“以形助數(shù)”須謹防圖形失真

何國堅

[摘 要] 數(shù)形結合思想是一種重要的數(shù)學思想，利用數(shù)形結合思想解題，?？墒盏交y為易、化繁為簡、化隱為顯的功效.但在利用“以形助數(shù)”解決問題時，須注意圖形的等價性、完整性、準確性和存在性，謹防圖形失真.

[關鍵詞] 以形助數(shù)；等價性；準確性；存在性；完整性

“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結合百般好，割裂分家萬事非”. 數(shù)形結合思想就是使數(shù)量關系的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，由“數(shù)”想“形”，由“形”思“數(shù)”. 利用數(shù)形結合思想解題，?？墒盏交y為易，化繁為簡，化隱為顯的功效.但在利用“以形助數(shù)”解決問題時，如果忽視圖形的等價性、完整性、準確性和存在性，往往會導致錯誤結論的產生.

注意圖形等價性

圖形的等價性是指在利用數(shù)形結合解題時，僅利用了圖形的一般情況得出結論，而沒有對圖形的等價性進行研究，從而導致錯誤或片面性失誤. 為此在利用數(shù)形結合思想解題時，一定要注意圖形的等價性，利用圖形的等價性解題.

案例1 在平面直角坐標系xOy中，已知平面區(qū)域A={（x，y）x+y≤1，且x≥0，y≥0}，則平面區(qū)域B={（x+y，x-y）（x，y）∈A}的面積是多少？

錯解：畫出平面區(qū)域A，如圖1，設s=x+y，t=x-y，由圖知：0≤s≤1，-1≤t≤1，即平面區(qū)域B={（s，t）0≤s≤1，-1≤t≤1}，所以平面區(qū)域B的面積是2.

剖析：要求平面區(qū)域的面積，首先應準確地畫出平面區(qū)域，而區(qū)域B的表示有點反常規(guī)，上述錯誤是學生容易犯的錯誤，錯誤的原因是沒有把相關等價條件全寫出來，從而擴大了平面的區(qū)域.正確解法是：設s=x+y，t=x-y，所以B={（s，t）0≤s≤1，-1≤t≤1}，作出上述不等式組表示的平面區(qū)域B，如圖2所示，根據圖形可知平面區(qū)域為等腰直角三角形，所以面積是1.

在利用數(shù)形結合法解題時，由于圖形的準確性不強，僅由“大致”圖形之間的關系得出結論而導致失誤，為此應準確畫出圖形，要將圖形的直觀分析與推理論證相結合.

案例2 設二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，a>0，方程f（x）=x的兩個根為x1、，x2，且滿足0

錯解：設y=f（x），y=x，方程f（x）-x=0的兩根實質上是函數(shù)y=f（x）與直線y=x交點的橫坐標.作出上述兩個函數(shù)的圖形，如圖3，由圖形的直觀性可知：當x∈（0，x1）時，x

剖析：事實上函數(shù)f（x）=ax2+bx+c與直線y=x的交點除了上述情況外，還有一種情況，即兩個交點在拋物線的對稱軸的同側，從而導致了錯誤的產生.

正確解決如下：

除錯解中的情況以外，還應包含兩個交點在拋物線的對稱軸的同側，此時有x0，f（x）-x=a（x-x1）（x-x2）>0，所以f（x）>x，即有x

注意圖形的存在性

在利用數(shù)形結合法解題對，往往只注意形與形之間的大致位置關系，沒有對它們的存在性進行嚴密的考察，從而導致失誤，為此在使用數(shù)形結合時一定要注意圖形的存在性，不能無中生有.

案例3 已知拋物線y2=2px（p>0）上有一條長為a的動弦AB，求弦AB的中點M到y(tǒng)軸的距離的最小值.

錯解：如圖4，設拋物線y2=2px的焦點為F，準線為l，過A，B，M分別作l的垂線，垂足分別為A′，B′，M′，連結AF，BF. 設M到y(tǒng)軸的距離為d，由拋物線的定義知：

d=MM′-=-=≥=，

所以dmin=.

剖析：上述解法中取到最小值的條件是A，B，F(xiàn)共線，即弦AB過焦點F，而拋物線焦點弦的取值范圍是[2p，+∞），所以要使弦AB過焦點F，必有a≥2p，而題設中并沒有這個條件，忽視了圖形的存在性，從而導致失誤. 事實上，只有當a≥2p時，才有dmin=，而當a∈（0，2p）時，需利用代數(shù)方法得到dmin=.

注意圖形的完整性

在利用數(shù)形結合法解題時，我們經常是只畫出圖形的局部，只考慮這種局部的圖形，而沒有對圖形的整體進行考察，有時也會導致失誤.為此在使用數(shù)形結合思想時，要注意所用的圖形是否完整，對有多種情形的題目，一定要分類討論，不能以偏概全.

案例4 已知拋物線C：y=-x2+mx-1，點A（3，0），B（0，3），求拋物線C與線段AB有兩個不同交點時m的取值范圍.

錯解：令f（x）=-x2+mx-1，則二次函數(shù)f（x）的圖像的頂點坐標為，，結合圖5知拋物線和線段AB有兩個交點應滿足：

>3-，0<<3，f（3）≤0，f（0）≤0，解之得：-1+

剖析：上述解法僅僅考慮了拋物線的頂點在線段AB上方這一情形，思維片面，導致錯誤. 事實上，它忽視了頂點在線段AB上和頂點在線段AB下面時，拋物線與線段AB也有兩個交點的情形.正確解法如下：AB方程為：x+y=3，代入拋物線方程得：x2-（m+1）x+4=0，則x2+4=（m+1）x，令f（x）=x2+4，g（x）=（m+1）x，等價于y=x2+4與y=（m+1）x在[0，3]上有兩個不同交點，由圖6知：3

數(shù)學思想方法是數(shù)學的精髓，是學生形成良好認知結構的紐帶，是知識轉化為能力的橋梁，也是培養(yǎng)學生良好的數(shù)學觀念和創(chuàng)新思維的關鍵. 從上面的分析可以看出：雖然數(shù)形結合思想是中學數(shù)學中最常見、最有效的思想方法之一，但“形”的直觀也往往會致使我們失之偏頗. 因此，在利用數(shù)形結合法解題時，特別要注意圖形的等價性、準確性、存在性和完整性，確保圖形的真實性，謹防圖形失真.