數(shù)學(xué)建模思想融入高職數(shù)學(xué)教學(xué)的探索與實(shí)踐

張麗華

弗賴登塔爾是荷蘭籍世界著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家，他對(duì)數(shù)學(xué)教育教學(xué)獨(dú)特而深刻的見解可以概括為3個(gè)詞：現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)化、再創(chuàng)造.數(shù)學(xué)建模思想恰好突出了“創(chuàng)造、創(chuàng)新”與“數(shù)學(xué)化”的弗氏教育思想內(nèi)涵，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)建模和與之相伴的科學(xué)計(jì)算日益成為將數(shù)學(xué)工具應(yīng)用于眾多領(lǐng)域中不可或缺的橋梁和關(guān)鍵，因此，在探索高職數(shù)學(xué)課程建設(shè)與改革的新思路中，我們要積極開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，努力將建模思想融入到數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)中.

1　數(shù)學(xué)建模思想釋義

數(shù)學(xué)模型是對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)［1］.數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）［2］.因此，數(shù)學(xué)建模思想的過程可以表示為現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)問題解現(xiàn)實(shí)問題.應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想可以把實(shí)際問題進(jìn)行簡化，通過數(shù)學(xué)語言描述出實(shí)際現(xiàn)象，就能解決很多實(shí)際問題.“曹沖稱象”是個(gè)耳熟能詳?shù)闹涔省绾斡眯〕臃Q大象，當(dāng)滿朝文武百官百思不得其解時(shí)，小小曹沖就突發(fā)奇想，把大象“變換”成石頭，分別稱這些石頭，石頭的總重量就是大象的重量.它揭示了從提出問題到解決問題的一個(gè)認(rèn)知過程，即如果直接去研究、解決問題很困難，沒有大秤可以直接稱大象，那就變“直接”為“間接”，將大象變成石頭，這些石頭就是大象的模型，通過建立模型就可以用小稱來稱石頭，石頭的重量便是大象的重量了，這樣就克服了局限性，使問題解決.通過“曹沖稱象”我們還可以看到：對(duì)于同一個(gè)問題，模型可以有多種，充滿著靈活性，如大象“變成”木頭也可以；而建立模型解決問題并不是死板地“照相”，是能充分發(fā)揮人的主觀能動(dòng)性的.因此，“曹沖稱象”的建模思想方法既可以簡化問題、突出重點(diǎn)，又可以猜想、創(chuàng)造等.又如歷史上著名的“哥尼斯堡七橋問題”，此問題是：能否從四塊陸地A、B、C、D之一出發(fā)走遍每一座橋，一次且僅一次，而后回到出發(fā)地？數(shù)學(xué)家歐拉就是巧妙地運(yùn)用了建模思想把小島、河岸抽象成了“點(diǎn)”，把橋抽象成了“線”，把“七橋問題”轉(zhuǎn)變?yōu)橛牲c(diǎn)和線組成的“圖”模型，應(yīng)用圖論知識(shí)說明如果每座橋只許通過一次，就不存在一次走遍七座橋的走法.

2　數(shù)學(xué)建模思想融入高職數(shù)學(xué)教學(xué)的意義

將數(shù)學(xué)建模思想融入高職數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以推動(dòng)數(shù)學(xué)教育體系的改革，推動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)課程的融合，推動(dòng)現(xiàn)代教學(xué)理論與實(shí)踐的結(jié)合，推動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)方法和手段的改革，對(duì)加快高職院校人才培養(yǎng)模式的改革同樣起到了推動(dòng)作用.

在數(shù)學(xué)建模過程中，經(jīng)歷了直覺→探試→出錯(cuò)→思考→猜想→驗(yàn)證幾個(gè)階段，完全符合學(xué)生認(rèn)知過程的發(fā)展規(guī)律.通過數(shù)學(xué)建模，學(xué)生不僅僅能學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的演繹思維，還能從傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中走出來，去應(yīng)用數(shù)學(xué)，讓雜亂無章的實(shí)際問題變得清晰有序，真正感受數(shù)學(xué)的美妙.通過建模訓(xùn)練，學(xué)生的綜合素質(zhì)得到了培養(yǎng)和提高，主要表現(xiàn)在以下方面：學(xué)生的資料查閱、文獻(xiàn)檢索、組織和寫作能力得到訓(xùn)練；絕大多數(shù)學(xué)生覺得課堂小組討論很有趣，積極參與的同學(xué)尤其有滿足感和成就感；學(xué)生的語言表達(dá)能力和交流溝通能力得到了訓(xùn)練；基于專題的討論訓(xùn)練了學(xué)生的推理水平，加深了學(xué)生對(duì)相關(guān)課程知識(shí)的理解和掌握；學(xué)生的團(tuán)隊(duì)意識(shí)和合作能力得到了培養(yǎng)；學(xué)生的創(chuàng)新思想得到了實(shí)現(xiàn).

