理解：讓學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算有理可循

運(yùn)算能力是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的十個(gè)核心詞之一，“運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題?！睌?shù)學(xué)運(yùn)算的關(guān)鍵能力具體表現(xiàn)為：理解運(yùn)算對(duì)象、理解運(yùn)算法則、探索運(yùn)算思路和實(shí)時(shí)求得結(jié)果。其中，學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的理解能力，尤其是對(duì)算理和抽象算法的理解尤為重要，它是學(xué)生掌握運(yùn)算法則，選擇運(yùn)算方法，形成口算、筆算、估算等技能的基礎(chǔ)和前提，是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的隱性素養(yǎng)。

一、理解數(shù)的意義，奠定數(shù)學(xué)運(yùn)算的基石

數(shù)是數(shù)學(xué)運(yùn)算的對(duì)象之一，正確理解數(shù)的意義，能夠幫助學(xué)生明晰算理的內(nèi)在含義，創(chuàng)造性地進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，提升對(duì)算理的理解水平。

1.破解抽象。

數(shù)學(xué)源于生活，但生活中的認(rèn)數(shù)并非數(shù)學(xué)意義上的認(rèn)知。教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從日常生活中抽象出數(shù)的過(guò)程，從中理解數(shù)的意義、數(shù)的組成，理解比大小、求近似數(shù)等。例如：蘇教版教材中“分?jǐn)?shù)”這一知識(shí)點(diǎn)，就遵循著理解的規(guī)律而編排。在三上教材中，學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)“一個(gè)物體或一個(gè)平面圖形不能平均分成整數(shù)個(gè)”，認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的表示。在三下教材中，通過(guò)學(xué)習(xí)將多個(gè)物體組成的一個(gè)整體平均分的“分桃”案例，進(jìn)一步抽象認(rèn)識(shí)“表示出的份數(shù)與平均分的份數(shù)之間的關(guān)系”。最后，在五下教材中，學(xué)生通過(guò)整體把握分?jǐn)?shù)的意義，認(rèn)識(shí)單位“1”、分?jǐn)?shù)的意義和分?jǐn)?shù)單位，繼而開始認(rèn)識(shí)假分?jǐn)?shù)，理解分?jǐn)?shù)既可表示兩個(gè)量之間的關(guān)系，又可表示具體量。三個(gè)階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生在逐步抽象的過(guò)程中理解數(shù)的意義，為探索運(yùn)算法則奠定基礎(chǔ)。

2.比較聯(lián)系。

自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)之間互相聯(lián)系，不同形式的數(shù)可互相轉(zhuǎn)化，這為打通數(shù)學(xué)運(yùn)算法則奠定了基礎(chǔ)，也為尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算方法提供了可能。

例如：教學(xué)蘇教版五上《小數(shù)的意義和性質(zhì)》時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生在認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上認(rèn)識(shí)小數(shù)。通過(guò)回憶“分母是 10、100、1000……的分?jǐn)?shù)可以用小數(shù)表示”，認(rèn)識(shí)“一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾……”通過(guò)比較建立聯(lián)系：1里面有10個(gè)0.1，0.1里面有10個(gè)0.01……在體會(huì)小數(shù)與分?jǐn)?shù)聯(lián)系的基礎(chǔ)上，學(xué)生將小數(shù)納入到十進(jìn)制計(jì)數(shù)法中，理解了小數(shù)加減法也要相同計(jì)數(shù)單位才能直接相加減，小數(shù)乘法運(yùn)算也應(yīng)依據(jù)整數(shù)運(yùn)算中乘法與加法的聯(lián)系以及積的變化規(guī)律來(lái)理解和運(yùn)算，小數(shù)除法運(yùn)算可以依據(jù)小數(shù)的意義加以理解和計(jì)算，或利用整數(shù)除法中商不變的規(guī)律順利遷移。通過(guò)比較，在學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中建立小數(shù)與分?jǐn)?shù)、小數(shù)與整數(shù)之間的運(yùn)算關(guān)系，能夠幫助學(xué)生根據(jù)計(jì)算需求尋求簡(jiǎn)便算法，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

3.合情推理。

理解數(shù)的意義，能夠促使學(xué)生對(duì)計(jì)算算理的理解由無(wú)意關(guān)注發(fā)展為自覺(jué)認(rèn)知，幫助學(xué)生進(jìn)一步明晰算理的內(nèi)在含義。

例如：在教學(xué)估算時(shí)，教師可以出示實(shí)際問(wèn)題：每箱西瓜48元，張大叔帶200元，買4箱西瓜夠不夠？教師可以引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)“數(shù)的認(rèn)識(shí)”中“近似數(shù)”的知識(shí)，把48看作最接近的整十?dāng)?shù)50來(lái)估算。正確認(rèn)識(shí)近似數(shù)的意義并找到一個(gè)數(shù)的近似數(shù)，對(duì)合理估算、用估算監(jiān)控計(jì)算結(jié)果有著重要作用。

