例析離散型隨機(jī)變量及其分布列

余錦銀

離散型隨機(jī)變量及其分布列是隨機(jī)事件及其概率的延續(xù). 通過研究全國和各省的高考題，不難發(fā)現(xiàn)，“求離散型隨機(jī)變量及其分布列”是一種非常重要的題型. 本文通過對(duì)這種類型試題的研究，總結(jié)了幾種常見的基本題型與求解方法，供大家參考.

離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)

離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)主要有三方面的作用：（1）利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的值或取值范圍；（2）利用“離散型隨機(jī)變量在某范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和”求某些特定事件的概率；（3）可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列的結(jié)果是否正確.

例1 若離散型隨機(jī)變量X的分布列為

[X 0 1 P [9c2-c] [3-8c] ]

則常數(shù)[c]=________，[P（X=1）]=________.

解析 由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)知，

[9c2-c+3-8c=1，0≤9c2-c≤1，0≤3-8c≤1.] 解得，[c=13.]

所以[P（X=1）=3-8×13=13.]

點(diǎn)評(píng) （1）利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時(shí)要注意檢驗(yàn)，以保證每個(gè)概率值均為非負(fù)數(shù). （2）求隨機(jī)變量在某個(gè)范圍內(nèi)的取值概率時(shí)，根據(jù)分布列將所求范圍內(nèi)隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的取值概率相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式.

離散型隨機(jī)變量分布列的求法

（1）找出隨機(jī)變量X的所有可能取值xi，i=1，2，3，…，n；（2）求出各取值的概率P（X=xi）=pi；（3）列成表格并用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確.

例2 甲、乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員，在某天訓(xùn)練中已各射擊10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：

（1）通過計(jì)算估計(jì)，甲、乙兩人的射擊成績誰更穩(wěn)；

（2）若規(guī)定命中8環(huán)及以上環(huán)數(shù)為優(yōu)秀，以頻率作為概率，請(qǐng)依據(jù)上述數(shù)據(jù)估計(jì)，甲在第11至第13次射擊中獲得優(yōu)秀的次數(shù)[ξ]的分布列和期望.

分析 （1）分別計(jì)算甲、乙兩人射擊的平均成績與方差，比較其大小即可；（2）由題意得，甲運(yùn)動(dòng)員命中8環(huán)及以上的概率為[p=25，]分別計(jì)算[ξ=0，1，2，3]時(shí)的概率，即可得到相應(yīng)的概率分布列與期望.

解 （1）由題意得，[x甲=1107+8+…+4=7，]

[x乙=1109+5+…+7=7，]

所以[s2甲=1107-72+8-72+…+4-72=4，]

[s2乙=1109-72+5-72+…+7-72=1.2.]

因?yàn)閇s2乙

所以乙比甲的射擊成績穩(wěn)定.

（2）由題意得，甲運(yùn)動(dòng)員命中8環(huán)及以上的概率為[p=25.]

則甲在第11至13次射擊中獲得優(yōu)秀次數(shù)的情況[ξ]取得[0，1，2，3.]

所以[P（ξ=0）=35×35×35=27125，]

[P（ξ=1）=C13×25×35×35=54125，]

[P（ξ=2）=C23×252×35=36125，]

[P（ξ=3）=253=8125.]

所以[ξ]的分布列為

例3 某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：

試銷結(jié)束后（假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變），設(shè)某天開始營業(yè)時(shí)有該商品3件，當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率.

（1）求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率；

（2）記X為第二天開始營業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求X的分布列.

解析 （1）P（當(dāng)天商店不進(jìn)貨）=P（當(dāng)天商品銷售量為0件）+P（當(dāng)天商品銷售量為1件）=[120+520=310.]

（2）由題意知，X的可能取值為2，3.

P（X=2）=P（當(dāng)天商品銷售量為1件）=[520=14，]

P（X=3）=P（當(dāng)天商品銷售量為0件）+P（當(dāng)天商品銷售量為2件）+P（當(dāng)天商品銷售量為3件）= [120+920+520=34或P（X=3）=1-P（X=2）=34.]

所以X的分布列為

[X 2 3 P [14] [34] ]

點(diǎn)評(píng) 在求解隨機(jī)變量的概率值時(shí)，注意結(jié)合計(jì)數(shù)原理、古典概型等知識(shí)求解.

超幾何分布

若隨機(jī)變量X滿足如下條件，則X服從超幾何分布. 第一，該試驗(yàn)是不放回地抽取n次；第二，隨機(jī)變量X表示抽取到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)（如次品件數(shù)或類似事件），反之亦然.

超幾何分布的特征：（1）考查對(duì)象分兩類；（2）已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；（3）從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體數(shù)X的概率分布.

例4 某小組共10人，利用假期參加義工活動(dòng). 已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為3，3，4. 現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì).

（1）設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；

（2）設(shè)X為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量X的分布列.

解析 （1）由題意得，[P（A）=C13C14+C23C210=13.]

所以事件A發(fā)生的概率為[13.]

（2）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2.

[P（X=0）=C23+C23+C24C210=415，]

[P（X=1）=C13C13+C13C14C210=715，]

[P（X=2）=C13C14C210=415.]

所以隨機(jī)變量X的分布列為

[X 0 1 2 P [415] [715] [415] ]

點(diǎn)評(píng) 求超幾何分布的分布列的步驟：第一步，驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)[N]，[M]，[n]的值；第二步，根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率；第三步，用表格的形式列出分布列.

離散型隨機(jī)變量的交匯問題

高考對(duì)隨機(jī)變量的考查以分布列和期望為主，涉及填空題、選擇題、解答題三種形式，且常在解答題中考查；涉及的數(shù)學(xué)思想方法主要有分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想.

