相似三角形在高中物理中的應(yīng)用

摘?要：全國卷對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)要求較高。相似三角形是高中物理中常用的數(shù)學(xué)工具。分類敘述了高中物理中利用相似三角形解題的類型。

關(guān)鍵詞：高中;物理;相似三角形

從2016年起廣東高考采用全國卷課標(biāo)Ⅰ卷。與廣東卷相比，全國卷具有難度大，文字量大，考點(diǎn)規(guī)律性低等的特點(diǎn)。其中，數(shù)學(xué)工具運(yùn)用的高要求是造成全國卷難度大的一個(gè)重要的因素。高考考試大綱中明確指出高考物理科要考核的能力包括“應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力：能夠根據(jù)具體問題列出物理量之間的關(guān)系式，進(jìn)行推導(dǎo)和求解，并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論;必要時(shí)能運(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖像進(jìn)行表達(dá)、分析”。

在運(yùn)用幾何圖形分析方面，物理解題最常用的數(shù)學(xué)工具是直角三角形，物理中用到的三角函數(shù)和勾股定理都需要在構(gòu)建出來的直角三角形中使用，一般情況下教師會(huì)針對(duì)三角函數(shù)和勾股定理對(duì)學(xué)生進(jìn)行針對(duì)訓(xùn)練，因此學(xué)生對(duì)這兩種規(guī)律的應(yīng)用掌握得比較好。但是當(dāng)題目不出現(xiàn)直角三角形時(shí)學(xué)生往往手足無措無從下手，這時(shí)相似三角形為學(xué)生提供了第三種解決物理問題的方法。相似三角形是初中的數(shù)學(xué)知識(shí)，在高中物理中是常使用的數(shù)學(xué)工具，是學(xué)生必須掌握的解題工具之一。高中物理中利用相似三角形解題的類型有以下幾類。

一、

斜面上的物體受力分析

例1?一質(zhì)量為m的物體靜止在粗糙的斜面上，按重力的作用效果對(duì)重力進(jìn)行分解。

解析：重力分解如圖。力的示意圖中，力mg、F1（或力mg、F2）所在的三角形和斜面所在的三角形相似。

點(diǎn)評(píng)：受力分解矢量三角形和裝置形狀相似。

二、 動(dòng)態(tài)分析

例2?如圖所示，垂直桿AO的O端固定有光滑鉸鏈以固定輕桿BO，桿BO與桿AO間的夾角為θ，B端懸掛一重物并與一繩子連接。繩子在光滑的小滑輪上跨過桿頂部，用力F拉住繩子，使夾角θ緩慢減小，則在此過程中，拉力F及桿BO所受壓力FN的大小變化情況為

（??）

A. FN始終不變B. FN先減小，后增大

C.

F先減小，后增大D. F逐漸減小

解析：設(shè)物體的重力為G。對(duì)結(jié)點(diǎn)B做受力分析得B點(diǎn)受繩子拉力F、懸掛物體的繩子的拉力F1和桿的支持力FN，如圖作出力FN與F的合力F2，由結(jié)點(diǎn)B平衡可知，F(xiàn)2=F1=G。由力三角形和裝置三角形相似得FNF2=BOAO得到FN=BOAOG，由于BO、AO、G均不變，則FN保持不變。同理：FF2=ABAO得到F=ABAOG，由于AO、G不變，AB逐漸減小，所以F逐漸減小。故選AD。

點(diǎn)評(píng)：受力合成三角形和裝置形狀相似。

例3?某同學(xué)利用電場研究物體的平衡，用輕繩系一帶正電的小球，放入水平向右的電場中，此時(shí)電場強(qiáng)度大小為E1，輕繩與豎直方向成θ角（θ<45°）。使電場方向在同一豎直平面內(nèi)逆時(shí)針轉(zhuǎn)過θ角，當(dāng)電場強(qiáng)度大小為E2時(shí)，輕繩與豎直方向仍成θ角。使電場方向在同一豎直平面內(nèi)逆時(shí)針再轉(zhuǎn)過θ角，當(dāng)電場強(qiáng)度大小為E3時(shí)，輕繩與豎直方向仍成θ角。則

（??）

A. E1=E3>E2

B. E1

C.

E1=E3

D. 繩子拉力逐漸減小

解析：以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，分析其受力情況，小球受三個(gè)力：重力、繩子的拉力T、電場力F。根據(jù)平衡平衡條件得知，T和F的合力方向豎直向上，大小與重力相等，此力大小方向均保持不變，作出電場三個(gè)不同方向時(shí)，兩個(gè)力的變化如圖，由幾何關(guān)系得F2與T垂直，F(xiàn)1F2所在的三角形與F2F3所在的三角形相似，可得，F(xiàn)1=F3>F2即E1=E3>E2。由圖看出，繩子拉力減小。故AD正確。

點(diǎn)評(píng)：受力合成三角形變化前后相似。

三、 運(yùn)動(dòng)學(xué)

例4?（2013課標(biāo)Ⅰ）水平桌面上有兩個(gè)玩具車A和B，兩者用一輕質(zhì)細(xì)橡皮筋相連，在橡皮筋上有一紅色標(biāo)記R。在初始時(shí)橡皮筋處于拉直狀態(tài)，A、B和R分別位于直角坐標(biāo)系中的（0，21）、（0，-1）和（0，0）點(diǎn)。已知A從靜止開始沿y軸正向做加速度大小為a的勻加速運(yùn)動(dòng);B平行于x軸朝x軸正向勻速運(yùn)動(dòng)。在兩車此后運(yùn)動(dòng)的過程中，標(biāo)記R在某時(shí)刻通過點(diǎn)（1，1）。假定橡皮筋的伸長是均勻的，求B運(yùn)動(dòng)速度的大小。

