軌跡方程思想的妙用

摘 要：本文選用了幾個經(jīng)典例子（含2題江蘇省高考題），以此來闡述軌跡方程思想在江蘇高考數(shù)學(xué)填空題中妙用。

關(guān)鍵詞：軌跡；方程；圓；最值；參數(shù)

我們先呈現(xiàn)今年江蘇高考13題：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（-12，0），B（0，6），點(diǎn)P在圓O：x2+y2=50上，若PA·PB≤20，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是 。

剖析：本題中動點(diǎn)P滿足兩個條件，分別考慮其軌跡，一為圓，另一為圓面，根據(jù)題意知它們有公共點(diǎn)，進(jìn)而得解。

解：滿足PA·PB≤20的點(diǎn)P的軌跡方程為（x+12）x+（y-6）y≤20，是以圓T：（x+6）2+（y-3）2=65為邊界的圓面，又點(diǎn)P在圓O：x2+y2=50上，故滿足題意的點(diǎn)P在圖中圓T內(nèi)圓的弧MN上，又xM=1，故P的橫坐標(biāo)的取值范圍是[-52，1]。

由此題不禁想到08年江蘇高考13題，題中曾引起大家熱議的阿波羅蒂斯圓問題，其實(shí)也是軌跡方程思想的運(yùn)用，下面我們來看：

08年江蘇高考13題：

在△ABC中，已知AB=2，AC=2BC，則S△ABC的最大值是 。

剖析：建系，求出C點(diǎn)軌跡，求出其到AB的最大值即可。

解：以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則得A（-1，0），B（1，0），設(shè)C（x，y），則由AC=

2BC得C點(diǎn)軌跡方程為（x-3）2+y2=8，故△ABC以AB為底時高最大為22，所以S△ABC的最大值是22。

此類題目的關(guān)鍵在于區(qū)別動點(diǎn)和定點(diǎn)，動靜結(jié)合，動定點(diǎn)的互化，進(jìn)而得到動點(diǎn)滿足的關(guān)系式，得到動點(diǎn)的軌跡方程，從而從容的解決此類問題。此類問題又常常將動點(diǎn)的關(guān)系進(jìn)行掩蓋，這就需要我們構(gòu)造出來并建立其關(guān)系式。

例 已知圓O：x2+y2=16，點(diǎn)P（1，2），M、N為圓O上的不同的兩點(diǎn)，且滿足PM·PN=0，

若PQ=PM+PN，則|PQ|的最小值是 。

解：如圖，取MN的中點(diǎn)T，由PM⊥PN知PT=MT=NT，故16=OT2+MT2=OT2+PT2（注：此式中只有T為動點(diǎn)），所以T點(diǎn)的軌跡方程圓C：x-122+（y-1）2=274，又PC=52，故PT的最小值是332-52，又|PQ|=2PT，所以|PQ|的最小值是33-5。

從這里我們看到，填空題中我們要注意一些動點(diǎn)，考慮能否求出其軌跡，往往有奇效，最后，我們留個類似的題目：

已知點(diǎn)A（3，4），點(diǎn)P在圓C：（x-2）2+（y-1）2=1上，點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn)，則|AP+AQ|的最小值為

。

作者簡介：戴天竹，江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)。endprint