎo)三角形的面積在轉(zhuǎn)化思想的幫助下就顯得簡(jiǎn)單了許多。不僅通過(guò)學(xué)生小組合作推導(dǎo)出了三角形的面積，而且還經(jīng)歷了三角形的面積為什么要除以2，難點(diǎn)也就不攻自破了。

學(xué)生不僅僅復(fù)習(xí)了每個(gè)多邊形的面積計(jì)算公式以及推導(dǎo)過(guò)程，而且還找出了它們之間的聯(lián)系，并用箭頭把它們連起來(lái)，把一個(gè)一個(gè)單一圖形的面積連成了一個(gè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，（將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形；三角形和梯形都可以轉(zhuǎn)化為平行四邊形；組合圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形）充分地體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的重要性和實(shí)效性，也用事實(shí)證明了學(xué)生已經(jīng)擁有了轉(zhuǎn)化的意識(shí)，學(xué)習(xí)上具備了轉(zhuǎn)化的思想，并通過(guò)轉(zhuǎn)化的思想找到了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，找到了多邊形面積的根。

正如著名數(shù)學(xué)家喬治·波利亞所云：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過(guò)它而找到了正確的道路?！痹谄綍r(shí)教學(xué)中，教師要努力挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)涵的轉(zhuǎn)化思想及其他數(shù)學(xué)思想，把握運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的機(jī)會(huì)，增強(qiáng)學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想的意識(shí)，以此提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展，為學(xué)生數(shù)學(xué)能力的可持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

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