完全2n階常微分方程的奇周期解

李永祥，郭蘭珺

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

0 引言

考慮完全 2n階常微分方程

u(2n)(t)=f(t,u(t),u′(t),…,u(2n-1)(t))

(1)

周期解的存在性是常微分方程研究中人們非常關(guān)注的問(wèn)題.近年來(lái)，一些具有特殊形式的常微分方程周期解的存在性已有廣泛深入的研究[1-9].對(duì)于一階和二階常微分方程，很多作者利用多種非線(xiàn)性分析的工具與方法，獲得了周期解存在性的許多結(jié)果，如文獻(xiàn)[1]采用錐映射的Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理，討論了二階非線(xiàn)性方程

u″(t)+a(t)u(t)=f(t,u(t)),

其中，a∈C(R,R+)是連續(xù)的以ω為周期的正函數(shù)；在f滿(mǎn)足超線(xiàn)性或次線(xiàn)性增長(zhǎng)的條件下，獲得了正ω周期解的存在性與多重性結(jié)果.對(duì)于高階常微分方程周期解存在性問(wèn)題的研究可見(jiàn)文獻(xiàn)[4-9]，但是，對(duì)奇周期解的存在性問(wèn)題研究相對(duì)缺少.2010年，文獻(xiàn)[7]采用Fourier分析法、Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理及錐上不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論，在f滿(mǎn)足線(xiàn)性、超線(xiàn)性及次線(xiàn)性增長(zhǎng)的條件下，討論了非線(xiàn)性項(xiàng)中僅含偶數(shù)階導(dǎo)數(shù)的2n階常微分方程

u(2n)(t)=f(t,u(t),u″(t),…,u(2(n-1))(t))

受以上文獻(xiàn)的啟發(fā)，文中研究更一般的完全2n階常微分方程(1)奇2π-周期解的存在性與唯一性.在非線(xiàn)性項(xiàng)f滿(mǎn)足適當(dāng)增長(zhǎng)的條件下，運(yùn)用Fourier分析法和Leray-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理，獲得了方程(1)奇2π-周期解的存在性與唯一性結(jié)果,推廣了文獻(xiàn)[7]的相應(yīng)結(jié)論.

文中總假設(shè)f(t,x0,x1,…,x2n-1)滿(mǎn)足下列條件：

1 預(yù)備知識(shí)

給定h∈V，考慮完全2n階線(xiàn)性微分方程

u(2n)(t)=h(t),t∈R

(3)

引理1對(duì)?h∈V，2n階線(xiàn)性方程(3)的唯一奇2π-周期解u=Sh∈V2n滿(mǎn)足：

(4)

設(shè)u=Sh∈V2n為方程(3)的唯一奇2π-周期解，則當(dāng)0≤i≤n時(shí)，u(2i)∈V可展為正弦級(jí)數(shù)，由系數(shù)積分公式，可得

(5)

(6)

結(jié)合Fourier展式，(5),(6)式及Parseval等式可知，對(duì)i=0,1,…,n-1,依次有

因此，有

2 主要結(jié)果及證明

定理1設(shè)f滿(mǎn)足假設(shè)(F1)及條件

則方程(1)至少有一個(gè)奇2π周期解.

證明對(duì)?u∈V2n-1，令

以下對(duì)A應(yīng)用Leray-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理.為此考察方程簇

u=λAu, 0<λ<1.

(9)

設(shè)u∈V2n-1為某個(gè)λ∈(0,1)相應(yīng)的方程(9)的一個(gè)解,則u=λAu=S(λF(u)),故u為h=λF(u)相應(yīng)的線(xiàn)性方程(3)的奇2π-周期解.因此u∈V2n滿(mǎn)足微分方程

u(2n)(t)=λf(t,u(t),u′(t),…,u(2n-1)(t)),

(10)

因此，有

上式兩邊取||·||2，則由引理1，有

因此，由引理1，有

由此得

于是，由引理1，有

因此，方程簇(9)的解集在V2n-1中有界.由Leray-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理可知，A有不動(dòng)點(diǎn)u0，該不動(dòng)點(diǎn)即為方程(1)的奇2π-周期解. 】

定理2設(shè)f滿(mǎn)足假設(shè)(F1)及條件

則方程(1)存在唯一的奇2π周期解.

證明取M=max{|f(t,0,…,0)|:t∈[0,2π]}+1，由(11)式，有

即f滿(mǎn)足條件(F2).由定理1知，方程(1)至少有一個(gè)奇2π-周期解.

下證唯一性.設(shè)u1,u2∈V2n是方程(1)的兩個(gè)奇2π-周期解.令u=u2-u1，則由方程(1)有

故||u(2n-1)||2=0.由引理1可知，||u||2≤||u(2n-1)||2=0.所以||u||2=0,即u2=u1.因此方程(1)有唯一的奇2π-周期解. 】

若f的偏導(dǎo)數(shù)fx0,fx1,…,fx2n-1存在，則由定理2和微分中值定理，有下列結(jié)論：

推論1設(shè)f滿(mǎn)足假設(shè)(F1)且偏導(dǎo)數(shù)fx0,fx1,…,fx2n-1存在，滿(mǎn)足下列條件:

|fxi(t,x0,x1，…，x2n-1)|≤ci,i=0,1,…,2n-1.

則方程(1)有唯一的奇2π-周期解.

[1] 李永祥.二階非線(xiàn)性常微分方程的正周期解[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2002，45(3)：481.

[2] CABADA A.The method of lower and upper solutions for second,third,fourth,and higher order boundary value problems[J].JMathAnalAppl,1994,185:302.

[3] CABADA A，LOIS S.Maximum principles for fourth and sixth order periodic boundary value problems[J].NonlinearAnal,1997,10:1161.

[4] CONG Fu-zhong，HUANG Qing-dao，SHI Shao-yun.Existence and uniqueness of periodic solutions for (2k+1) th-order differential equations[J].JMathAnalAppl,2000,241:1.

[5] LI Yong-xiang.Existence and uniqueness for higher order periodic boundary value problem under spectral seperation conditions[J].JMathAnalAppl,2006，322(2):530.

[6] LI Yong-xiang.Existence and uniqueness for higher order periodic boundary value problems[J].NonlinearAnal,2009,70(2):711.

[7] LI Yong-xiang，MU Jia.Odd periodic solutions of 2nth-order ordinary differential equations[J].NonlinearAnal,2010,73(10):3268.

[8] LI Yong-xiang，YANG He.Existence and uniqueness of periodic solutions for odd-order ordinary differential equations[J].AnnPolonMath,2011,100(2):105.

[9] CABADA A.Extremal solutions and Green’s functions of higher order periodic boundary value problem in time scales[J].JMathAnalAppl,2004,290:35.

[10] 郭大鈞.非線(xiàn)性泛函分析[M].第2版.濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,2001.