抽象代數(shù)中“變換群”概念的理解

馮玉明??

摘 要： 本文通過嘗試用簡潔的語言為初學(xué)《抽象代數(shù)》的學(xué)者講解“變換群”的概念，通過幾個(gè)例子解釋“變換”和“變換群”，最后舉例說明了兩個(gè)變換不一定可以交換。

關(guān)鍵詞：變換； 變換群；概念

一、 引言

《抽象代數(shù)》課程中的“變換”和“變換群”是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，對于初學(xué)者來說理解起來比較抽象，“變換群”也是他們接觸到的第一個(gè)抽象群，因此，不太容易理解。本文嘗試用比較淺顯的例子來對這些概念加以理解。

二、 “變換”的定義

定義1 一個(gè)集合A到A的映射叫做A的一個(gè)變換.

例子1 A={a，b}，則集合A的變換一共有四個(gè)，分別是：

f1：a→a，b→b； f2：a→b，b→a； f3：a→a，b→a； f4：a→b，b→b

第一個(gè)變換f1是集合A的恒等變換，它將集合中的任一個(gè)元映射成這個(gè)元本身。

例子2 Rn是n維實(shí)列向量構(gòu)成的集合，P為實(shí)數(shù)域是一起有逆的n×n矩陣的集合，任取P中一個(gè)元A，對于Rn中任意一個(gè)向量x，定義映射

τA：Rn→Rn

x→Ax

那么這么定義的映射是集合Rn的一個(gè)變換。并且，這個(gè)變換是一一的。顯然，如果矩陣A為單位矩陣，那么τA是恒等變換。

三、 “變換群”的定義

定義2 一個(gè)集合A的若干個(gè)一一變換對于變換的復(fù)合做成的一個(gè)群叫做A的變換群。

例子3 把例子1中的兩個(gè)一一變換放在一起構(gòu)成一個(gè)集合G={f1，f2}，則這個(gè)集合構(gòu)成變換群，其中f1是單位元，f2的逆元是f2。

例子4 把定義2中的所有變換放在一起構(gòu)成一個(gè)集合G={τA|A∈P}，那么它就是一個(gè)變換群。事實(shí)上，τI為這個(gè)群的單位元，其中，I為n階單位矩陣，τA-1=τA-1。

四、 “變換”不可交換舉例

圍繞著一個(gè)定點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)可以把平面上的所有點(diǎn)一一對應(yīng)到平面上的所有點(diǎn)，所以，旋轉(zhuǎn)可以看做平面上的一個(gè)一一變換。很顯然，任何兩個(gè)旋轉(zhuǎn)是可以互換的，比如，先旋轉(zhuǎn)α再旋轉(zhuǎn)β與先旋轉(zhuǎn)β再旋轉(zhuǎn)α效果是一樣的。

平移是平面上的另一種一一變換，同樣，兩個(gè)平移是可以互換的。但是一個(gè)平移和一個(gè)旋轉(zhuǎn)就未必是可以互換的，也就是說，先平移再旋轉(zhuǎn)與先旋轉(zhuǎn)再平移的效果未必是一樣的。例如，把（0，0）點(diǎn)向右平移一個(gè)單位到（1，0）點(diǎn)，再繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)π2，那么該點(diǎn)變?yōu)椋?，1）。如果先把（0，0）點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)π2，再向右平移一個(gè)單位，那么該點(diǎn)變位（1，0）。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張禾瑞.近世代數(shù)（修訂本）[M].高等教育出版社，2013.endprint