X-Gorenstein 投射復(fù)形

楊曉燕,杜代國

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

0 引言

2010年,Bennis等[1]引入了X-Gorenstein投射模的概念.設(shè)X是包含所有投射模的模類，稱模M是X-Gorenstein投射模,如果存在投射模的正合序列

P=…→P1→P0→P0→P1→…,

其中M≌Im(P0→P0),使得對任意的F∈X,HomR(P,F)正合.他們證明了X-Gorenstein 投射模類是投射可解的.Meng等[2]進一步研究了X-Gorenstein投射模,并對X-Gorenstein投射維數(shù)進行了刻畫.若X是所有投射模構(gòu)成的類,則X-Gorenstein投射模就是Enochs 和 Jenda引入的Gorenstein投射模[3].1998年,Enochs等[4]把Gorenstein投射模的概念推廣到了復(fù)形范疇,引入并研究了Gorenstein 投射復(fù)形的同調(diào)性質(zhì).若X是所有平坦模構(gòu)成的類,則X-Gorenstein投射模就是Ding投射模[5-6].Yang等[7]把Ding投射模的概念推廣到了復(fù)形范疇,研究了Ding 投射復(fù)形的同調(diào)性質(zhì).若X是所有 Level 模構(gòu)成的類,則X-Gorenstein投射模就是Gillespie引入的 Gorenstein AC-投射模[8].Bravo等[9]研究了復(fù)形范疇中的Gorenstein AC-投射對象,討論了這類復(fù)形與其各層次的模之間的關(guān)系.

受以上文獻的啟發(fā),文中引入X-Gorenstein投射復(fù)形,給出了X-Gorenstein投射復(fù)形的同調(diào)刻畫,證明了X-Gorenstein 投射復(fù)形構(gòu)成的類是投射可解的以及X-Gorenstein 投射復(fù)形的類關(guān)于直和項和直和是封閉的.

1 預(yù)備知識

設(shè)X,Y是鏈復(fù)形,用Hom(X,Y)表示由X和Y確定的Abel群復(fù)形:

2 主要結(jié)論

定義2設(shè)X是包含所有投射復(fù)形的復(fù)形類,稱復(fù)形M是X-Gorenstein投射復(fù)形.如果存在投射復(fù)形的正合序列

P=…→P-2→P-1→P0→P1→…,

其中M?Im(P-1→P0),使得對任意的F∈X,Hom(P,F)正合.

引理1設(shè)X是包含所有投射復(fù)形的復(fù)形類.若F∈X且M是X-Gorenstein投射復(fù)形,則對任意n≥1有Extn(M,F)=0.

證明由X-Gorenstein投射復(fù)形的定義可知,存在復(fù)形的正合序列

…→P-2→P-1→M→0,

其中Pi是投射的.所以有復(fù)形正合序列

故對任意的n≥1有Extn(M,F)=0. 】

引理2設(shè)X是包含所有投射復(fù)形的復(fù)形類,則M是X-Gorenstein投射復(fù)形當(dāng)且僅當(dāng)存在Hom(-,X)-正合的正合右投射分解0→M→P0→P1→…,且對任意的F∈X,有

Ext≥1(M,F)=0.

證明必要性.由X-Gorenstein投射復(fù)形的定義和引理1可得.

充分性.考慮M的投射分解…→P-2→P-1→M→0.因為對任意的F∈X有Ext≥1(M,F)=0,所以上述投射分解是Hom(-,X)-正合的.因此我們有Hom(-,X)-正合的投射復(fù)形的正合列

…→P-2→P-1→P0→P1→P2→…,

使得M?Ker(P0→P1).故M是X-Gorenstein投射復(fù)形. 】

定理1設(shè)X是包含所有投射復(fù)形的復(fù)形類,則X-Gorenstein投射復(fù)形的類是投射可解類.

證明顯然投射復(fù)形是X-Gorenstein投射復(fù)形.考慮正合序列0→X→Y→Z→0,其中Z是X-Gorenstein投射復(fù)形.若X是X-Gorenstein投射復(fù)形,則X,Z存在Hom(-,X)-正合的正合右投射分解

于是有如下行和列正合的交換圖:

因為第一列和第三列是Hom(-,X)-正合的,所以第二列是Hom(-,X)-正合的.又因為對任意F∈X有Ext≥1(X,F)=0=Ext≥1(Z,F),所以由長正合列引理可知Ext≥1(Y,F)=0.故由引理2可知,Y是X-Gorenstein投射復(fù)形.

假設(shè)Y是X-Gorenstein投射復(fù)形,則有復(fù)形正合序列0→Y→P→Y′→0,其中P是投射復(fù)形,Y′是X-Gorenstein投射復(fù)形.考慮下列推出圖:

因為Z和Y′是X-Gorenstein投射復(fù)形,所以H是X-Gorenstein投射復(fù)形.于是存在 Hom(-,X)-正合的正合右投射分解

設(shè)F∈X,因為Z和Y是X-Gorenstein投射復(fù)形,由長正合列引理可知Ext≥1(X,F)=0，所以X存在Hom(-,X)-正合的正合右投射分解

由引理2可知,X是X-Gorenstein投射復(fù)形. 】

命題1設(shè)X是包含所有投射復(fù)形的復(fù)形類,則X-Gorenstein投射復(fù)形的類關(guān)于直和項和直和封閉.

