關(guān)于可導(dǎo)函數(shù)“極值存在性”盲點(diǎn)的探究

林朝暉

【摘要】高中數(shù)學(xué)“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”這一章節(jié)中函數(shù)的“極值”是研究三次函數(shù)或超越函數(shù)的重要概念.根據(jù)函數(shù)極值的定義可知，一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)在某一點(diǎn)處無論是取得極大值還是極小值，都要求其在該點(diǎn)處的局部兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值異號，且這個(gè)函數(shù)在該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零是它在該點(diǎn)處取得極值的必要不充分條件.教學(xué)上我們也特別強(qiáng)調(diào)了是“必要”條件，尤其是“不充分”條件.比如，函數(shù)f（x）=x3在x=0處導(dǎo)數(shù)為零，但f（x）在x=0處并未取得極值.原因是該函數(shù)在x=0處兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值同號.事實(shí)上，f′（x）=x2≥0恒成立，f（x）在R上單調(diào)遞增，不存在極值.單純這一實(shí)例，學(xué)生看似理解，但總結(jié)十多年的教學(xué)實(shí)踐反饋，凡涉及“極值存在性”問題，學(xué)生往往在實(shí)際操作中患得患失，檢驗(yàn)意識淡薄，造成錯(cuò)誤.

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)；三次函數(shù)；極值定義；極值存在性；參數(shù)a的取值范圍

下面結(jié)合一些教學(xué)上常見和突出的實(shí)例來專項(xiàng)探討學(xué)生在“極值存在性”問題上的得與失：

一、當(dāng)原函數(shù)為三次函數(shù)時(shí)的求極值問題

案例1 求f（x）=13x3-x2+x的極值.

錯(cuò)解 f′（x）=x2-2x+1，令f′（x）=0，x=1，則f（x）的極值為：f（1）=13.

錯(cuò)因分析 f′（x）=（x-1）2≥0恒成立，f（x）單調(diào)遞增，f（x）無極值.

可以看出這里本質(zhì)是：f′（x）=x2-2x+1中Δ=0?。é?0時(shí)是同理?。?/p>

案例2 求f（x）=13x3-4x+4的極值.

案例1原理弄清之后就不難解析本例了：

f′（x）=x2-4=（x+2）（x-2）.

令f′（x）=0，x=-2，（2）當(dāng)f′（x）>0，即x<-2或x>2，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)f′（x）<0，即-2

前面兩行的單調(diào)性表明了極值的存在！這個(gè)步驟必不可少.（求極值下略……），這里本質(zhì)上是f′（x）中Δ>0！

這里可以作一簡要?dú)w納：

形如f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）

f′（x）=3ax2+2bx+c（a≠0）

Δ>0Δ≤0

f（x）有極值f（x）無極值

二、當(dāng)原函數(shù)為三次函數(shù)時(shí)的極值存在性求含參問題

（一）在實(shí)數(shù)集R上有極值的情形

案例3 若f（x）=x3-ax2+2ax-3在R上有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍？

學(xué)生解 等價(jià)于f′（x）=3x2-2ax+2a=0在R上有實(shí)數(shù)解，令Δ≥0，解之.

解析 這里顯然把上述概念所提到的“導(dǎo)數(shù)為零”作為了“充分條件”.注意到f′（x）是二次函數(shù)，如圖1所示.

當(dāng)Δ>0時(shí)，如圖2所示，f（x）滿足有極值的定義；當(dāng)Δ≤0（特別當(dāng)Δ=0）時(shí)，f′（x）≥0恒成立，

如圖3所示，f（x）在R上單調(diào)遞增，不存在極值.故正解應(yīng)令Δ>0解之.

點(diǎn)評 這一實(shí)例告訴我們，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)是“二次函數(shù)”時(shí)，應(yīng)限制Δ>0，為加深印象和區(qū)分度，可給出：

變式 若f（x）=x3-ax2+2ax-3，a∈R的圖像存在與x軸平行的切線，求a的取值范圍？

如圖當(dāng)Δ=0時(shí)，f（x）雖不存在極值，卻存在與x軸平行的切線，滿足題意，需令Δ≥0，從而讓學(xué)生更加深刻體會(huì)它們的聯(lián)系與區(qū)別.

（二）在某區(qū)間上有極值的情形

案例4 若f（x）=43x3+32ax2-a2x在區(qū)間[-1，1]上存在極值（或不單調(diào)），求實(shí)數(shù)a的取值范圍？

學(xué)生解 f′（x）=4x2+3ax-a2=（4x-a）（x+a）=0，x=-a，a4.

令-1<-a<1或-1

解析 上述解法f′（x）中隱含著條件Δ≥0，學(xué)生往往未注意排除兩根相等的情形（即Δ=0時(shí)，f′（x）≥0恒成立，f（x）在R上單調(diào)遞增，不存在極值.）.

正解補(bǔ)充 令-a≠a4（與Δ>0等價(jià)），a≠0，則a的取值范圍為（-4，0）∪（0，4）.

案例5 若f（x）=x3-ax2+x，在區(qū)間13，3上存在極值（或不單調(diào)），求實(shí)數(shù)a取值范圍？

解析 f′（x）=3x2-2ax+1（這里不易因式分解可用求根公式同上例解法，但計(jì)算煩瑣！可用分離參數(shù)法）

學(xué)生解 f′（x）=3x2-2ax+1=0在區(qū)間13，3上有解.