例5 某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷，凡在該超市購物滿400元的顧客，將獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，規(guī)則如下：獎(jiǎng)盒中放有除顏色外完全相同的1個(gè)紅球、1個(gè)黃球、1個(gè)白球和1個(gè)黑球. 顧客不放回地每次摸出1個(gè)球，若摸到黑球則停止摸獎(jiǎng)，否則繼續(xù)摸球. 規(guī)定摸到紅球獎(jiǎng)勵(lì)20元，摸到白球或黃球獎(jiǎng)勵(lì)10元，摸到黑球不獎(jiǎng)勵(lì).

（1）求1名顧客摸球2次停止摸獎(jiǎng)的概率；

（2）記[X]為1名顧客摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額，求隨機(jī)變量[X]的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解析 （1）這是一個(gè)古典概型問題，摸2次后停止摸獎(jiǎng)，說明第一次不是黑球，而第2次摸的是黑球；（2）因?yàn)槭遣环呕氐孛?，因此得?jiǎng)金額可能為0元、10元、20元、30元、40元，這樣隨機(jī)變量[X]的分布列就要求出. 獎(jiǎng)金0元，說明第1次摸的是黑球；獎(jiǎng)金10元說明第一次摸的是拍球或黃球，第2次黑球；獎(jiǎng)金20元，說明第1次紅球，第2次黑球或第1、第2次是白球或黃球，第3次黑球；獎(jiǎng)金30元，第1次與第2次里有1次是紅球，另一次為白球或黃球，第3次黑球；而獎(jiǎng)金40元說明第4次是黑球. 由上可計(jì)算出分布列、期望.

（1）設(shè)“1名顧客摸球2次停止摸獎(jiǎng)”為事件[A]，

則[P（A）=A13A24=14].

故1名顧客摸球2次停止摸獎(jiǎng)的概率為[14].

（2）隨機(jī)變量[X]的所有取值為[0，10，20，30，40].

[P（X=0）=14]，[P（X=10）=A12A24=16]，

[P（X=20）=A22A34+1A24=16]，[P（X=30）=C12A22A34=16]，

[P（X=40）=A33A44=14].

所以隨機(jī)變量[X]的分布列為

[EX=0×14+10×16+20×16+30×16+40×14=20].

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用古典概型求分布列，具有一定的綜合性. 求離散型隨機(jī)變量的分布列有三個(gè)步驟：①明確隨機(jī)變量取哪些值；②利用排列、組合與概率知識(shí)計(jì)算隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率；③將結(jié)果用二維表格形式給出. 計(jì)算概率時(shí)注意結(jié)合排列與組合知識(shí).

而解決分布列、期望與方差及應(yīng)用等問題時(shí)，一般利用它們相關(guān)的性質(zhì)就可以求解，或通過建立方程來解決.

例6 據(jù)IEC（國際電工委員會(huì)）調(diào)查顯示，小型風(fēng)力發(fā)電項(xiàng)目投資較少，且開發(fā)前景廣闊，但受風(fēng)力自然資源影響，項(xiàng)目投資存在一定風(fēng)險(xiǎn). 根據(jù)測算，風(fēng)能風(fēng)區(qū)分類標(biāo)準(zhǔn)如下：

假設(shè)投資A項(xiàng)目的資金為[x（x≥0）]萬元，投資B項(xiàng)目的資金為[y（y≥0）]萬元，調(diào)研結(jié)果是：未來一年內(nèi)，位于一類風(fēng)區(qū)的A項(xiàng)目獲利30%的可能性為0.6，虧損20%的可能性為0.4；位于二類風(fēng)區(qū)的B項(xiàng)目獲利35%的可能性為0.6，虧損10%的可能性是0.1，不賠不賺的可能性是0.3.

（1）記投資A，B項(xiàng)目的利潤分別為[ξ]和[η]，試寫出隨機(jī)變量[ξ]與[η]的分布列和期望[E（ξ），E（η）]；

（2）某公司計(jì)劃用不超過100萬元的資金投資于A，B項(xiàng)目，且公司要求對(duì)A項(xiàng)目的投資不得低于B項(xiàng)目，根據(jù)（1）的條件和市場調(diào)研，試估計(jì)一年后兩個(gè)項(xiàng)目的平均利潤之和[z=E（ξ）+E（η）]的最大值.

解析 （1）A項(xiàng)目的利潤[ξ]的分布列為

[[ξ] [0.3x] [-0.2x] [P] 0.6 0.4 ]

[E（ξ）=0.18x-0.08x=0.1x].

B項(xiàng)目的利潤[η]的分布列為

[[η] [0.35y] [-0.1y] 0 [P] 0.6 0.1 0.3 ]

[E（η）=0.21y-0.01y=0.2y].

（2）由題意知，x，y滿足的約束條件為

[x+y≤100，x≥y，x，y≥0.]

由（1）可知，[z=E（ξ）+E（η）=0.1x+0.2y]，

當(dāng)x=50，y=50時(shí)，z取得最大值15.

所以對(duì)A，B項(xiàng)目各投資50萬元，可使公司獲得最大利潤，最大利潤是15萬元.

在高考解答題中，離散型隨機(jī)變量常常與等可能事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件等多種事件交匯在一起進(jìn)行考查. 另外，在近幾年的高考題中也出現(xiàn)了離散型隨機(jī)變量與函數(shù)、不等式等知識(shí)的交匯創(chuàng)新題. 因此在透徹理解各類事件的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確把題中所涉及的事件進(jìn)行分解，明確所求問題所屬的事件類型.endprint