張開孩子想象的翅膀，還原數(shù)學(xué)創(chuàng)造的本真
——談『線段、直線和射線』的教學(xué)

◇劉燕

一、童言無忌有思量，從幾個(gè)教學(xué)片段談起

片段一：再怎么延長(zhǎng)，它上下也有兩個(gè)圓圓的面！

執(zhí)教老師用金箍棒引入直線。教師展示動(dòng)畫視頻：金箍棒變長(zhǎng)、變長(zhǎng)、再變長(zhǎng)。

師：我們把它看作一條線，它無限長(zhǎng)，沒有端點(diǎn)。

生：（自言自語）再怎么延長(zhǎng)，它上下也有兩個(gè)圓圓的面！

片段二：光線不見了！

執(zhí)教老師用手電筒的光引入射線。教師打開手電筒，將光照在黑板上、照在墻壁上，讓孩子們觀察光線形成的線段和端點(diǎn)，最后教師將手電筒的光射向了窗外。

師：現(xiàn)在它怎么樣了？

生：不見了。

師：它無限延長(zhǎng)，射向了遙遠(yuǎn)的宇宙，它有無限長(zhǎng)。

生：（自言自語）它都沒有了，還說無限長(zhǎng)！

片段三：直線像金箍棒一樣！

鞏固環(huán)節(jié)，一位老師請(qǐng)學(xué)生說說什么是直線。一個(gè)學(xué)生說：“直線可以很長(zhǎng)也可以很短，可以是5厘米，可以是10米，還可以無限延長(zhǎng)。”課后，我對(duì)全班學(xué)生進(jìn)行了測(cè)試，判斷這句話是否正確。結(jié)果，47個(gè)學(xué)生中有38個(gè)學(xué)生判斷這句話正確，理由是直線可以隨便延長(zhǎng)，有的學(xué)生還特別強(qiáng)調(diào)：“直線就像金箍棒一樣，可以變長(zhǎng)也可以變短?！?/p>

以上片段中，那些表面上看起來不配合老師的無忌童言引發(fā)了我的思考，問題出在哪兒？靜心分析，我發(fā)現(xiàn)，在小學(xué)幾何教學(xué)中，線段、直線、射線是一個(gè)非常特殊的內(nèi)容，由于其特殊之處，導(dǎo)致一般圖形認(rèn)識(shí)的教學(xué)方法在本節(jié)課可能并不適用。

二、小學(xué)幾何教學(xué)中的特殊內(nèi)容——線段、直線和射線

特殊之一：生活中不存在射線和直線。

與其他幾何圖形不同，直線和射線在生活中是不存在的。《西游記》中的金箍棒，首先它并不是現(xiàn)實(shí)生活中的物品，只存在于神話世界；其次，正如孩子所言，再怎么延長(zhǎng)，它上下都有兩個(gè)圓圓的面，與直線沒有端點(diǎn)的屬性不符，金箍棒可以任意變長(zhǎng)、變短的屬性與直線無限長(zhǎng)的屬性也并不相同。

如果說長(zhǎng)方形、正方體、角等圖形是根據(jù)現(xiàn)實(shí)生活物品的形狀抽象建立的幾何圖形概念，那么，射線、直線則是根據(jù)現(xiàn)實(shí)生活物品的形狀抽象出來，再進(jìn)行想象、加工、發(fā)展才建立的幾何圖形概念。其過程是：將現(xiàn)實(shí)生活中直的線抽象出來，建立線段概念，再在線段的基礎(chǔ)上，對(duì)其屬性加以變化，經(jīng)過想象、創(chuàng)造，建立新的幾何圖形概念——射線和直線。正因如此，如果教學(xué)射線和直線也遵循其他幾何圖形認(rèn)識(shí)的方法，想從現(xiàn)實(shí)生活中直接抽象出直線、射線，再返回到現(xiàn)實(shí)生活中尋找直線、射線，就變得很艱難了。

特殊之二：圖示與實(shí)際不符。

首先，學(xué)生之前認(rèn)識(shí)的幾何圖形，其圖示與形狀都完全相符，可是線段的圖示與其形狀不完全相符。以下是我對(duì)一個(gè)二年級(jí)孩子的訪談：

