基于剪切變形規(guī)律的剪力滯分析的有限梁段法

周朋，藺鵬臻，何志剛

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基于剪切變形規(guī)律的剪力滯分析的有限梁段法

周朋1，藺鵬臻2，何志剛1

(1. 蘭州交通大學 甘肅省道路橋梁與地下工程重點實驗室，甘肅 蘭州 730070；2. 蘭州交通大學 土木工程學院，甘肅 蘭州 730070)

選取基于剪切變形規(guī)律的翹曲位移函數(shù)的有限梁段法分析箱梁的剪力滯效應。該翹曲位移函數(shù)的定義是從剪力滯效應是由于翼板剪切變形引起的這一基本機理出發(fā)的，原理更加明確并且分析精度高。建立基于最小勢能原理的變分法的箱梁剪力滯控制微分方程及邊界條件，在此變分法微分方程的基礎上，導出相應梁段單元剪力滯系數(shù)矩陣和廣義荷載列陣，運用有限梁段法來分析剪力滯效應，分析試驗模型及鐵路簡支箱梁分別在均布荷載和跨中集中荷載作用下以及懸臂箱梁箱在均布荷載作用下的剪力滯效應。分析簡支梁和懸臂梁分別在均布荷載和跨中集中荷載作用下的剪力滯效應。并與相應的變分法解析結果進行比較，結果吻合良好，從而驗證本文方法的正確性。

箱梁；剪力滯；剪切變形；有限梁段

薄壁混凝土箱梁由于抗扭剛度大、整體性能良好、可塑性強和現(xiàn)場整體澆注方便等優(yōu)點而在橋梁中廣泛使用[1]。剪力滯效應是指箱梁上下翼板由于剪切變形的影響，而使得翼板的縱向正應力沿橫向分布不均勻的現(xiàn)象。在箱梁的設計計算中，若不考慮剪力滯效應，會高估箱梁的抗彎剛度，使撓度計算值偏?。贿€會使箱梁翼緣板中實際應力峰值無法得到真實反映，從而造成結構安全隱患。現(xiàn)階段預應力混凝土箱梁的發(fā)展趨勢為長懸臂板、大腹板間距、薄壁輕型化，剪力滯效應對箱梁應力分布和撓度的影響會更加顯著。因此，分析研究箱梁的剪力滯效應顯的越加重要[2]。剪力滯效應分析主要采用能量變分法、比擬桿法、數(shù)值分析法、彈性理論 法[3]。變分法中，剪滯翹曲位移函數(shù)的選取是分析剪力滯效應的關鍵。Reissner[4]假設翼板剪滯翹曲位移函數(shù)為二次拋物線，橫截面上引入一個翼板剪切變形最大差，建立矩形雙軸對稱箱梁的剪力滯效應的變分解。羅旗幟[5]取能量變分法導出的控制微分方程的齊次解作為梁段的有限元位移模式，在變分原理的基礎上，提出分析箱梁剪力滯效應的有限段法。郭金瓊等[6]應用變分法和有限條法分析箱梁的剪力滯效應。吳幼明等[7]在文獻[5?6]基礎上提出底板、頂板和懸臂板3個不同的剪滯翹曲位移函數(shù)，以考慮箱梁不同翼板及結構上下不對稱對翹曲位移幅度的影響。周世軍等[8]與文獻[5?7]考慮剪力滯效應的基本思路相似，不同的是在變分原理基礎上，采用每結點有2個剪力滯自由度有限梁段法求解剪力滯效應。本文采用的翹曲位移函數(shù)是基于翼板間剪力流的差異定義的，在此基礎上采用每結點有2個剪力滯自由度有限梁段方法求解剪力滯效應。文獻[8]方法與一般桿系有限元法配合使用，提出與一般梁單元分析相適應的分析箱梁剪力滯效應的方法。本文在文獻[8?9]的基礎上采取基于剪切變形規(guī)律的翹曲位移函數(shù)的箱梁剪力滯效應分析的有限梁段法分析簡支梁、懸臂梁分別在集中荷載和均布荷載作用下箱梁的剪力滯效應，將計算結果與其他文獻結果進行比較。

1 變分法剪滯控制微分方程

混凝土薄壁箱梁在豎向荷載作用下，截面的彎曲變形將伴隨著截面面外的翹曲而產(chǎn)生剪力滯后效應，從而在橫截面上存在服從平截面假設的剪滯翹曲位移。結合文獻[5?6, 10]，定義()為橫截面任一點(,,)的豎向撓曲位移，￠()為相應轉角，(,,)為縱向位移，()為截面廣義剪滯翹曲位移，(,)為剪滯翹曲位移函數(shù)。箱梁截面尺寸及坐標方向如圖1。

