例說三角函數(shù)周期問題的處理

蒲伯樂+丁自強(qiáng)

摘要：三角函數(shù)周期問題的處理是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中頗感棘手的問題，其關(guān)節(jié)點(diǎn)就在于周期函數(shù)的定義域既無(wú)上界又無(wú)下界，為此，我們常在長(zhǎng)度為所涉及周期的最小公倍且有利于問題處理的一個(gè)區(qū)間內(nèi)求得問題的解答，再加上該區(qū)間長(zhǎng)度的整數(shù)倍，擴(kuò)展到整個(gè)定義域上。這種由局部窺視整體的解題方法便于利用函數(shù)圖像，這個(gè)區(qū)間本文稱作基本區(qū)間，它的選擇具有靈活性，茲舉例說明如下所示。

關(guān)鍵詞：例說；三角函數(shù)周期問題；處理

例1求y=（sinx）-14的單調(diào)區(qū)間。

解：∵x必須滿足sinx>0，此時(shí)，y=（sinx）-14是關(guān)于sinx的減函數(shù).在區(qū)間（0，2π）內(nèi)，sinx>0的解集為（0，π），當(dāng)0

說明本例中長(zhǎng)度為2π的任一區(qū)間都可作為基本區(qū)間，但（0，2π）靠近原點(diǎn)是sinx>0的解區(qū)間，因此，我們選（0，2π）為基本區(qū)間.

例2解不等式組cosx>-12tanx≤33

解在同一直角坐標(biāo)系中畫出兩函數(shù)在區(qū)間-π2，3π2內(nèi)的圖像，顯見在此區(qū)間內(nèi)不等式組的解集為-π2，π6∪π2，2π3，∴不等式組的解集為2kπ-π2，2kπ+π6∪2kπ+π2，2kπ+2π3，（k∈Ζ）.

說明因?yàn)閮蓚€(gè)周期2π、π的最小公倍是2π，選-π2，3π2為基本區(qū)間，則正切曲線恰有兩支完整的分支。

例3求y=lg（2cosx+2）+1-2sin2x3的定義域.

解要使函數(shù)有意義，必須且只需

2cosx+2>01-2sin2x3≥0亦即

cosx>-22（1）sin2π3≤12（2）

（1）、（2）的解集分別為：2kπ-3π4

3kπ+5x4≤x≤3kπ+13π4，（k∈Ζ）

cosx，sin2x3的周期分別為2π和3π，它們最小公倍數(shù)為6π。

先在區(qū)間[-π，5π>2]內(nèi)求其交集為：-3π4，π4∪5π4，11π4∪17π4，19π4，∴所求的定義域?yàn)椋?kπ+17π4，6kπ+19π4∪6kπ+5π4，6kπ+11π4∪6kπ-3π4，6kπ+π4（k∈Ζ）。

說明若按例2的方法求解，則需求出在同一坐標(biāo)系中基本區(qū)間內(nèi)兩圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，故分別求出兩不等式的解集，再求公共解，因?yàn)閮蓚€(gè)周期2π、3π的最小公倍數(shù)是6π，同時(shí)考慮k=0時(shí)計(jì)算方便，在求公共解時(shí)，選[-π，5π]為基本區(qū)間.

例4解方程sin3x=cos3x

解 因?yàn)閟in3x與cos3x不可能同時(shí)為0，原方程即

tan3x=1，在區(qū)間-π6，π6內(nèi)，解為x=π12，∴原方程的解集為：xx=k·π3+π12，k∈Ζ.

說明這里的基本區(qū)間-π6，π6是根據(jù)周期π3及正切曲線的對(duì)稱性選取的。

例5（1986年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽單項(xiàng)選擇題）

設(shè)-1

A. x2nx+Q

B. x2nπ-Q

C. x（2n-1）π+Q

D. x（2n-1）π-Q

解 當(dāng)n=0時(shí)，各分支分別為：

A. Q

B. -Q

C. -π+Q

D. -π-Q

∵sinx

∴x只能在第三、四象限內(nèi)，由Q的范圍知：

A、C都包括x=0，B包括x=π2均應(yīng)否定，從而選（D）。

說明：將基本區(qū)間內(nèi)的解集加上這個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度的整數(shù)倍就得到整個(gè)定義域上的解集表達(dá)式，反之，在解集表達(dá)式中令整數(shù)n=0，即得基本區(qū)間內(nèi)的解集，顯然其中的任意一個(gè)值都是不等式的一個(gè)解。本例就是退到基本區(qū)間進(jìn)行驗(yàn)證的。

由此可見，利用基本區(qū)間、可將整個(gè)定義域上的問題歸結(jié)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)得到解決，同時(shí)又便于利用函數(shù)圖象和集合運(yùn)算，易于同學(xué)們掌握。

作者簡(jiǎn)介：丁自強(qiáng)，蒲伯樂，四川省廣安市育才學(xué)校。