師：你能告訴我線段是什么樣子的嗎？

生：線段是一橫，然后兩邊有兩條小豎線。

師：那兩條小豎線表示什么你知道嗎？

生：不知道。

線段的實(shí)際樣子兩邊肯定不會(huì)有小豎線，圖示中線段兩頭的小豎線在線段的形狀中并不存在，畫兩條小豎線只是為了表示端點(diǎn)。盡管在2011年版的人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，將兩條小豎線改成了兩個(gè)小圓點(diǎn)，可是現(xiàn)實(shí)生活中線段兩端的形狀也不存在兩個(gè)小圓點(diǎn)，小圓點(diǎn)只表示位置，并不表示形狀。

其次，其他幾何圖形的圖示都可以完整畫出圖形的全部，可是直線和射線是畫不完整的，由于其無限長(zhǎng)，直線和射線都只能畫出一部分表示它。

最后，表示直線的圖示，其形狀卻與生活中所見的線段是一樣的。

線段、直線、射線圖示的特殊性，使得借助圖示抽象建立線段、直線、射線概念可能造成錯(cuò)誤的認(rèn)知，例如，在變式練習(xí)中學(xué)生常常認(rèn)為直線或射線是有限長(zhǎng)的，就與圖示的誤導(dǎo)有關(guān)，因?yàn)楫嫵鰜淼闹本€或射線圖示本身是可以測(cè)量的。

特殊之三：數(shù)學(xué)名稱與生活名稱相悖。

“直線”這一名稱在生活中和數(shù)學(xué)中有著不同的內(nèi)涵。生活中人們將線分為“直線”和曲線，凡是直的線都叫“直線”。由于生活中所有直的線都是長(zhǎng)度一定而且可測(cè)量的，所以嚴(yán)格來說，生活中人們所說的“直線”實(shí)際上都是數(shù)學(xué)中的線段。與生活中直的線不同，數(shù)學(xué)中直的線包含有“無限長(zhǎng)的”和“有限長(zhǎng)的”，依據(jù)其長(zhǎng)度、端點(diǎn)的情況，分為了直線、射線與線段。數(shù)學(xué)中所說的“直線”無限長(zhǎng)、沒有端點(diǎn)，其內(nèi)涵不僅與生活中所說的“直線”不同，而且，在生活中并不存在。

由于線段、直線和射線的特殊性，使其教學(xué)如果依舊遵循其他幾何圖形認(rèn)識(shí)的教學(xué)方法（從現(xiàn)實(shí)生活中舉例抽象、返回現(xiàn)實(shí)生活尋找實(shí)際例子、運(yùn)用圖示認(rèn)識(shí)圖形等），變得不可行，生活中的例子、圖示會(huì)干擾學(xué)生的思維和認(rèn)知。教學(xué)線段、直線和射線需要超越現(xiàn)實(shí)生活意象，讓孩子張開想象的翅膀。

三、超越生活，張開想象和創(chuàng)造的翅膀

環(huán)節(jié)一：超越現(xiàn)實(shí)的想象。

師：同學(xué)們都看過《西游記》，你最喜歡西游記中的哪個(gè)人物？

生：孫悟空。

生：他很厲害，會(huì)翻筋斗云，還會(huì)七十二變。

師：現(xiàn)實(shí)生活中有孫悟空嗎？

生：沒有！只有猴子。（笑）

師：孫悟空有很神奇的兵器，是什么？

生：金箍棒，可以變長(zhǎng)也可以變短。

師：生活中有金箍棒嗎？

生：沒有！只有木棍。（笑）

生：生活中也沒有豬八戒，只有豬。（笑）

師：是啊，借助神奇的想象，作家可以創(chuàng)造出生活中并不存在的文學(xué)形象，寫出精彩的文學(xué)作品。其實(shí)，不僅作家需要想象，數(shù)學(xué)家同樣需要想象，這節(jié)課，我們就一起進(jìn)行數(shù)學(xué)的想象和創(chuàng)造。