圖1 箱梁尺寸及坐標方向

橫截面的縱向位移可表示為：

由文獻[9]已知基于剪切變形的翹曲位移函數(shù)：

式中：2=c/t，即懸臂板和內側頂板面積之比；3=zAb/zss；s為頂板的面積包括懸臂板和內側頂板；A為底板面積。

翹曲位移函數(shù)選定后，可根據(jù)截面任一點的縱向位移，得到截面的彈性應變?yōu)椋?/p>

梁體的應變能可表示為對梁體積的積分：

梁段的總勢能：

對式(5)變分，并令P=0，得到下列微分方程及邊界條件：

式(6)中第3式為邊界條件，整理式(6)，并令

和稱作瑞斯納參數(shù)

得到梁段的剪力滯控制微分方程：

式中：為彈性模量；為剪切模量；()和()分別為梁上任意截面處的剪力和彎矩。

全截面豎向彎曲慣性矩：

全部翼板的剪滯翹曲慣性矩：

全部翼板的剪滯翹曲慣性積：

全部翼板的剪滯翹曲面積：

2 剪力滯計算的有限梁段公式

圖2為考慮剪力滯的梁段單元。結合文獻[8]在豎向分布荷載作用下，單元兩端的桿端力分別為Q，M和Q，M。假定梁的剪力在單元上線性分布，即

式中：為單元長度。

圖2 梁段單元示意圖

與此同時，假定剪力滯只影響梁截面上正應力的分布，但沿梁縱向的截面內力不發(fā)生改變。于是，可由一般有限元法得到單元兩端的桿端力Q，M和Q，M。則微分方程(7)的一般解形式為：

由邊界條件可確定系數(shù)1和2。對式(10)求導，可得：

0，u=u，￠=u￠和，j，￠j￠代入式(10)和式(11)可得：

系數(shù)1和2可由(12)～(15)的任意兩方程聯(lián)立解得。首先將式(12)和式(14)聯(lián)立解出第1組1和2，然后代入式(13)和(15)，可得式(16)和(17)；同理將式(13)和式(15)聯(lián)立解出第2組1和2，然后代入(12)和(14)，可得式(18)和(19)。

式中：

將式(17)和(18)次序調整后合并，寫成矩陣 形式：

[]{}={} (24)

式中：

式中：[]為單元系數(shù)矩陣；{}為廣義單元結點位移列陣；{}為廣義單元外荷載向量。

按以上方法進行單元分析后，就可以根據(jù)剪力滯廣義平衡與變形協(xié)調條件，把作為分離體的各個單元重新組成一個完整的結構。由單元的剪力滯系數(shù)矩陣[]是對稱矩陣，可得結構的總剪力滯系數(shù)矩陣也是對稱矩陣?？偧袅禂?shù)矩陣的組集和形成與形成總剛度矩陣的方法相同，因此總的剪力滯系數(shù)矩陣也具有等帶寬性質，求解方程組的方法與一般有限元法相同。

3 截面應力

按初等梁理論算得箱梁任意截面上的應力為

考慮剪力滯影響，由式(1)，(2)及式(6)第1式得箱梁任意截面上的應力為：

剪力滯系數(shù)表示為：

式(26)中(,)取式(2)中的第1式，則頂板應力為：

懸臂板、底板應力同理可得。

腹板與翼板的交界處(1)剪力滯系數(shù)為：

頂板中點處(0)剪力滯系數(shù)為：

4 與實驗解的對比驗證

以文獻[5, 9, 12]中跨徑800 mm簡支梁有機玻璃模型為例，模型的截面尺寸見圖3。試驗模型的平均彈性模量=3 000 MPa，泊松比=0.385。模型分別在跨中作用=0.272 2 kN集中荷載和滿跨=0.01 kN均布荷載[5]。

采用基于剪切變形規(guī)律的翹曲位移函數(shù)的有限梁段法，組集剪力滯系數(shù)矩陣[]與廣義外荷載向量{}，運用MATLAB軟件編程求解得簡支梁跨中截面各翼板的縱向應力以及相同截面形式的懸臂梁任意位置處沿梁縱向的縱向應力分布，本文取=1與=0處的沿梁縱向的縱向應力。為驗證本文方法的有效性和準確性，采用ANSYS有限元軟件建立板殼模型進行數(shù)值分析，并與模型試驗值和文獻[9]進行對比。簡支梁跨中截面的各翼板的縱向應力如圖4和圖5。

單位：mm

圖4 集中力作用下跨中截面縱向應力分布

由圖4和圖5可得，用基于剪切變形規(guī)律的翹曲位移函數(shù)的有限梁段法分析簡支梁分別作用跨中集中荷載和滿跨均布荷載時，跨中截面的縱向應力分布與文獻[9]及ANSYS解析結果吻合良好，實驗數(shù)據(jù)與本文分析結果具有較高的吻合。

