由一道復(fù)習(xí)題的解題思路及答案引發(fā)的思考

吳桂琴

[摘 要]一位馬老師寫了題為“怎能從‘確定性推知‘可能性”的文章，文章對人教版教材六年級下冊第六單元中的一道復(fù)習(xí)題進(jìn)行了深度解析，提出了很多有見地的觀點(diǎn)。然而對于馬老師的結(jié)論，我認(rèn)為有些地方還有待商榷。

[關(guān)鍵詞]思考；概率；教學(xué)；解題思路

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）35-0073-01

復(fù)習(xí)題：甲、乙兩球支隊(duì)第一賽季的5場賽事比分如下表。如果兩隊(duì)再進(jìn)行一場比賽，請預(yù)測哪支球隊(duì)獲勝的概率大？為什么？

一、復(fù)習(xí)題的解題思路及其答案展示

配套的《教師教學(xué)用書》上給出了分析提示，筆者將書中的兩種思路簡稱思路1和思路2。

思路1：從兩隊(duì)的歷史成績來看，可知兩隊(duì)取勝機(jī)會相等，均為。

思路2：最近的兩場賽事中乙隊(duì)連連取勝，應(yīng)戰(zhàn)狀態(tài)較好，據(jù)此推斷接下來乙隊(duì)獲勝的概率更大。

馬老師提出了另外兩種可能，簡稱思路3和思路4。

思路3：從第一賽季整體水平來看，雙方均是勝兩場平一場負(fù)兩場，因此，兩隊(duì)贏得比賽的場次占總數(shù)的，和局占總數(shù)的，可得兩隊(duì)取勝的概率相等，均為。

思路4：對抗賽中賽果只有三種可能：戰(zhàn)勝、戰(zhàn)敗、戰(zhàn)平，故每種賽果出現(xiàn)的可能性為，于是兩隊(duì)?wèi)?zhàn)勝對手的概率都是，戰(zhàn)平的概率也是。

馬老師認(rèn)為，只有思路4是正確的，即兩隊(duì)取勝的概率都是。馬老師并未在文中明確指出錯因，筆者認(rèn)為，思路4的準(zhǔn)確性依然有待商榷。

二、對各種解題思路及答案的探討

思路1中，以兩隊(duì)的戰(zhàn)績持平為論據(jù)，斷言下場賽事兩隊(duì)的勝負(fù)概率為，明顯有誤。錯誤原因在于遺漏了平局的結(jié)果，我們用字母表示三種賽果：A表示“甲勝（乙負(fù)）”，B表示“甲負(fù)（乙勝）”，C表示“不分勝負(fù)”，顯然，三種賽果構(gòu)成一個完整事件，因此有P（A）+P（B）+P（C）=1，而解答時默認(rèn)P（A）=，P（B）=，從而迫使P（C）=0，這與完整事件的概率定義不符。每場比賽是一個相對獨(dú)立事件，其結(jié)果是無法相互影響的，所以根據(jù)前5場比賽的結(jié)果來推測第6場比賽的結(jié)果是不合理的。

思路2中，如果科學(xué)地考慮前5場比賽的總比分，甲隊(duì)險勝于乙隊(duì)，可以推斷甲隊(duì)獲勝的可能性大。因此，僅依據(jù)最近兩場比賽的結(jié)果來推測第6場比賽的結(jié)果也是不合理的。

只有思路3最接近正確答案，以5場比賽為樣本總量，推斷兩隊(duì)獲勝的概率都是，這種做法具有合理性。但是樣本容量過小，不足以逼近真實(shí)值，只有比賽場次（n）足夠多時，各事件發(fā)生的頻次無限趨近于某個固定值A(chǔ)，我們才能確定這個概率為P（A）。

思路4中，根據(jù)賽果的種類為三種，就簡單地將每種賽果出現(xiàn)的概率定為，這是毫無根據(jù)的。某隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率是在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)后，用該事件出現(xiàn)的頻次總量除以所有基本事件出現(xiàn)的總頻次。但是這種求概率的方法必須滿足“基本事件總數(shù)是有限、可數(shù)的，而且各個基本事件發(fā)生的概率是相等的?！睂τ谧闱虮荣惗?，三個基本事件A、B、C 發(fā)生的概率并不相等，故兩隊(duì)打敗對手的概率都是的結(jié)論值得進(jìn)一步探討。

三、兩點(diǎn)思考

類似于上述習(xí)題不宜出現(xiàn)在小學(xué)階段的教材中。現(xiàn)實(shí)中，影響比賽結(jié)果的因素很多，如球隊(duì)實(shí)戰(zhàn)能力、戰(zhàn)略戰(zhàn)術(shù)調(diào)整、球員的調(diào)換等，即使同一球隊(duì)在同一地點(diǎn)的兩次比賽，也不能認(rèn)為實(shí)驗(yàn)環(huán)境條件不變。以上探討的題目中提供的數(shù)據(jù)，從不同的角度分析，判斷結(jié)果也會不同。這種高難度的習(xí)題出現(xiàn)在小學(xué)課本中不但不能拓寬學(xué)生思維，反而會削弱學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

部分教師可能并沒有察覺到教參中存在的紕漏。當(dāng)然，《教師教學(xué)用書》的編者在該書改版前應(yīng)重新審訂，及時訂正錯漏之處，不斷完善內(nèi)容，為廣大教師提供更多、更好的幫助。

教學(xué)是一項(xiàng)長期的“工程”，在“工程”的實(shí)施過程中，可能會遇到許多存在疑惑或有爭議的地方，教師應(yīng)合理利用資源提升自己，善于提出問題，并借助眾力解決問題。

（責(zé)編 韋 迪）endprint