環(huán)節(jié)二：借助想象，認(rèn)識(shí)射線和直線。

在復(fù)習(xí)和進(jìn)一步認(rèn)識(shí)、歸納梳理了線段特征之后，教學(xué)射線和直線。

1.認(rèn)識(shí)射線。

（1）建立射線直觀表象。

師：線段在生活中處處可見，它們都是直的，都有兩個(gè)端點(diǎn)，一個(gè)是起點(diǎn)，一個(gè)是終點(diǎn)。可是數(shù)學(xué)家想象創(chuàng)造了一種神奇的線，這種線也是直的，你猜，它有可能神奇在哪兒？

生：它只有起點(diǎn)，沒有終點(diǎn)。

師：猜對(duì)了！閉眼想象一下，一條神奇的線，直的，只有起點(diǎn)，卻沒有終點(diǎn)……告訴我，你想象的這條線是什么樣子的？

生1：它很長(zhǎng)很長(zhǎng)，長(zhǎng)得望不到頭。

生2：它長(zhǎng)到宇宙中去了。

生3：它鉆到地底下去了，深得見不到底。

師：我們一起來閉眼想象、比畫一下這條線，想比畫什么方向的？

生：橫著的。

師：好，我們先來想象一條從左往右的。

師生齊：起點(diǎn)，唰……

（師生邊說邊書空：從起點(diǎn)向右延伸出去）

師：到了終點(diǎn)嗎？

生：沒有。

師：到了終點(diǎn)嗎？

生：沒有。

師：找得到終點(diǎn)嗎？

生：找不到。

師：讓它繼續(xù)飛，我們回來。

師：我們?cè)僖黄饋黹]眼想象一條豎著的。

師生齊：起點(diǎn)，唰……

（師生邊說邊書空：從起點(diǎn)向上延伸出去）

師：到了終點(diǎn)嗎？

生：沒有。

師：找得到終點(diǎn)嗎？

生：找不到。

師：你還想和它一起飛下去嗎？

生：不想。

師：為什么？

生：沒有終點(diǎn)，一直飛下去就回不來了！

師：還想比畫一條什么方向的？

生：斜著的。

……

（2）歸納概括射線的特點(diǎn)。

師：我們跟隨數(shù)學(xué)家想象出來的這條線有什么特點(diǎn)？

生1：是直的。

生2：只有起點(diǎn)，沒有終點(diǎn)，也就是只有一個(gè)端點(diǎn)。

生3：無限長(zhǎng)，無法測(cè)量。

（3）射線的名稱。

師：如果給這條線起個(gè)名字，你認(rèn)為叫什么線？

生1：神線，因?yàn)闆]有終點(diǎn)。

生2：無限長(zhǎng)線。

生3：射箭線，它像射箭一樣射出去。

師：數(shù)學(xué)家和你們想得很像，給它起了一個(gè)名字，就叫——射線（板書）。

2.認(rèn)識(shí)直線。

（1）建立直線直觀表象。

師：射線已經(jīng)夠神奇了，可是數(shù)學(xué)家還想象創(chuàng)造出了一種更神奇的線，這種線也是直的，你猜，它又神奇在哪兒？

生：它連起點(diǎn)都沒有了，沒有起點(diǎn)，也沒有終點(diǎn)。

師：猜對(duì)了！閉眼想象一下，一條神奇的線，直的，沒有起點(diǎn)，也沒有終點(diǎn)……告訴我，你想象的這條線是什么樣子的？

生1：它很長(zhǎng)很長(zhǎng)，往上鉆到云里面去了，往下鉆到地底下了。

生2：我想象的是斜著的，起點(diǎn)和終點(diǎn)都沒有，兩邊望不到頭。

生3：我想象的是向左右兩邊伸展的，彩虹色的。

師：我們一起來閉眼想象、比畫一下這種線，想先比畫什么方向的？

生：橫著的。

師：好，我們先來閉眼想象一條橫著的，唰……

師：向左看看，看到了起點(diǎn)嗎？

生：沒有。

師：向右看看，看到了終點(diǎn)嗎？

生：沒有。

師：還想比畫什么方向的？

……

（2）歸納概括直線的特點(diǎn)。

師：這條更神奇的線有什么特點(diǎn)？

生1：是直的。

生2：沒有起點(diǎn)，也沒有終點(diǎn)，一個(gè)端點(diǎn)也沒有。

生3：無限長(zhǎng)，無法測(cè)量。

（3）直線的名稱。

師：如果給這條線起個(gè)名字，你認(rèn)為叫什么線？

生1：長(zhǎng)又長(zhǎng)線，因?yàn)闆]有起點(diǎn)也沒有終點(diǎn)。

生2：雙射線，它向兩邊延伸出去。

師：你們創(chuàng)造力真強(qiáng)，想得很有道理，不過這次數(shù)學(xué)家不如你們，數(shù)學(xué)家給這條神奇的線起了一個(gè)非常非常普通的名字——直線（板書）。

