求拋物線方程的三種方法

歐陽(yáng)威

【摘要】 求解拋物線方程是歷年高考保留節(jié)目。破解拋物線方程問(wèn)題一般有三種方法：一是直接法，二是待定系數(shù)法，三是定義法。

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué) 拋物線方程

【中圖分類號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1992-7711（2018）11-171-01

一、直接法

所謂直接法就是直接利用題中的條件確定焦參數(shù)p或根據(jù)條件轉(zhuǎn)化求解拋物線方程。這類問(wèn)題解題的關(guān)鍵是要充分挖掘題中的條件，特別是隱含條件，然后結(jié)合方程思想或轉(zhuǎn)化思想求解。

分析：這類軌跡方程的求解只要直接根據(jù)題意通過(guò)列方程，結(jié)合轉(zhuǎn)化思想就能破解.解題時(shí)要特別注意的是等價(jià)變形。

點(diǎn)評(píng)：直接法求解拋物線方程問(wèn)題，實(shí)際上是一種求解圓錐曲線的基本策略，破解時(shí)要注意的地方是等價(jià)變形和挖掘條件列方程。

二、待定系數(shù)法

所謂待定系數(shù)法就是先設(shè)出拋物線的方程，再根據(jù)題中的條件，確定焦參數(shù)p，這類問(wèn)題一般要結(jié)合方程思想進(jìn)行，通過(guò)方程求解參數(shù)。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于待定系數(shù)法求拋物線方程關(guān)鍵是用方程思想求參數(shù)，通過(guò)已知條件列出一元方程，通過(guò)一元方程便可化解。

例3.已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，拋物線上的點(diǎn)（x0，-8）到焦點(diǎn)的距離等于17，求拋物線方程.

三、定義法

所謂定義法就是先判定所求的軌跡符合拋物線的定義，再求出方程，這類問(wèn)題一般是求出焦參數(shù)p，或通過(guò)條件轉(zhuǎn)化求解出焦參數(shù)p，破解時(shí)注意的地方是要結(jié)合分類討論思想，避免漏解或多解。

例4.求下列拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)（2，0）（2）準(zhǔn)線方程為y=1.

分析：焦點(diǎn)、準(zhǔn)線明確，可直接利用拋物線方程的定義，從定義出發(fā)，根據(jù)焦點(diǎn)、準(zhǔn)線與方程系數(shù)的聯(lián)系解題.

例5.求焦點(diǎn)在x軸，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

分析：從定義出發(fā)求拋物線方程問(wèn)題，如果焦點(diǎn)的具體位置不清楚，則需要進(jìn)行討論，分類求解有關(guān)拋物線方程問(wèn)題。

解：由題意可知p=6，（1）若焦點(diǎn)在x軸的正半軸，方程為y2=12x；（2）若焦點(diǎn)在y軸的正半軸，方程為y2=-12x

點(diǎn)評(píng)：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為標(biāo)準(zhǔn)方程中的p，我們稱為焦參數(shù)。討論焦點(diǎn)位置也是求解拋物線方程時(shí)常常遇到的問(wèn)題。

破解拋物線方程的方法一般是以上三種策略，對(duì)于不同的問(wèn)題要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄆ平?，擇其最佳的方案破解拋物線方程問(wèn)題往往事半功倍，否則就會(huì)欲速則不達(dá)，因此要注意這三個(gè)基本策略的適用條件和應(yīng)用范圍、解題步驟和技巧。