電源剩余放電時(shí)間預(yù)測

趙 燕

(山西省機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，山西 長治 046001)

1 研究背景及問題重述

以2016年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽C題為背景，主要解決三個(gè)問題：

問題一：同一批次電池出廠時(shí)以20 A到100 A不同電流強(qiáng)度下的放電測試數(shù)據(jù)賽題在圖1中給出：

圖1 賽題附件1部分?jǐn)?shù)據(jù)的截圖

圖2 賽題附件2部分?jǐn)?shù)據(jù)的截圖

請用初等函數(shù)表示九種不同電流強(qiáng)度下的放電曲線；計(jì)算各放電曲線的平均相對誤差MRE(從電池的最低電壓為9 V開始，按不超過0.005 V的最大間隔提取231個(gè)電壓樣本點(diǎn).這些電壓值對應(yīng)的模型已放電時(shí)間與采樣已放電時(shí)間的平均相對誤差定義為MRE)；新電池使用中，分別以30 A、40 A、50 A、60 A和70 A電流強(qiáng)度放電，測得電壓都為9.8 V時(shí)，根據(jù)所獲得的模型，計(jì)算電池的剩余放電時(shí)間分別是多少？

問題二：建立20 A到100 A之間任意一個(gè)恒定電流強(qiáng)度下，放電時(shí)的放電曲線模型，并用MRE評估模型精度.用表格和圖形給出電流強(qiáng)度為55 A時(shí)的放電曲線.

問題三：同一電池在新電池狀態(tài)和3種不同衰減狀態(tài)下，以同一電流強(qiáng)度從充滿電開始放電的記錄數(shù)據(jù)給出.試預(yù)測圖2中電池衰減狀態(tài)3的剩余放電時(shí)間.

2 問題分析

2.1 問題一分析

根據(jù)20 A到100 A不同電流強(qiáng)度下的放電測試數(shù)據(jù)畫出電壓隨時(shí)間變化的散點(diǎn)圖，用MATLAB工具箱在散點(diǎn)圖上擬合出各自的放電曲線模型；其次，根據(jù)MRE的定義，選20 A到100 A各電流強(qiáng)度下的231個(gè)采樣點(diǎn)，并用Excel計(jì)算九種電流的平均相對誤差；根據(jù)擬合的放電模型，算出9.8 V時(shí)已放電時(shí)間，再由測試數(shù)據(jù)得出總放電時(shí)間，最后相減求出9.8 V時(shí)電池的剩余放電時(shí)間估計(jì)值，可以和9.8 V時(shí)電池的剩余放電時(shí)間實(shí)際值進(jìn)行比較，進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷木_度.

2.2 問題二分析

根據(jù)問題一的放電曲線模型，找規(guī)律并建立電壓關(guān)于電流、已放電時(shí)間的二元函數(shù)模型u(I,t)，由MRE的定義，選出20 A到100 A不同電流強(qiáng)度下的231個(gè)采樣點(diǎn)，并用Excel計(jì)算九種電流的MRE進(jìn)而確定模型精度；再將I=55 A代入二元函數(shù)u(I,t)模型中得55 A時(shí)的放電模型u(55,t)，用MATLAB畫出其放電曲線；最后利用Excel列出放電時(shí)間所對應(yīng)的電壓值.

2.3 問題三分析

首先，新電池、衰減狀態(tài)1、2的散點(diǎn)圖及衰減狀態(tài)3的已知點(diǎn)散點(diǎn)圖以一定規(guī)律分布，用Excel處理放電時(shí)間的采樣點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)間的關(guān)系，根據(jù)關(guān)系補(bǔ)齊衰減狀態(tài)3缺失的放電時(shí)間數(shù)據(jù)；最后，根據(jù)補(bǔ)齊的數(shù)據(jù)計(jì)算出衰減狀態(tài)3的剩余放電時(shí)間.

3 符號說明

符號說明單位u電池已放電t分鐘的電壓值Vt電池已放電時(shí)間minI電流強(qiáng)度Aum電池的最低電壓為9VV

4 模型建立與求解

4.1 問題一的模型及求解

4.1.1 不同電流強(qiáng)度下各放電曲線模型

利用MATLAB軟件曲線擬合工具箱[1]，根據(jù)20 A～100 A的放電測試數(shù)據(jù)，以時(shí)間t為橫軸，電壓u為縱軸繪出畫出散點(diǎn)圖，模型為：

u(t)=aebt+cedt

(1)

模型系數(shù)a、b、c、d如表1所示：

表1 電流強(qiáng)度下放電模型系數(shù)

圖3 電流強(qiáng)度為20 A的模型擬合圖u(t)

圖3為電流強(qiáng)度20 A的擬合效果圖.從擬合圖形看出，該模型的擬合效果比較好，模型的大部分值與樣本值重合，其他電流強(qiáng)度的擬合圖像與該圖類似，不再列舉.