生：啊！

師：這個(gè)名字普通嗎？

生：太普通了，小時(shí)候就經(jīng)常聽到。

師：不過生活中我們所說的直線和數(shù)學(xué)中所說的直線一樣嗎？

生：不一樣！生活中說的直線都有起點(diǎn)和終點(diǎn)，而數(shù)學(xué)中的直線無限長(zhǎng)。

師：是啊，生活中把線分為直線和曲線，凡是直直的線都稱為直線，生活中所說的直線都是有一定長(zhǎng)度的，其實(shí)都是線段，而數(shù)學(xué)中所說的直線，在生活中是不存在的。

當(dāng)孩子說出“長(zhǎng)到宇宙中去了”“鉆到地底下去了，深得見不到底”“彩虹色的”，這么細(xì)致的描繪，讓我相信孩子們真的借助想象建立了射線和直線的直觀表象。教學(xué)到此，還有一個(gè)問題沒有解決，那就是“圖示”，為了避免圖示對(duì)本質(zhì)屬性的干擾，圖示教學(xué)放在了建立直觀表象和完整認(rèn)識(shí)特征之后進(jìn)行。

環(huán)節(jié)三：創(chuàng)造圖示的表示方法。

師：線段、直線、射線都是直的，應(yīng)該用怎樣的圖表示才能讓人知道你表示的是哪種線呢？請(qǐng)發(fā)揮你的創(chuàng)造力，在練習(xí)本上畫一畫，試一試。

1.展示學(xué)生作品一（文字標(biāo)注）。

師：根據(jù)他的表示方法，你能區(qū)分出這三種線嗎？

生：能，那個(gè)一邊寫了“繼續(xù)長(zhǎng)”的是射線，兩邊寫了“繼續(xù)長(zhǎng)”的是直線。

2.展示學(xué)生作品二（沒有文字，射線和直線畫到了本子邊上）。

師：他一個(gè)字都沒寫，你還能區(qū)分出這三種線嗎？

生：能，那個(gè)一邊把本子畫穿的是射線，兩邊把本子畫穿的是直線。

師：你為什么把本子都畫穿了？

生：因?yàn)樗荛L(zhǎng)。

師：你把本子都畫穿了，畫完沒？

生：沒有。

3.展示學(xué)生作品三（標(biāo)準(zhǔn)畫法）。

師：你們有什么想問他的嗎？

生：你怎么把線畫得那么短？

師：是啊，人家嫌本子不夠大，把本子畫穿了都不能畫完，你怎么畫得這么短？

生：看端點(diǎn)就可以區(qū)分，我沒有畫穿你們也區(qū)分得開呀！

師：同學(xué)們認(rèn)為呢？

生：反正畫穿了也畫不完，不如節(jié)省些本子好了！

（全班贊同，笑）

師：由于射線、直線是無限長(zhǎng)的，無法完整描畫出來，我們只能畫出它們的一部分來表示，用端點(diǎn)加以區(qū)分，這樣更簡(jiǎn)潔。

四、初步感悟數(shù)學(xué)想象和創(chuàng)造的價(jià)值

在引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)略了數(shù)學(xué)想象和創(chuàng)造的奇妙之后，更應(yīng)讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)想象和創(chuàng)造的價(jià)值。于是我設(shè)計(jì)了以下環(huán)節(jié)。

環(huán)節(jié)四：數(shù)學(xué)為什么要想象和創(chuàng)造。

師：數(shù)學(xué)家為什么要想象創(chuàng)造出“直線”和“射線”呢？

（課件出示數(shù)軸圖）

師：這個(gè)數(shù)軸表示出了0～5，它是一條——

生：線段。

師：比0大的數(shù)有多少？

生：無限多。

師：如果我想將比0大的數(shù)都表示出來，需要一條什么線？

生：射線。

師：今后我們還會(huì)學(xué)習(xí)比0小的數(shù)，可以表示在0的左邊，也有無限多，如果要把這些比0大和比0小的數(shù)都表示出來，需要一條什么線？

