叢傾斜子范疇的一個等價刻畫

周潘岳, 羅德仁

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叢傾斜子范疇的一個等價刻畫

周潘岳, 羅德仁

(湖南理工學院 數(shù)學學院, 湖南 岳陽 414006)

利用三角范疇的八面體公理, 給出了 2-Calabi-Yau 三角范疇中叢傾斜子范疇的一個等價刻畫, 最后給出了一個簡單的應用.

傾斜理論; 2-Calabi-Yau 三角范疇; 叢傾斜子范疇

引言

傾斜理論是研究范疇之間的等價而產(chǎn)生的, 來源于有限維代數(shù)的模范疇上. 現(xiàn)在傾斜理論已經(jīng)成為很多研究方向的必要工具, 包括代數(shù)群理論、交換與非交換代數(shù)幾何、代數(shù)拓撲, 等等.

作為李理論的一個發(fā)展, 量子群的內(nèi)涵非常豐富. 由Lusztig[1]和Kashiwara[2]在上世紀九十年代初建立的典范基理論目前已發(fā)展成為量子群理論的一個重要組成部分. 近十多年來, 在Lusztig和Kashiwara工作的基礎上, 典范基理論又有了迅猛發(fā)展. 人們不斷發(fā)現(xiàn)新的方法來研究量子群的典范基和對偶典范基及典范基理論與其它理論的相互影響和滲透. 盡管如此, 數(shù)學界對量子群的典范基還是所知甚少. 為了從代數(shù)及組合方面給出研究和理解量子群的典范基的一個框架, 美國數(shù)學家Fomin與Zelevinsky[3]在2000年引入了一類新型代數(shù)稱為叢代數(shù). 它的極其自然的組合結(jié)構(gòu)(現(xiàn)稱為叢結(jié)構(gòu), 其主要構(gòu)成是所謂的“mutation”）隨后在很多數(shù)學分支中被發(fā)現(xiàn). 叢代數(shù)與箭圖表示的聯(lián)系自一開始就以一種非常自然、有效的方式深入地交錯在叢代數(shù)和代數(shù)表示論研究前沿中. 尤為重要的是它促使代數(shù)表示論的研究進入到一個新的高峰. 在叢代數(shù)的研究中, 發(fā)現(xiàn)了一種叢傾斜理論, 它極大地發(fā)展了代數(shù)表示論的核心內(nèi)容: 傾斜理論. 叢傾斜理論是關(guān)于阿貝爾范疇、三角范疇的一種新的傾斜理論. 現(xiàn)在知道的叢范疇或一般的2-Calabi-Yau三角范疇的叢傾斜理論具有很多經(jīng)典傾斜理論所沒有的好的性質(zhì), 比如, 2-Calabi-Yau三角范疇的幾乎完備叢傾斜對象恰好有兩個補, 而經(jīng)典傾斜模最多有兩個補.

叢傾斜理論中的一類很重要的子范疇叫做叢傾斜子范疇.

基于叢傾斜子范疇的重要性, 在本文中, 我們給出了它的一個等價刻畫, 以便能更好地研究叢傾斜理論的知識.

主要結(jié)果

證明由擴張封閉子范疇的定義知, 剛性子范疇一定是擴張封閉的.

[1] G. Lusztig.[J]. J. Amer. Math. Soc, 1990, 3: 447~498

[2] M. Kashiwara.[J]. Duke Math. J, 1994, 73(2): 383~413

[3] S. Fomin, A. Zelevinsky.[J]. J. Amer. Math. Soc, 2002, 15(2): 497~529

[4] A. Buan, R. Marsh, M. Reineke, I. Reiten, G. Todorov[J]. Adv. Math, 2006, 204(2): 572~618

[5] S. Koenig, B. Zhu.:[J]. Math. Z, 2008, 258: 143~160

[6] I. Reiten and M. Van den Bergh.[J]. J. Amer. Math. Soc, 2002, 15(2): 295~366

[7] O. Iyama, Y. Yoshino.[J]. Invent. Math, 2008, 172(1): 117~168

An Equivalent Characterization of Cluster-tilting Subcategories

ZHOU Panyue, LUO Deren

(College of Mathematics, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006, China)

In this paper, we give an equivalent characterization of cluster-tilting subcategories in 2-Calabi-Yau triangulated categories by Octahedral axiom, finally, we give a simple application.

tilting theory, 2-Calabi-Yau triangulated categories, cluster-tilting subcategories

2017-10-05

國家自然科學基金資助項目(11671127 ; 11671221)

周潘岳(1986? ), 男, 湖南岳陽人, 博士, 湖南理工學院數(shù)學學院講師. 主要研究方向: 代數(shù)表示論

羅德仁(1987? ), 男, 湖南南縣人, 博士, 湖南理工學院數(shù)學學院講師. 主要研究方向: 代數(shù)表示論

O154.1

A

1672-5298(2017)04-0001-02