變傳動比限滑差速器端曲面齒輪副齒面數(shù)學模型構(gòu)建研究

王白王+譚曉明+馬鵬

摘 要 為使得端曲面齒輪輪齒具有足夠強度，避免在變傳動比限滑差速器的使用中產(chǎn)生斷齒現(xiàn)象，改進生成一般端曲面齒輪副齒廓的方法，以此為基礎(chǔ)構(gòu)建差速器行星齒輪和半軸齒輪齒面數(shù)學模型。在圓柱齒輪刀具分別包絡出行星齒輪和半軸齒輪齒廓的基礎(chǔ)上，推導刀具運動規(guī)律，利用共軛包絡原理，結(jié)合刀具的齒面方程，建立行星齒輪和半軸齒輪齒面數(shù)學模型。最后通過軟件構(gòu)建行星齒輪和半軸齒輪實體模型，驗證齒面數(shù)學模型的正確性。

關(guān)鍵詞 限滑差速器 端曲面齒輪副 齒面方程 共軛包絡

中圖分類號：TH132.41 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2017.11.019

Abstract A new method to generate tooth profile of curve-face gear was put forward， which made its tooth have enough strength to avoid teeth broken applied in limited-slip differential. Tooth surfaces of the planetary gear and axle shaft gear are enveloped by the teeth of a shaper cutter when its pitch circle rolls on the pitch curve without sliding. Based on the conjugate envelope principle， the mathematical model of tooth surfaces of planetary gear and axle shaft gear were build with kinematics model and tooth equation derivation. At last a three-dimensional model of planetary gear and axle shaft gear were build， which verified the correctness of the tooth mathematical model.

Keywords limited-slip differential； curve-face gears； tooth surface equation； conjugate envelope principle

變傳動比限滑差速器是勢壘式限滑差速器中的一種，通過兩側(cè)半軸輪之間周期性的傳動比波動給差動運動造成一個勢壘，[1]使得分配在兩側(cè)的扭矩不同，相較其他類型的限滑差速器而言具有結(jié)構(gòu)簡單、性能可靠等優(yōu)點，便于戰(zhàn)場維護搶修，能滿足戰(zhàn)時或者急時的軍用汽車技戰(zhàn)術(shù)要求，已經(jīng)研發(fā)并使用在了我軍第二代勇士汽車上。[2]

端曲面齒輪副是一種新型的空間齒輪傳動機構(gòu)，從面齒輪副傳動演化而來，運動學方面具有與非圓錐齒輪副相同的特點，可以實現(xiàn)傳遞相交軸的變傳動比與動力，在許多場合能夠替代非圓錐齒輪副進行傳動，[3]相比錐齒輪副有許多優(yōu)點：如設計簡便、可以進行磨齒精加工、對軸向裝配誤差不敏感等。[4]因此將端曲面齒輪副應用在變傳動比限滑差速器中替代非圓錐齒輪副，能夠改善現(xiàn)有差速器的部分缺陷。

在端曲面齒輪副變傳動比限滑差速器中，使用非圓齒輪作為行星齒輪，端曲面齒輪作為半軸齒輪。由于端曲面齒輪傳動的瞬軸面和節(jié)曲面不重合，僅在節(jié)曲面和瞬軸面的交線上作純滾動，其他截面上既有滾動又有滑動，[5]導致端曲面齒輪在沿齒寬方向的不同截面上齒廓形狀不同，很難直接對其齒廓進行設計。由于行星齒輪是非圓齒輪，沿齒寬方向各截面齒廓形狀相同，因此可以先設計出行星齒輪齒廓，沿軸向拉伸齒寬長度形成齒面模型，再根據(jù)共軛包絡原理，間接求出半軸齒輪齒面模型。

李莎莎等人通過對比不同裝配誤差下端曲面齒輪副齒面接觸跡線，指出通過上述方法加工出的端曲面齒輪副對裝配誤差較為敏感，在實際中無法使用。為解決該問題，龔海和李莎莎等人提出了一種將端曲面齒輪副接觸痕跡限制在局部的設計思想，通過這種方法包絡形成的非圓齒輪和端曲面齒輪將能夠以齒面的瞬時點接觸代替瞬時線接觸，對裝配誤差不敏感，可以在實際中使用。[6]

