關(guān)于一個(gè)特殊矩陣的冪的問(wèn)題

朱雙榮

摘 要：本文由兩個(gè)特殊的低階方陣的n次冪，猜測(cè)出一種形式相似的k階方陣的n次冪的結(jié)果，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明了結(jié)果的正確性.

關(guān)鍵詞：方陣；n次冪

一、 引言

求矩陣Ak×k的n次冪An一般有以下兩種方法：（1）若矩陣A能對(duì)角化，可以先計(jì)算矩陣A的特征值與特征向量，然后寫(xiě)出k個(gè)特征值構(gòu)成的對(duì)角矩陣Q以及相應(yīng)的特征值所對(duì)應(yīng)的k個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量所構(gòu)成的可逆矩陣P，此時(shí)有P-1AP=Q，然后通過(guò)An=PQnP-1 計(jì)算出An；（2）通過(guò)計(jì)算A2，A3等低次冪尋找其中的規(guī)律，猜測(cè)An的結(jié)果，然后用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。

二、 問(wèn)題的提出

四、 小結(jié)

本文不僅得出了這個(gè)特殊矩陣的n次冪的結(jié)果，同時(shí)也道出了一種解題方法：那就是先通過(guò)兩個(gè)與所要求的矩陣形式相似的低階矩陣的n次冪中找出規(guī)律，從而猜測(cè)所要求的矩陣的n次冪的結(jié)果，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性.

參考文獻(xiàn)：

[1]錢(qián)吉林.代數(shù)學(xué)辭典.華中師范大學(xué)出版社，1996.endprint