3　數(shù)學(xué)建模思想融入高職數(shù)學(xué)教學(xué)的途徑

在教學(xué)實(shí)踐中，為了多角度、全方位地培養(yǎng)滲透建模思想，將建模思想融入課程教學(xué)中的具體途徑如下.

3.1　應(yīng)用背景模型，充分理解數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)的很多重大發(fā)現(xiàn)都是因?yàn)閷?shí)際應(yīng)用的需要而出現(xiàn)的，許多數(shù)學(xué)概念都有其實(shí)際背景，也是定理和應(yīng)用的前提，因此從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生從模型中深刻理解概念是“有用的”，這既增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.例如在講解定積分概念時(shí)，就以“定積分模型”的創(chuàng)建和應(yīng)用為例，引用幾何學(xué)中的“求曲邊梯形面積問題”和物理學(xué)中的“求變速直線運(yùn)動(dòng)的位移問題”，通過“分割、近似、求和、取極限”四步建立了求曲邊梯形面積的模型；利用同樣方法也建立求變速直線運(yùn)動(dòng)的位移模型通過分析微元，在建立微元模型的基礎(chǔ)上抽象出了定積分的概念.實(shí)際上，這種建立模型的過程所體現(xiàn)的定積分思想可以用來解決自然界中許多量的計(jì)算問題，如平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積、非均勻細(xì)棒的質(zhì)量、變力所做的功、液體的壓力等定積分的應(yīng)用問題.又如在講解導(dǎo)數(shù)定義時(shí)，也可以引用物理學(xué)中的“求變速直線運(yùn)動(dòng)的速度問題”和幾何學(xué)中的“求曲線的切線問題”，通過建立模型而抽象出導(dǎo)數(shù)的概念.利用實(shí)際背景建立模型來講解數(shù)學(xué)概念，可以將其本質(zhì)講清、講透，既利于學(xué)生對(duì)概念的理解掌握，又教會(huì)學(xué)生分析問題、解決問題的方法.

3.2　深入結(jié)合模型，不斷強(qiáng)化定理應(yīng)用

教材中的公式、定理、理論體系等都是一些具體的數(shù)學(xué)模型，教學(xué)時(shí)應(yīng)該向?qū)W生展示其產(chǎn)生和發(fā)展，讓學(xué)生了解和體會(huì)“現(xiàn)實(shí)問題→數(shù)學(xué)建模→解決問題→實(shí)際應(yīng)用”的建模過程，不斷加深定理的理解和應(yīng)用.例如，在學(xué)習(xí)一元函數(shù)介值性定理時(shí)，可引進(jìn)與該部分內(nèi)容相關(guān)的兩個(gè)實(shí)際例子，其一“椅子能否在不平的地面上放穩(wěn)的問題”，在分析問題的實(shí)際背景和實(shí)際含義后，可以把看似與數(shù)學(xué)無關(guān)的“放穩(wěn)”問題通過模型假設(shè)、模型建立、模型求解來巧妙地解決.解決該問題的思路是：椅子“放穩(wěn)”問題（現(xiàn)實(shí)問題）各椅腳離地面距離（數(shù)學(xué)問題）椅子“放穩(wěn)”問題.這個(gè)建模實(shí)例使學(xué)生看到了如何用抽象的介值定理來解決實(shí)際問題的方法.又如也可以討論這樣一個(gè)實(shí)際問題“一個(gè)煎餅，不論形狀如何，必可切一刀，使面積二等分”.在學(xué)生討論的基礎(chǔ)上，給出實(shí)例的解答過程，并以下圖的形式反映：煎餅等分問題面積函數(shù)現(xiàn)實(shí)問題解.問題解決了，但教學(xué)活動(dòng)并未終結(jié)，接下來引導(dǎo)學(xué)生討論：兩個(gè)煎餅，不論形狀如何，相對(duì)位置如何，必可切一刀，使面積二等分；三個(gè)煎餅，不論形狀如何，相對(duì)位置如何，能否切一刀，使面積二等分；一個(gè)煎餅，不論形狀如何，是否能以相互垂直的方式切兩刀，使面積二等分等一系列問題.