二、理解四則運(yùn)算的意義，把握數(shù)學(xué)運(yùn)算的邏輯

1.現(xiàn)實(shí)中體會(huì)。

小學(xué)生的思維具有直觀性強(qiáng)而抽象程度不高的特點(diǎn)，教師可據(jù)此引導(dǎo)學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中理解四則運(yùn)算的意義和概念。

例如：教學(xué)加法運(yùn)算時(shí)，教師可以通過(guò)設(shè)計(jì)“原來(lái)有多少，來(lái)了多少，現(xiàn)在有多少”等實(shí)際問(wèn)題理解其衍生意義或不同表現(xiàn)形式，從而明確加法的定義：將兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)、量合起來(lái)，變成一個(gè)數(shù)、量的計(jì)算。減法運(yùn)算的基本意義則是“從總數(shù)中去掉一部分，得到的是另一部分”，也可以表達(dá)為從一個(gè)數(shù)中減去另一個(gè)數(shù)的運(yùn)算。在加法的基礎(chǔ)上，繼而學(xué)習(xí)乘法——求若干個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算。對(duì)于除法運(yùn)算，低、中年級(jí)的學(xué)生可以在平均分的基礎(chǔ)上理解意義，高年級(jí)學(xué)生可理解為“已知兩個(gè)乘數(shù)的積與其中一個(gè)乘數(shù)，求另一個(gè)乘數(shù)的運(yùn)算”。

2.意義中關(guān)聯(lián)。

加法是四則運(yùn)算的基礎(chǔ)，減法是加法的逆運(yùn)算，乘法是加法中特殊情況的簡(jiǎn)便運(yùn)算，除法是乘法的逆運(yùn)算。體會(huì)四則運(yùn)算意義間的關(guān)聯(lián)，學(xué)生可根據(jù)對(duì)運(yùn)算意義的理解，認(rèn)識(shí)新學(xué)習(xí)的運(yùn)算的意義。

例如：教學(xué)蘇教版二上《表內(nèi)除法（一）》時(shí)，就可以以平均分（正好分完）為基礎(chǔ)，幫助學(xué)生理解“平均分的過(guò)程相當(dāng)于每次減相同的數(shù)，直至結(jié)果為0（即正好分完）的過(guò)程”，建立除法和減法的意義關(guān)聯(lián)，為學(xué)生理解用豎式計(jì)算除法的算理奠定基礎(chǔ)。

3.理解后運(yùn)用。

學(xué)生體會(huì)了四則運(yùn)算的意義及其聯(lián)系之后，在理解算理或遇到陌生運(yùn)算問(wèn)題時(shí)就可以獨(dú)立探索，并能合理解釋其運(yùn)算過(guò)程。例如：教學(xué)蘇教版三下《有趣的乘法計(jì)算》后，教師可以引入“印度算法”。教師先出示例題：13×14，再出示計(jì)算過(guò)程：13+4=17，17×10=170，3×4=12，170+12=182。

這種計(jì)算思路，用乘法的意義可以解釋為13×14→14×13，可看作 10個(gè) 13和 4個(gè) 13；4個(gè)13又可進(jìn)一步看作4個(gè)10和4個(gè)3；10個(gè)13結(jié)果和13個(gè)10相等，因此共有17個(gè)10和4個(gè)3。據(jù)此對(duì)印度算法展開探索：2□×2□、3□×3□、4□×4□……最后總結(jié)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的口算、豎式、印度算法之間的聯(lián)系，理解不同運(yùn)算形式、不同運(yùn)算方法之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)和算理。

三、理解運(yùn)算法則，讓意義自然流淌

理解算理的基礎(chǔ)是對(duì)數(shù)、運(yùn)算意義的認(rèn)識(shí)，理解算理的目的是為了算法抽象，理解算理幾乎是數(shù)學(xué)理解能力的最高水平。

例如：教學(xué)蘇教版三上《兩、三位數(shù)除以一位數(shù)》中首位除后有余數(shù)的情況時(shí)，教師可以出示例題52÷2，引導(dǎo)學(xué)生理解計(jì)算法則：每份先分得2個(gè)十，分掉4個(gè)十，余下1個(gè)十；余下1個(gè)十和2個(gè)一合起來(lái)再分。1個(gè)十和2個(gè)一合起來(lái)是12個(gè)一，除以2，每份是6個(gè)一，所以商6寫在個(gè)位上。通過(guò)這樣的分析幫助學(xué)生重點(diǎn)解決“十位上除過(guò)后余下1個(gè)十，接下去怎樣算”的問(wèn)題。

綜觀小學(xué)階段整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)等不同形式的數(shù)，及其加、減、乘、除四則運(yùn)算，不管是口算、豎式計(jì)算還是估算，教師都應(yīng)先引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)及其運(yùn)算的意義，以此為據(jù)理解算理，促使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的理解和掌握。