李莎莎等人的方法雖然能夠設計出對裝配誤差不敏感的端曲面齒輪副，但是生成的行星齒輪齒數(shù)將多于刀具齒輪齒數(shù)。由于在差速器中半軸齒輪齒數(shù)與行星齒輪齒數(shù)具有特定的比例關(guān)系，因此半軸齒數(shù)也會隨著行星齒輪齒數(shù)的增加而增加。在實車試驗中，變傳動比限滑差速器發(fā)生損壞的主要原因是作為核心構(gòu)件的齒輪副輪齒折斷，這就要求使用在差速器中的端曲面齒輪相比普通端曲面齒輪輪齒要具備更高的輪齒強度。由于端曲面齒輪副存在齒頂變尖現(xiàn)象，導致齒寬有限，在其他條件不變的情況下，減少端曲面齒輪齒數(shù)是提升其輪齒強度簡便有效的方法之一。本文旨在改進李莎莎等人的齒廓設計方法，目的是減少生成的限滑差速器端曲面齒輪齒數(shù)，保證其輪齒具有足夠強度，在此基礎(chǔ)上建立行星齒輪和半軸齒輪齒面數(shù)學模型。

1 限滑差速器端曲面齒輪副齒面生成原理

假想有一個圓柱齒輪刀具與行星齒輪內(nèi)嚙合，同時與半軸齒輪外嚙合，在行星齒輪和半軸齒輪節(jié)曲線作純滾動時，刀具節(jié)曲線同時作純滾動，這樣刀具齒廓可以分別包絡出行星齒輪和半軸齒輪齒廓。

李莎莎等人的齒廓設計方法是讓刀具節(jié)曲線處于行星齒輪節(jié)曲線內(nèi)，為保證節(jié)曲線不產(chǎn)生交叉，刀具分度圓半徑必須小于行星齒輪曲率半徑最小值，由于兩齒輪模數(shù)相同，這樣由刀具包絡出的行星齒輪齒數(shù)將多于刀具齒輪齒數(shù)。本文通過改變刀具與行星齒輪節(jié)曲線相對位置來改進上述方法，使生成的行星齒輪齒數(shù)少于刀具齒輪齒數(shù)。讓行星齒輪節(jié)曲線處于刀具節(jié)曲線內(nèi)部，為避免節(jié)曲線交叉，刀具分度圓半徑必定大于行星齒輪節(jié)曲線曲率半徑最大值，由于兩齒輪模數(shù)相同，刀具包絡生成的行星齒輪齒數(shù)將少于刀具齒數(shù)。這樣形成的限滑差速器端曲面齒輪副，既能夠保證齒面處于瞬時點接觸，對裝配誤差不敏感；又能夠減少齒數(shù)，保證輪齒具有足夠的強度。endprint

2 刀具運動模型

2.1 傳動坐標系建立

如圖1所示，坐標系為固定坐標系，坐標系 為隨動坐標系，與行星齒輪剛性固接；坐標系為固定坐標系，為隨動坐標系，與半軸齒輪剛性固接；坐標系為隨動坐標系，與刀具剛性固接。初始狀態(tài)下，行星齒輪和半軸齒輪的固定坐標系和隨動坐標系相重合，刀具的隨動坐標系各軸與行星齒輪定坐標系重合。傳動過程中，行星齒輪以角速度 1繞其軸 順時針轉(zhuǎn)動，半軸齒輪以角速度 2繞軸 逆時針轉(zhuǎn)動，刀具運動可以分成兩部分，以角速度繞軸轉(zhuǎn)動，同時刀具中心在平面內(nèi)進行平移。其中平面到平面的距離為，平面到平面的距離為。

其中是關(guān)于的函數(shù)，是關(guān)于的函數(shù)，由式（25）可知是關(guān)于和的函數(shù)，因此半軸齒輪齒面參數(shù)方程可以表示為含有和兩個獨立參變量。

4 結(jié)語

（1）在分析普通端曲面齒輪副齒面生成方法的基礎(chǔ)上，通過變換行星齒輪節(jié)曲線與刀具分度圓相對位置，改進生成點接觸端曲面齒輪副齒面的方法，減少了生成的半軸齒輪齒數(shù)。

（2）建立了刀具、行星齒輪和半軸齒輪的傳動坐標系，推導了刀具幾何中心的運動軌跡和速度，在此基礎(chǔ)上求出了刀具速度瞬心和角速度。

（3）利用共軛包絡原理，結(jié)合刀具的齒面方程和運動規(guī)律，建立了行星齒輪和半軸齒輪齒面數(shù)學模型。

參考文獻

[1] 姜虹，王小椿.三周節(jié)變傳動比限滑差速器設計與試驗[J].農(nóng)業(yè)機械學報，2007（4）：31-34.

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[4] 郭輝，趙寧，項云飛，張蒙祺.六軸數(shù)控蝸桿砂輪磨齒機磨削面齒輪的方法[J].機械工程學報，2015.11（6）：186-194.

[5] Litvin. Face-gear drive with spur involute pinion： geometry， generation by a worm， stress analysis[J].Computer methods in applied mechanics and engineering，191（2002）2785-2813.

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[9] Litvin. Gear Geometry and Applied Theory[M].Prentice-Hall Englewood，Cliffs，NJ，1994.endprint