以上兩個(gè)實(shí)例啟迪了學(xué)生如何用數(shù)學(xué)語言描述似乎與數(shù)學(xué)無關(guān)的現(xiàn)象，如何用數(shù)學(xué)建模的工具對(duì)它加以證明，如何在定理應(yīng)用中把每個(gè)模型擴(kuò)展到更大的適用范圍和空間，在建模思想的廣泛遷移中，學(xué)生可以逐步領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

3.3　注重案例教學(xué)，培養(yǎng)建模思維能力

根據(jù)高職學(xué)生特點(diǎn)和學(xué)生就業(yè)所面向的職業(yè)崗位群，在教學(xué)過程中選擇一些日常生活和生產(chǎn)實(shí)踐的相應(yīng)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行案例教學(xué)，能真正激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為后續(xù)的專業(yè)學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).例如，在學(xué)習(xí)“用二分法求方程的根”問題時(shí)，可以創(chuàng)設(shè)這樣的案例，“有一段自來水管埋在地下，水表顯示有漏水現(xiàn)象，為了盡快找到漏水點(diǎn)，應(yīng)該如何挖掘？”于是，學(xué)生在教師引導(dǎo)下會(huì)簡化水管的長度、水管埋設(shè)的深度是否均勻、水管老化程度、重新埋設(shè)一條水管的費(fèi)用相比等一系列問題，采取“數(shù)學(xué)建模眼光”來“尋找”這個(gè)漏水點(diǎn)，學(xué)生將順著老師的思路“走”到了“二分法”的構(gòu)想，用二分法求方程的根的解題思路也就迎刃而解了.又如，在學(xué)習(xí)“線性方程組的解”問題時(shí)，引入“工資問題”——現(xiàn)有一個(gè)木工、一個(gè)電工和一個(gè)油漆工，三人相互同意彼此裝修他們自己的房子，在裝修之前，他們達(dá)成了如下協(xié)議：每人總共工作10天（包括給自己家干活在內(nèi)），按照木工家、電工家、油漆工家的工作順序，木工工作天數(shù)的分配方案為2∶4∶4，電工工作天數(shù)的分配方案為1∶5∶4，油漆工工作天數(shù)的分配方案為6∶1∶3；每人的日工資根據(jù)一般的市價(jià)在60～80元之間；每人的日工資數(shù)應(yīng)使得每人的總收入與總支出相等.如何計(jì)算出他們每人應(yīng)得的工資？通過分析問題并建立模型，聯(lián)立三個(gè)方程得方程組，求解齊次線性方程組難度不大，根據(jù)工作天數(shù)的分配方案表建立線性方程組也比較容易，這類問題的關(guān)鍵是要設(shè)計(jì)合理的工作天數(shù)分配方案表，使得最后計(jì)算出的每一個(gè)工人的日工資數(shù)基本上均等，或相差不是太大，同時(shí)還要與市價(jià)的日工資基本上相符合.最后得到木工、電工及油漆工每人每天的日工資為62元，64元，72元.在這樣的案例教學(xué)過程中，不僅把學(xué)生從“無意注意”引到“有意注意”，同時(shí)激發(fā)學(xué)生“學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)建模的思想進(jìn)行思考”的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，進(jìn)而強(qiáng)調(diào)解決實(shí)際問題的建模過程，強(qiáng)化了數(shù)學(xué)建模的思想.