4.1.2 計(jì)算平均相對誤差(MRE)

模型u(t)=aebt+cedt在各個(gè)電流強(qiáng)度下的平均相對誤差都沒有超過1%，誤差比較小,模型精度較高.

表2 各電流的平均相對誤差

4.1.3 電壓為9.8 V時(shí)電池的剩余放電時(shí)間估計(jì)

9.8 V時(shí)電池的剩余放電時(shí)間估計(jì)值=電池總放電時(shí)間-9.8 V時(shí)已放電時(shí)間

其中，電池總放電時(shí)間可從賽題附件1(圖1)中查到，9.8 V時(shí)已放電時(shí)間可以根據(jù)u(t)的模型求出.9.8 V時(shí)的剩余放電時(shí)間如表3所示.

表3 9.8 V時(shí)的剩余放電時(shí)間

說明：9.8V 時(shí)電池的剩余放電時(shí)間實(shí)際值，可以根據(jù)賽題附件1的放電測試數(shù)據(jù)計(jì)算得到.

從表3可以看出，9.8 V時(shí)電池的剩余放電時(shí)間估計(jì)值與實(shí)際值很接近，進(jìn)一步說明模型u(t)的精確度較高.

4.2 問題二的模型建立與求解

4.2.1 電壓隨時(shí)間和電流變化的模型建立

觀察問題一的九個(gè)放電曲線模型很類似，僅僅系數(shù)不同.在MATLAB中以電流強(qiáng)度為橫軸、系數(shù)為縱軸用多項(xiàng)式P1I8+P2I7+P3I6+P4I5+P5I4+P6I3+P7I2+P8I+P9進(jìn)行擬合[2]，得到系數(shù)a(I)、b(I)、c(I)、d(I)(見表4).并代入模型(1)得電壓隨時(shí)間和電流變化的模型：

u(I,t)=a(I)eb(I)t+c(I)ed(I)t (2)

4.2.2 電壓隨時(shí)間和電流變化的模型MRE評估

根據(jù)問題一篩選出的231個(gè)電壓樣本點(diǎn),算出各自的平均相對誤差，再求出MRE的平均值,如表5所示.

表5 電壓隨時(shí)間和電流變化的模型各電流的平均相對誤差

模型u(I,t)=a(I)eb(I)t+c(I)ed(I)t的平均相對誤差的均值為0.43%，也非常小，說明該模型的精度較高.

4.2.3 電流強(qiáng)度為55A時(shí)的放電曲線圖形及電壓值

將I=55 A代入u(I,t)即得出電流強(qiáng)度為55 A時(shí)的放電時(shí)間數(shù)學(xué)模型為：

u(55,t)=a(55)eb(55)t+c(55)ed(55)t

根據(jù)55 A的數(shù)學(xué)模型在Excel中計(jì)算并列出各個(gè)時(shí)間點(diǎn)的電壓部分截圖如圖4所示.

圖4 55 A放電時(shí)間所對應(yīng)的電壓值

電流強(qiáng)度為55 A時(shí)的放電曲線用Matlab繪圖如圖5所示.

圖5 電流強(qiáng)度為55 A時(shí)的放電曲線圖u(55,t)

4.3 問題三的模型建立與求解

圖6 補(bǔ)齊衰減狀態(tài)3的剩余放電時(shí)間的缺失數(shù)據(jù)

以電壓為橫軸，以放電時(shí)間為縱軸畫出新電池狀態(tài)、衰減狀態(tài)1、2及已知衰減狀態(tài)3的散點(diǎn)圖見圖7，發(fā)現(xiàn)圖像中每條曲線之間的間距有一定的規(guī)律，補(bǔ)齊后并畫出四種狀態(tài)下的放電時(shí)間見圖8.

圖7 新電池狀態(tài)及衰減狀態(tài)1、2及衰減狀態(tài)3已知放電時(shí)間采樣散點(diǎn)圖

圖8 補(bǔ)齊衰減狀態(tài)3后，新電池狀態(tài)及衰減狀態(tài)1、2、3的放電時(shí)間散點(diǎn)圖

根據(jù)預(yù)測數(shù)據(jù)得出衰減狀態(tài)3總的放電時(shí)間為790.8 min，數(shù)據(jù)樣本衰減狀態(tài)3的已放電時(shí)間為596.2 min，故其剩余放電時(shí)間為194.6 min.

[1] 周凱，宋軍全，鄔學(xué)軍.數(shù)學(xué)建模競賽入門與提高[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2012：25-32.

[2] 王新華.應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2010：28-33.