生：直線。

（課件出示表示時(shí)間的線段圖）

師：這條線段表示出了開始上課到現(xiàn)在的時(shí)間，如果將以后的時(shí)間都表示出來，需要一條什么線？

生：射線！因?yàn)橹钡较抡n、放學(xué)、長(zhǎng)大、變老……時(shí)間會(huì)一直繼續(xù)下去，沒有終點(diǎn)。

生：如果將以前的時(shí)間也表示出來，就需要直線了！因?yàn)橐郧暗囊郧斑€有以前，時(shí)間沒有起點(diǎn)也沒有終點(diǎn)。

師：直線和射線的作用還有很多，數(shù)學(xué)家的想象和創(chuàng)造是為了解決數(shù)學(xué)或生活中的問題，數(shù)學(xué)也需要想象和創(chuàng)造。

以上環(huán)節(jié)除了用數(shù)軸（即數(shù)的無限性）幫助學(xué)生更好地理解射線、直線的無限性，還利用了時(shí)間的無限性（時(shí)間既沒有終點(diǎn)也沒有起點(diǎn)）幫助學(xué)生理解。

事實(shí)上，這兩個(gè)例子的安排與其說有助于學(xué)生更好地理解直線與射線這樣兩個(gè)概念，不如說是為了讓學(xué)生更好地感悟到，正是直線與射線這兩個(gè)概念的創(chuàng)造讓我們更好地說明了數(shù)與時(shí)間的無限性。也正是從后一角度去分析，我們就可以很好地理解以下的論述。如果“無限的直線”這一概念的發(fā)明可以歸功于某一個(gè)人的話，那么這位發(fā)明家就可以自豪地說：“我根據(jù)能摸、能扔、能摘的許多具體的物體完成了這樣一個(gè)自覺的思維過程。我的后代將因?yàn)槲蚁胂蟪隽藷o限的直線而感謝我，因?yàn)榻柚谶@樣的直線去認(rèn)識(shí)世界，將比沒有它要方便得多！”[1]

數(shù)學(xué)源于生活又超越生活，“盡管很多數(shù)學(xué)概念都有明顯的現(xiàn)實(shí)原型，但是，數(shù)學(xué)概念的形成又往往包含了理想化的過程，從而就是一種真正的思維創(chuàng)造?！盵2]“由于數(shù)學(xué)抽象是一種建構(gòu)的活動(dòng)，后者在一定程度上意味著與現(xiàn)實(shí)的分離，因此，這也就為思維的自由想象提供了更大的可能性。”[2]

數(shù)學(xué)的想象可以看作一種思維的創(chuàng)造，因而數(shù)學(xué)的創(chuàng)造與創(chuàng)新有其特殊之處——超越現(xiàn)實(shí)的羈絆和局限，這種想象和創(chuàng)造對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與研究起著重要的作用?！叭绻龀醯葦?shù)學(xué)的范圍，我們就會(huì)更多地接觸到這樣的‘理想元素’，即這樣的數(shù)學(xué)對(duì)象，它們似乎僅僅憑借‘?dāng)?shù)學(xué)的自由創(chuàng)造和想象’得到了建構(gòu)?！薄熬腿缌袑幩赋龅模骸孟胧菢O其可貴的品質(zhì)’，‘有人認(rèn)為只有詩人才需要幻想，這是沒有理由的，這是愚蠢的偏見！甚至數(shù)學(xué)上也需要幻想’……”[2]

我們?cè)诮虒W(xué)中既要聯(lián)系生活教學(xué)，也要超越生活引導(dǎo)學(xué)生適當(dāng)感悟，從而幫助學(xué)生從“生活數(shù)學(xué)”走向“學(xué)校數(shù)學(xué)”，發(fā)展數(shù)學(xué)想象的能力，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)創(chuàng)造的本質(zhì)?！吧渚€”“直線”概念的引入和建立就是很好的契機(jī)。