3.4　優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，將建模思想融入教材

根據(jù)因材施教、難度適中的原則，教材中可以適當(dāng)選編一些建模應(yīng)用實(shí)例，在教學(xué)實(shí)際中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行建模訓(xùn)練，通過這種教學(xué)思路學(xué)生就會(huì)深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)建模思想是解決實(shí)際問題的銳利武器，還能大大提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.根據(jù)多年實(shí)踐教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，把各部分教學(xué)內(nèi)容涉及的數(shù)學(xué)建模實(shí)例匯總?cè)缦拢簶O限與連續(xù)部分（銀行存款復(fù)利、產(chǎn)品價(jià)格預(yù)測、野生魚數(shù)量、斷路電阻的極限算法、郵政計(jì)價(jià)、運(yùn)輸費(fèi)用、個(gè)人所得稅計(jì)算公式等模型），導(dǎo)數(shù)與微分部分（人口模型、最佳訂貨周期模型、最大收益模型、邊際問題、氣球體積關(guān)于半徑的變化率、圓柱形水桶放水、上升的氣球、向圓錐形水箱注水、攝影運(yùn)動(dòng)的物體、滑動(dòng)的梯子等模型），導(dǎo)數(shù)應(yīng)用部分（容積最大、運(yùn)費(fèi)最省、收益最大、患病率、強(qiáng)度最大、鐵皮最省、電功率最大、利潤最大、體積最大、寬度最小、運(yùn)費(fèi)最少、大道最短、材料最省、利潤最大、建筑塔吊吊起重物、鐵道彎道設(shè)計(jì)、工件磨削等模型），積分及其應(yīng)用部分（跟蹤問題模型、Logistic模型、人口模型、生物競爭模型、布朗運(yùn)動(dòng)、自由落體運(yùn)動(dòng)、上拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律、曲邊梯形面積、變速運(yùn)動(dòng)位移、錐體積、變力做功、提升一個(gè)漏水桶、汽車懸掛系統(tǒng)、抽水所做的功、打樁所做的功、三峽大壩、木桿的質(zhì)量、任意形狀均勻薄板的質(zhì)心、單位時(shí)間的流量捕魚成本問題等模型），級(jí)數(shù)部分（服藥問題等模型），極值問題部分（“牧童”經(jīng)濟(jì)模型、最優(yōu)價(jià)格模型、漁業(yè)資源管理等模型），微分方程部分［3］（案發(fā)時(shí)間的推算模型、Mal?thus生物定律與人口方程模型、種群的增長與調(diào)節(jié)的Logistic方程、種群間競爭的Lotka-Volterra方程、漁場防止捕撈過度問題、豬的最佳銷售時(shí)機(jī)、永久免疫的傳染病擴(kuò)散問題、非永久免疫的傳染病擴(kuò)散問題、汽車前燈的設(shè)計(jì)問題、Huygens鐘擺模型、魚雷追擊敵艦、單擺運(yùn)動(dòng)規(guī)律、核放射性核廢料處理等模型），拉普拉斯變換部分（自動(dòng)控制應(yīng)用、周期脈沖三角波、簡諧運(yùn)動(dòng)、RC串聯(lián)電路等模型），線性代數(shù)初步知識(shí)部分（投入產(chǎn)出模型、產(chǎn)品數(shù)量價(jià)格收入和利潤等模型［4］）.只要教師在平時(shí)注意搜集整理，就可以很方便地運(yùn)用案例來科學(xué)引導(dǎo)學(xué)生掌握具體的知識(shí)內(nèi)容，同時(shí)不斷培養(yǎng)學(xué)生的建模思想和建模方法.

3.5　平移建模競賽形式，實(shí)施開放式評(píng)價(jià)

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力、將數(shù)學(xué)建模思想融入高職數(shù)學(xué)教學(xué)中，就是實(shí)施理實(shí)一體化課程的良好途徑，這將成為數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一個(gè)方向.而隨之?dāng)?shù)學(xué)課程考核方式也應(yīng)從單一的閉卷考試轉(zhuǎn)變?yōu)槎鄻踊_放式的考核，即除了通過基礎(chǔ)知識(shí)考核必要的數(shù)學(xué)理論素養(yǎng)外，還可參考數(shù)學(xué)建模競賽形式加入實(shí)踐考核環(huán)節(jié).可以結(jié)合本專業(yè)的實(shí)際，出一道建模題，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決本專業(yè)相關(guān)實(shí)際問題的能力，這樣不但能夠考核學(xué)生當(dāng)前的數(shù)學(xué)能力，還能發(fā)現(xiàn)其學(xué)習(xí)潛力，分值比例仍以理論考核為準(zhǔn)，6∶4或者7∶3都是可行的.只有理論和實(shí)踐共同考查，才能使實(shí)踐教學(xué)真正落到實(shí)處，達(dá)到預(yù)期效果.為了達(dá)到較好的考核效果，在平時(shí)的作業(yè)布置環(huán)節(jié)就可允許學(xué)生自行建立數(shù)學(xué)模型，經(jīng)過師生共同探究，再由學(xué)生自己嘗試著去解決，以提高學(xué)習(xí)的成效.結(jié)合學(xué)校實(shí)際，開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)也可以采取以下幾種方式：講授與講座結(jié)合；課內(nèi)與課外相結(jié)合；教師講與學(xué)生講相結(jié)合；知識(shí)教育與素質(zhì)教育相結(jié)合；嚴(yán)謹(jǐn)性與趣味性相結(jié)合等.

4　結(jié)論

對(duì)職業(yè)院校數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)而言，目前教學(xué)理論與教學(xué)實(shí)踐兩張皮的情況依然十分嚴(yán)重.而數(shù)學(xué)建模思想的學(xué)習(xí)有助于縮短教學(xué)理論與實(shí)踐的距離.如果在教學(xué)中我們能夠緊密結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)、專業(yè)實(shí)踐活動(dòng)、職業(yè)（崗位）活動(dòng)，應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想培養(yǎng)學(xué)生，就會(huì)不斷提升學(xué)生自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，并使他們獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)、構(gòu)建新知識(shí)的能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］姜啟源.數(shù)學(xué)建模［M］.第2版.北京：高等教育出版社，2005.

［2］姜啟源，謝金星.數(shù)學(xué)模型［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［3］朱道元，等.數(shù)學(xué)建模案例精選［M］.北京：科學(xué)出版社，2005.

［4］王冬琳.數(shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn)［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2004.