圖5 均布荷載作用下跨中截面縱向應力分布

分析與簡支梁相同截面形式的懸臂梁在=1與=0處沿梁縱向的縱向應力，如圖6和圖7。

圖6 y=b1時縱向應力沿梁縱向分布

圖7 y=0時縱向應力沿梁縱向分布

由圖6和圖7可得，分析懸臂梁作用均布荷載時=1與=0處的沿梁縱向的縱向應力與文獻[11]解析解及ANSYS解析解吻合良好，且實驗數(shù)據(jù)的分布與本文分析結果也吻合良好，進一步證實了本文方法的有效性性與準確性。

5 鐵路箱梁的剪力滯效應分析

1) 基本參數(shù)

以時速250 km/h客運專線(城際鐵路)無砟軌道混凝土簡支整孔箱梁為例。為簡化計算，全橋截面尺寸均采用跨中截面形式。該簡支梁的物理參數(shù)：混凝土等級C50，=3.55×104MPa，=1.42×104MPa；跨中截面幾何尺寸如圖8所示。

單位：mm

2) 剪力滯系數(shù)計算

與有機玻璃模型類似運用MATLAB軟件編程計算分析簡支梁分別在跨中集中荷載和滿跨均布荷載作用下的剪力滯效應，并將計算結果與文獻[11]變分法解析結果對比，見圖9和圖10。

圖9 跨中集中荷載下剪力滯系數(shù)沿梁縱向分布

圖10 均布荷載下剪力滯系數(shù)沿梁縱向分布

由圖9和圖10可得，在結構形態(tài)、邊界條件和荷載條件完全對稱的情況下，用本文方法分析得到的剪力滯系數(shù)結果關于跨中截面完全對稱。沿梁縱向某個截面的剪力滯系數(shù)較大或變化幅度較大，則說明這個截面彎矩絕對值相對較小，剪力滯系數(shù)急劇變化是由于其本身的定義導致的(式(29)和式(30)彎矩在分母上)。以上分析可得在不同邊界條件和荷載工況下，本文分析得到的沿梁縱向的剪力滯系數(shù)結果與變分法所得結果吻合良好。由文獻[3, 6, 11]可知，運用變分法分析箱梁的剪力滯效應與試驗結果吻合良好，有較好精度。因此本文方法結果同樣也具有較高的精度。

6 結論

1) 基于剪切變形規(guī)律的翹曲位移函數(shù)，在變分法微分方程的基礎上，提出有限梁段法，利用單元的邊界條件導出相應梁段單元剪力滯系數(shù)矩陣和廣義荷載列陣來分析剪力滯效應，該翹曲位移函數(shù)從剪力滯效應是由于翼板剪切變形引起的這一基本機理出發(fā)原理更加明確，分析精度更高。

2) 大量文獻表明，變分法分析剪力滯效應結果與試驗結果、有限條法及板殼有限元法結果吻合良好且具有較高的精度，而本文方法結果與變分法解析結果基本一致，表明本文方法結果同樣具有很高的精度。

3) 分析試驗模型和鐵路箱梁在集中荷載和均布荷載條件下剪力滯系數(shù)沿梁長和特殊截面的分布，其結果與變分法解析結果吻合良好，為復雜橋梁形式分析剪力滯效應提供參照。由于計算公式簡單方便，可適于各種邊界條件下的箱梁剪力滯效應分析。

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Finite segment method of shear lag analysis of box girders based onflange-slab shear deformation law

ZHOU Peng1, LIN Pengzhen2, HE Zhigang1

(1. Key Laboratory of Road & Bridge and Underground Engineering Gansu Province, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China; 2. School of Civil Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China)

Through the finite segment method based on the warping displacement function is caused by shear deformation analyzes the shear lag effect of the thin-wall box girder. The warping displacement function is defined from the shear lag effect caused by the shear deformation of the wing plate. The principle is more explicit and high degree of precision. The governing differential equation for shear lag of box girders and the corresponding boundary calculus method based on the variation principle of the minimum potential energy. Based on the method to define the warping displacement function of shear lag and the governing differential equations by variational principle, derived the shear lag coefficient matrix and generalized load vector, using finite element method to analyze shear lag effect. The shear log effect of the simply supported box girder indude experimental model and railway under uniform load or mid-span load and the cantilever box girder under uniformly distributed load are analyzed. The results obtained from the finite segment procedure accurately agree with those from variational analysis method. which validates the effectiveness of the present analytical method.

box girder; shear lag; shear deformation; finite segment method

U411.5

A

1672 ? 7029(2018)01 ? 0103 ? 07

2016?11?21

國家自然科學基金重大資助項目(51368031)；中國鐵路總公司科技研究開發(fā)計劃課題(2017G010)；蘭州交通大學優(yōu)秀平臺資助 項目(201601)

藺鵬臻(1977?)，男，甘肅甘谷人，教授，博士，從事橋梁結構設計理論研究；E?mail：pzhlin@mail.lzjtu.cn