2ax=3x2+1，2a=3x2+1x=3x+1x13

從而23≤2a<283，則3≤a<143.

解析 上述解法也忽略了f′（x）中Δ>0的限制.需令Δ>0，這時(shí)a2>3，則a的取值范圍為3，143.

點(diǎn)評 案例4，5屬同一類型，但在f′（x）處理上要強(qiáng)調(diào)最常用的因式分解或分離參數(shù)的使用，這時(shí)均應(yīng)考慮Δ>0的限制.

三、當(dāng)原函數(shù)為非三次函數(shù)時(shí)的極值存在性求含參問題

案例6 若f（x）=x2-4x+3+alnx，在區(qū)間（0，2）上有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍？

學(xué)生解 f′（x）=2x-4+ax=2x2-4x+ax=0.等價(jià)于2x2-4x+a=o在（0，2）上有解.

分離a：a=-2x2+4x，x∈（0，2），求得0

解析 這里表達(dá)式是分式，但仍包含著二次函數(shù)，注意到分母x>0已確定，由求導(dǎo)及單調(diào)性可知同樣需令Δ>0，這時(shí)a<2，則a的取值范圍為0

案例7 若f（x）=ax-4ax-lnx，在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍？

分析 可先討論在定義域（0，+∞）上不單調(diào)（有極值）的情形.

學(xué)生解 f′（x）=a1+4x2-1x=0在（0，+∞）上有解.

分離a：a=1x+4x（x>0），

解之得：014.

解析 f′（x）=a1+4x2-1x（1）

=ax2+4a-xx2=0.（2） 也可以從本式中分離參數(shù)！

學(xué)生可能會(huì)未寫出（2）式的變化.a=0時(shí)，f（x）在定義域上單調(diào)；當(dāng)a≠0時(shí)，f′（x）中仍包含二次函數(shù)，且分母已是正數(shù)，同樣需令Δ>0，這時(shí)，-14

綜合得：0

又f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則a取值范圍為a≤0或a≥14.

點(diǎn)評 以上各例是導(dǎo)數(shù)解答題中最常見的有關(guān)“極值存在性”的題型，考慮導(dǎo)函數(shù)中是否存在二次函數(shù)，若存在，需限制Δ>0，這是前提，這是學(xué)生普遍忽略的死角！

但無論什么題型，判斷一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上是否存在極值最本質(zhì)的還是“極值存在”定義.（上述Δ>0便蘊(yùn)含在該定義之中）

四、利用“極值定義”來驗(yàn)證極值的存在性問題

案例8 f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，求a，b的值.

學(xué)生解 f′（x）=3x2+2ax+b，

f′（1）=0且f（1）=10，解得a=4，b=-11或a=-3，b=3.

解析 學(xué)生一方面，是缺乏“是否有極值”檢驗(yàn)的意識，另一方面，是檢驗(yàn)不來.顯然，這時(shí)利用Δ>0即可檢驗(yàn).也可用極值定義：當(dāng)a=-3，b=3時(shí)，f′（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2≥0恒成立，（f（x）在x=1處局部兩側(cè)導(dǎo)數(shù)同號），f（x）在R上單調(diào)遞增，不存在極值，應(yīng)排除.而a=4，b=-11則滿足題意.

案例9 若f（x）=2lnx+ax-bx，在x=1處取得極值4，求a，b的值.

學(xué)生解 f′（x）=2x-ax2-b，f′（1）=0且f（1）=4，解得a=3，b=-1.

這在考試中常遇到的情形：只有一組解，學(xué)生往往更不會(huì)考慮去檢驗(yàn)，這個(gè)步驟會(huì)被扣分.

解析 （應(yīng)檢驗(yàn)）這時(shí)

f′（x）=2x-3x2+1=x2+2x-3x2=（x+3）（x-1）x2（x>0）.

當(dāng)x>1時(shí)，f′（x）>0，當(dāng)0

案例10 若f（x）=ex-ax，x∈R有大于1的極值點(diǎn)，求a的取值范圍？

解析 f′（x）=ex-a=0，x=lna>1，則a>e.（這里也可用分離參數(shù)法）

這時(shí)導(dǎo)函數(shù)中不含二次函數(shù)，可用極值定義驗(yàn)證：

當(dāng)x>lna時(shí)，f′（x）>0；當(dāng)x

變式 函數(shù)f（x）=ex-ax的圖像在區(qū)間（1，+∞）上存在與y軸垂直的切線，求a的取值范圍？

這時(shí)等價(jià)于f′（x）=ex-a=0在（1，+∞）上有解，同案例1的變式，無須驗(yàn)證是否取得極值.

以上列舉平時(shí)常見的與“極值存在性”相關(guān)的案例，特別是求“含參問題”是難點(diǎn)！其中“驗(yàn)證極值的存在”是薄弱點(diǎn)！本文意即鞏固和強(qiáng)化學(xué)生的“概念意識”，深刻認(rèn)識文中提到的“必要不充分”條件，以便更全面更深刻地理解和消化，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)（嚴(yán)密性）的不斷提升！