證明設(shè){Xλ}λ∈Λ是一簇X-Gorenstein投射復(fù)形,則對任意λ∈Λ,Xλ存在Hom(-,X)-正合的正合右投射分解

于是可得Hom(-,X)-正合的⊕λ∈ΛXλ的正合右投射分解

因為對任意F∈X,Ext≥1(⊕λ∈ΛXλ,F)?∏Ext≥1(Xλ,F)=0,所以由引理2可知⊕λ∈ΛXλ是X-Gorenstein投射復(fù)形.

設(shè)X是X-Gorenstein投射復(fù)形且X=Y⊕Z.下證Y是X-Gorenstein投射復(fù)形.由上述證明可知X-Gorenstein投射復(fù)形類關(guān)于直和封閉.現(xiàn)假設(shè)W=Y⊕Z⊕Y⊕Z⊕….注意到W?X⊕X⊕…是X-Gorenstein投射復(fù)形.因為W?Y⊕W,所以Y⊕W也是X-Gorenstein投射復(fù)形,于是可得可裂短正合序列

0→Y→Y⊕W→W→0，

其中W和Y⊕W是X-Gorenstein投射復(fù)形.由定理1可知Y是X-Gorenstein投射復(fù)形. 】

命題2設(shè)X是包含所有投射復(fù)形的復(fù)形類,0→X→Y→Z→0是復(fù)形正合列.若X和Y是X-Gorenstein投射復(fù)形,則Z是X-Gorenstein投射復(fù)形當(dāng)且僅當(dāng)對任意F∈X有Ext1(Z,F)=0.

證明必要性顯然,下證充分性.因為X是X-Gorenstein投射復(fù)形,所以存在復(fù)形的正合列0→X→P→G→0,其中P是投射復(fù)形,G是X-Gorenstein投射復(fù)形.于是有推出圖:

在短正合列0→Y→H→G→0 中,因為G和Y是X-Gorenstein投射復(fù)形,所以由定理1知,H是X-Gorenstein投射復(fù)形.又因為復(fù)形P∈X,所以Ext1(Z,P)=0.從而第二行的正合列可裂，故由命題1知,Z是X-Gorenstein投射復(fù)形. 】

P=…→P-2→P-1→P0→P1→…,

于是下行也正合.所以對任意的模X∈X,用HomR(-,X)作用投射模序列

引理4設(shè)M,F是復(fù)形.若對任意的n∈Z,Ext1(M,ΣnF)=0,則Hom(M,F)正合.

證明對任意的同態(tài)f′:M→P′,其中P′是投射模,定義α=(f,f′):M→P⊕P′.有正合列

⊕P′→Coker(α)→0.

證明必要性由引理3和引理4可得.

充分性.已知對任意的i∈Z,Mi是X-Gorenstein投射模.由文獻[1]命題2.2可知存在短正合序列0→Mi→Xi→Ni→0,其中Xi是投射模,Ni是X-Gorenstein投射模.設(shè)

易知α是單的,且有復(fù)形短正合序列

0→Zj(F)→Fj→Zj-1(F)→0

是正合的.于是可得正合序列

0→M→P0→P1→…,

0→K-1→P-1→M→0,

…→P-2→P-1→M→0,

[1] BENNIS D,OUARGHI K.X-Gorenstein projective modules[J].InternationalMathmaticalForum,2010,5(10):487.

[2] MENG F Y,PAN Q X.X-Gorenstein projective and Y-Gorenstein injective modules[J].HacettepeJournalofMathmaticsStatistics,2011,40(4):537.

[3] ENOCHS E E,JENDA O M G.Gorenstein injective and projective modules[J].MathZ,1995,220:611.

[4] ENOCHS E E,ROZAS J R.Gorenstein injective and projective complexes[J].CommAlgebra,1998,26(5):1657.

[5] DING N Q,LI Y L,MAO L X.Strong Gorenstein flat modules[J].JAustMathSoc,2009,86:323.

[6] GILLESPIE J.Model structures on modules over Ding-Chen rings[J].Homology,Homotopy,App,2010,12(1):61.

[7] YANG G,LIU Z K,LIANG L.Module structures on categories of complexes over Ding-Chen rings[J].CommAlgebra,2013,41:50.

[8] GILLESPIE J.Gorenstein complexes and recollements from cotorsion pairs[J].AdvMath,2016,291:859.

[9] BRAVO D,GILLESPIE J.Absolutely clean,level,and Gorenstein AC-injective complexes [J].CommAlgebra,2016,44:2213.

[10] GILLESPIE J.The flat model structure on Ch(R)[J].TransAmerMathSoc,2008,356(8):3369.