反例在代數(shù)教學(xué)中的作用

摘 要：本文通過一些實(shí)例說明反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：反例；數(shù)學(xué)；教學(xué)

反例是相對(duì)于某個(gè)全稱命題的概念，要說明一個(gè)命題是假命題，通常可以舉出一個(gè)例子，使之具備命題的條件，而不具有命題的結(jié)論，這種例子稱為反例。數(shù)學(xué)中，反例常被用于證明之中。有許多數(shù)學(xué)猜想或命題的敘述是全稱命題，當(dāng)證明這樣的數(shù)學(xué)猜想遇到困難時(shí)，數(shù)學(xué)家會(huì)趨向于尋找一個(gè)反例，以說明這個(gè)猜想是錯(cuò)誤的。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，反例有相當(dāng)重要的作用。條件的強(qiáng)弱，適用范圍的大小，都要通過反例加深理解。本文通過一些實(shí)例說明反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用。

例1 矩陣乘法不滿足消去律的反例。令

A=1-1-11，B=1212，C=0000。

那么A≠O，AB=O=AC。但是B≠C。

例2 矩陣相似而不合同，合同而不相似的反例。

即A與B相似。但A與B不合同，這是因?yàn)槿绻鸄與B合同，則有可逆矩陣P使得B=PTAP成立，那么

BT=（PTAP）T=PTATP=PTAP=B。

但顯然BT≠B。矛盾。

即A與B合同，但A與B的特征值分別為1，2和1，8，所以A與B不相似。

例3 最小多項(xiàng)式相同的矩陣不一定相似的反例。

如果矩陣A與B相似，那么有可逆矩陣T，使得B=T-1AT成立，于是對(duì)任一多項(xiàng)式f（x），

f（B）=T-1f（A）T。

因此，f（B）=O當(dāng)且僅當(dāng)f（A）=O。這說明相似的矩陣有相同的最小多項(xiàng)式。但是，如果矩陣A與B有相同的最小多項(xiàng)式，則A與B相似這個(gè)結(jié)論并不成立。下面給出反例。

由于若爾當(dāng)塊11

01的最小多項(xiàng)式是（x-1）2，所以A與B的最小多項(xiàng)式分別是（x-1）2，（x-1），（x-2）和（x-1）2，（x-2），（x-2）的最小公倍式。

因這兩個(gè)最小公倍式都等于（x-1）2（x-2），故得A與B有相同的最小多項(xiàng)式。另一方面，A與B的特征值分別為1，1，1，2和1，1，2，2，所以A與B不相似。

例4 環(huán)的同態(tài)滿射不保持有沒有零因子這一性質(zhì)的反例。考慮環(huán)（Z，+a，b·）到（Z6，+a，b·）的同態(tài)滿射

φ：a

MT ExtraaA@ [a]。

我們知道，Z沒有零因子。由于[2]≠[0]，[3]≠[0]，但是[2][3]=[0]。故Z6有零因子。

另一方面，考慮環(huán)（Z2，+a，b·）到（Z，+a，b·）的同態(tài)滿射

φ：（a，b）

MT ExtraaA@ a。

其中Z2的代數(shù)運(yùn)算是

（a1，b1）+（a2，b2）=（a1+a2，b1+b2），

（a1，b1）（a2，b2）=（a1a2，b1b2）。

顯然，Z2的零元是（0，0）。我們有

（1，0）≠（0，0），（0，1）≠（0，0）。

但是

（1，0）（0，1）=（0，0）。

故Z2有零因子。但是Z沒有零因子。

參考文獻(xiàn)：

[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)[M].第四版.北京：高等教育出版社，2013.

[2]劉紹學(xué).近世代數(shù)基礎(chǔ).北京：高等教育出版社，1999.

作者簡(jiǎn)介：

吳捷云，廣東省潮州市韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院。endprint