一種將δ函數(shù)可表示成非奇異函數(shù)的極限的簡(jiǎn)捷證法

袁季兵 唐世清

【摘 要】δ函數(shù)作為奇異函數(shù)的一種，它在解決基本物理問題時(shí)顯示了其特有的優(yōu)越性。因此在力學(xué)、電動(dòng)力學(xué)、量子力學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用。論文從狄拉克函數(shù)δ（x）函數(shù)的定義出發(fā)，給出了一種將δ函數(shù)可表示成非奇異函數(shù)的極限的簡(jiǎn)捷證法。這種方法對(duì)于初學(xué)者來說，可以增強(qiáng)對(duì)δ函數(shù)及相關(guān)物理問題的理解和認(rèn)識(shí)，對(duì)教學(xué)來說是一些有益的教學(xué)參考和借鑒。

【Abstract】As a kind of singular function， δ function shows its unique superiority in solving basic physical problems. Therefore， it is widely used in mechanics， electrodynamics and quantum mechanics. Based on the definition of δ （x） function of Dirac function， this paper gives a simple proof method that δ function can be expressed as the limit of nonsingular function. For beginners， this method can enhance their understanding of δ function and related physics problems， and it is a useful reference for teaching.

【關(guān)鍵詞】δ函數(shù)；奇異函數(shù)；極限

【Keywords】 δ function； singular function； limit

【中圖分類號(hào)】O431.2 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1673-1069（2018）11-0116-02

1 引言

在物理學(xué)與數(shù)學(xué)聯(lián)系日益密切的今天，大量的物理問題需要借助數(shù)學(xué)手段輔以解決，這無疑對(duì)我們用數(shù)學(xué)方法處理物理問題提出了更高的要求。許多年以前，在物理學(xué)中經(jīng)常要遇到一些包含某種無窮大的量以及不連續(xù)函數(shù)的微分的這類問題，無法解決。20世紀(jì)30年代，為了解決連續(xù)譜的本征波函數(shù)不能歸一化的問題，狄拉克引入了一個(gè)實(shí)函數(shù)δ（x），稱之為狄拉克δ 函數(shù)[1]（以下簡(jiǎn)稱為δ 函數(shù)） ，從而使得連續(xù)譜的本征波函數(shù)可以歸一化為δ 函數(shù)。由于δ函數(shù)的一些特殊性質(zhì)，如局部無限突變，整體積分有限性，挑選性，對(duì)稱性等，為我們解決一些抽象的物理問題提供了一種方式，使復(fù)雜的問題變得簡(jiǎn)單，因此，在電磁學(xué)，電動(dòng)力學(xué)，光學(xué)，量子力學(xué)，電路等物理學(xué)的幾大分支領(lǐng)域中我們都能看到它的身影。由于δ函數(shù)的公式可以通過許多種不同的表達(dá)方式表示，例如，可以用階梯函數(shù)的微商形式表示，也可以用Fourier積分形式表達(dá)；還可以表示成非奇異函數(shù)的極限。因此，本文先給出δ函數(shù)的定義，然后，再著重討論分析一種常見非奇異函數(shù)的極限可以用來表示δ函數(shù)。希望通過這些能夠給我們今后理解δ函數(shù)提供一種新的思路，使我們能夠更加靈活變通的運(yùn)用δ 函數(shù)。

2 δ函數(shù)的定義和性質(zhì)

δ函數(shù)是一種很奇特的函數(shù)，它和經(jīng)典的“一個(gè)點(diǎn)只能對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)”的函數(shù)的定義是不符合的，因而一開始有許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為這不是一種數(shù)學(xué)，以至于沒有深入研究，這種狀態(tài)一直持續(xù)到20世紀(jì)40年代引入了廣義函數(shù)這一概念后，才得到了數(shù)學(xué)界的廣泛認(rèn)可。一般認(rèn)為δ函數(shù)是由著名的物理學(xué)家狄拉克引入的，因此，又稱為狄拉克函數(shù)。一般人們把定義在區(qū)間上，滿足后面這兩個(gè)要求中的一個(gè)函數(shù)，稱為一維δ函數(shù)。即

4 結(jié)語

本文從狄拉克函數(shù)δ（x）函數(shù)的定義出發(fā)，給出了一種將δ函數(shù)可表示成非奇異函數(shù)的極限的簡(jiǎn)捷證法。對(duì)于學(xué)生

來說是一種有益嘗試，不僅可以增強(qiáng)對(duì)δ函數(shù)及相關(guān)物理

問題的理解和認(rèn)識(shí)，也可以對(duì)教學(xué)提供參考和借鑒，開拓思維。

【參考文獻(xiàn)】

【1】梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1998.