解析：初始狀態(tài)可知ARRB=2ll=21，細(xì)橡皮筋均勻伸長，末狀態(tài)仍為ARRB=21，因此HEEF=FIIG=ARRB=21。由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式代入可得所求B運(yùn)動(dòng)的速度。

點(diǎn)評(píng)：裝置特性引起的相似。本題運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)較簡單，不存在難點(diǎn)。阻礙學(xué)生得分的難點(diǎn)在于橡皮筋特性引起的位移關(guān)系。學(xué)生審題后未能找出裝置特性寫出相似關(guān)系是本題得分率偏低的原因。

四、

平拋運(yùn)動(dòng)

例5?如圖，一直升機(jī)進(jìn)行救災(zāi)物資的投射，當(dāng)經(jīng)過一山坡底端M點(diǎn)正上方N點(diǎn)時(shí)，飛機(jī)以水平向左的速度v0投出一包裹A，A剛好垂直落在山坡上，設(shè)山坡傾角為45°，包裹A飛行時(shí)間為t1。若第二次直升機(jī)在N點(diǎn)無初速度投下包裹B，B剛好落在M點(diǎn)，設(shè)包裹B飛行時(shí)間為t2，不計(jì)空氣阻力，則t1與t2之比為

（??）

A. 1∶2?B. 1∶2

C. 1∶3?D. 1∶3

解析：包裹A剛好垂直落在山坡上，說明速度方向與山坡垂直即與水平方向夾角為45°，tan45°=vyv0=gtv0=2yx=1，可得y=x2，又由幾何關(guān)系得N點(diǎn)高度h=y+xtan45°，即h=3y。因此，A、B下落高度比為1∶3，由h=12gt2可得包裹A、B飛行時(shí)間比為1∶3，D正確。

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)動(dòng)分解三角形和裝置形狀相似。本題難點(diǎn)在于：1.

不能從“垂直落在山坡上”分析出包裹A落在山坡上的速度方向;2. 不能從幾何關(guān)系中找到A的落地到地面的高度，無關(guān)找出隱藏的相似三角形。

五、

帶電粒子在方向相反的相鄰兩個(gè)磁場內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)

例6?（2014廣東卷）如圖所示，足夠大的平行擋板A1、A2豎直放置，間距6L。兩板間存在兩個(gè)方向相反的勻強(qiáng)磁場區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，以水平面MN為理想分界面，Ⅰ區(qū)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0，方向垂直紙面向外。A1、A2上各有位置正對(duì)的小孔S1、S2，兩孔與分界面MN的距離均為L。質(zhì)量為m、電量為+q的粒子經(jīng)寬度為d的勻強(qiáng)電場由靜止加速后，沿水平方向從S1進(jìn)入Ⅰ區(qū)，并直接偏轉(zhuǎn)到MN上的P點(diǎn)，再進(jìn)入Ⅱ區(qū)，P點(diǎn)與A1板的距離是L的k倍，不計(jì)重力，碰到擋板的粒子不予考慮。

（1）若k=1，求勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度E;

（2）若2

解析：粒子經(jīng)過相鄰的兩個(gè)磁場，在磁場中發(fā)生偏轉(zhuǎn)，作出兩次偏轉(zhuǎn)時(shí)的半徑如圖。兩條半徑與磁場分界線組成的兩個(gè)三角形相似，因此有k3-k=rr1。代入特征方程qvB=mv2r中可得所求關(guān)系式。

點(diǎn)評(píng)：磁場特性引起的相似。本題為2014年廣東高考題，本題難點(diǎn)在于無法找出兩個(gè)半徑的關(guān)系。

綜上可知，需要使用相似三角形進(jìn)行解題的題目往往在裝置上具有以下特點(diǎn)：1. 裝置形狀具有一定的特點(diǎn)，例如裝置本身就為三角形;2.

所在的場有一定的特點(diǎn)，例如兩磁場相鄰。

從以上例子可以看出相似三角形作為數(shù)學(xué)工具應(yīng)用在物理上還是很常見的，可以說在高中物理上它是繼三角函數(shù)，勾股定理后第三常用的幾何類數(shù)學(xué)工具。在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出需要使用相似三角形解題的題型特征，并通過訓(xùn)練使學(xué)生達(dá)到熟練運(yùn)用的效果并不是一件困難的事，這對(duì)于提高尖子生的考試成績往往起到重要的作用。物理教師在教授物理知識(shí)的同時(shí)，還要注重教授數(shù)學(xué)工具的使用，適應(yīng)高考考試要求，降低學(xué)生學(xué)習(xí)物理的難度，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)物理的興趣和信心，從而提高學(xué)生的物理成績。

參考文獻(xiàn)：

[1]2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜凭C合考試大綱的說明.

[2]2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（課標(biāo)Ⅰ卷）理科綜合第24題.

[3]2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷）理科綜合第36題.

作者簡介：

鄭維靖，廣東省江門市，廣東省江門市第一中學(xué)。