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    直線與圓錐曲線交點問題錯解分析

    2018-01-25 04:17:41單建軍
    關(guān)鍵詞:聯(lián)立方程綜上錯因

    單建軍 錢 慧

    同學(xué)們在做直線與圓錐曲線交點相關(guān)題目的過程中,經(jīng)常會犯一些錯誤,現(xiàn)舉兩例加以說明.

    例1已知曲線與直線y=-x+m只有一個公共點,則m的取值范圍是________.

    錯解曲線可化為,與y=-x+m聯(lián)立成方程組消去y得5x2-8mx+4m2-4=0,由Δ=0得.

    錯因剖析方程與方程并不等價,實際上變形過程中擴大了y的范圍,從而引起錯誤.

    正解曲線可化為,表示上半個橢圓,與y=-x+m聯(lián)立成方程組消去y得5x2-8mx+4m2-4=0,由Δ=0得.再借助于數(shù)形結(jié)合易知-2≤m<2或.

    例2過點A(0,1)且與拋物線y2=4x有且只有一個公共點的直線方程為_______.

    錯解設(shè)直線方程為y=kx+1,與方程y2=4x聯(lián)立方程組消去y可得(kx+1)2=4x,即k2x2+(2k-4)x+1=0.

    (1)當(dāng)k=0時,方程組有一解,此時直線方程為y=1;

    (2)當(dāng)k≠0時,由Δ=(2k-4)2-4k2=0得k=1,此時直線方程為y=x+1.

    綜上,y=1或y=x+1.

    錯因剖析在設(shè)直線方程時沒有討論斜率不存在的情形,即要注意到y(tǒng)=kx+1并不能表示所有過點A(0,1)的直線,從而引起漏解.

    正解(1)當(dāng)斜率k不存在時,直線方程為x=0,滿足題意.

    (2)同錯解.

    綜上直線方程為x=0或y=1或y=x+1.

    在處理直線和圓錐曲線問題的過程中,變形的等價性、直線方程的斜率不存在情形的討論以及聯(lián)立方程組判別式使用的條件等都是易錯之處,尤其值得同學(xué)們引起重視.

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