關于正線性映射的逆向Ando′s不等式的研究

宋 園

（滁州職業(yè)技術學院 基礎部，安徽 滁州 239000）

0 引言

2011年，SEO在文獻［3］中給出了逆向Ando′s不等式：若0＜m1≤A≤M1，0＜m2≤B≤M2且α∈[0,1]，則對于正線性映射Φ，有

對于正算子A,B，當0≤p≤1時，有

而當p＞1時，式（2）不一定成立。

本文將研究正線性映射的逆向Ando′s不等式，得到了式（1）p次冪的形式，其中p＞1。

1 引理

為了得到本文結果，需要如下引理：

引理1［5］設A,B＞0 ，則

引理2［6］設A＞0，則對于單位正線性映射Φ，有

引理3［7］設A,B＞0，1≤r＜∞ ，則

2 主要結果

定理1若0＜m1≤A≤M1，0＜m2≤B≤M2，且α∈[0,1]，則對于單位正線性映射Φ，有

證明式（3）等價于

由于0＜m1≤A≤M1，所以

從而

同理可得

由引理1、引理2、式（4）和式（5）可得

即

從而式（3）成立。

證畢。

定理2若 0＜m1≤A≤M1，0＜m2≤B≤M2，α∈[0,1]，則對于單位正線性映射Φ，當1＜p＜2時，有

當p＞2時，有

證明當1＜p＜2時，由式（2）和定理1可知式（6）成立。

當p＞2時，式（7）等價于

由引理1、引理3和定理1可得

即

從而式（7）成立。

證畢。

（References）

［1］ANDO T.Concavity of certain maps on positive definite matrices and applications to Hadamard products［J］.Linear Algebra&Its Applications，1979，26：203-241.

［2］KUBO F，ANDO T.Means of positive linear operators［J］.Mathematische Annalen，1980，246（3）：205-224.

［3］SEO Y.Reverses of Ando′s inequality for positive linear maps［J］.Mathematical Inequalities&Applications，2011，14（4）：116.

［4］PECARIC J E，古田孝之，HOT J M，et al.Mond-pe ari methodin operator inequalities［J］.Lotta Control La Tubercolosi，2005，31：461-464.

［5］BHATIA R，KITTANEH F.Notes on matrix arithmetic-geometric mean inequalities［J］.Linear Algebra&Its Applications，2000，308（1/2/3）：203-211.

［6］BHATIA R.Positive definite matrices［M］.Princeton：Princeton University Press，2015.

［7］ANDO T，ZHAN X.Norm inequalities related to operator monotone functions［J］.Mathematische Annalen，1999，315（4）：771-780.