欠驅(qū)動(dòng)指爪機(jī)構(gòu)的被動(dòng)彈性元件參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)

楚中毅，賴(lài)咪，燕少博

北京航空航天大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京 100083

當(dāng)今的太空在軌技術(shù)以及智能工業(yè)生產(chǎn)均離不開(kāi)基于智能機(jī)器人系統(tǒng)的精密操作，例如，太空領(lǐng)域中的航天器裝配、衛(wèi)星維護(hù)以及工業(yè)機(jī)器人領(lǐng)域中的零件搬運(yùn)和裝配等，而末端執(zhí)行器作為機(jī)器人系統(tǒng)最重要的組成部分之一，具有重要的研究?jī)r(jià)值。其中，欠驅(qū)動(dòng)指爪機(jī)構(gòu)是一類(lèi)典型的末端執(zhí)行器。相比于全驅(qū)動(dòng)指爪，其具有更加輕便、容易控制、成本低廉的優(yōu)勢(shì)[1-3]，因此得到了廣泛的研究[4-11]。

目前，國(guó)內(nèi)外研究主要將欠驅(qū)動(dòng)指爪抓取過(guò)程的自適應(yīng)性及穩(wěn)定性作為評(píng)價(jià)抓取性能的重要指標(biāo)[12-13]。為了實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定抓取，文獻(xiàn)[14]提出一種基于抓取狀態(tài)平面的可視化方法以得到穩(wěn)定區(qū)域，并以此為基礎(chǔ)提出欠驅(qū)動(dòng)指爪的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。為表征穩(wěn)定抓取并建立其解析表達(dá)式，文獻(xiàn)[15]提出不同抓取模式指爪幾何和驅(qū)動(dòng)參數(shù)的設(shè)計(jì)方法。另外，楚中毅等對(duì)欠驅(qū)動(dòng)指爪的不同抓取模式也進(jìn)行了定量分析，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了其自適應(yīng)性[16]。此外，Jung等分析了接觸點(diǎn)的數(shù)量和接觸力對(duì)穩(wěn)定抓取的影響，接觸點(diǎn)數(shù)量越多，接觸力分布越均勻，抓取的性能就越好[17]。但是，上述方法的建模過(guò)程中忽略了被動(dòng)彈性元件的影響。實(shí)際上，彈簧被動(dòng)扭矩、接觸力和電機(jī)驅(qū)動(dòng)扭矩之間的關(guān)系決定了不同抓取模式的穩(wěn)定性和自適應(yīng)能力[18]。若彈簧剛度選擇過(guò)小，欠驅(qū)動(dòng)指爪可以更好地適應(yīng)物體的形狀，但其穩(wěn)定性會(huì)降低；若彈簧剛度選擇過(guò)大，抓取穩(wěn)定性會(huì)增強(qiáng)，但勢(shì)必影響其適應(yīng)更多不規(guī)則形狀物體的能力。因此，有學(xué)者開(kāi)始嘗試對(duì)彈簧剛度的設(shè)計(jì)進(jìn)行研究，但僅限于定性地通過(guò)仿真和實(shí)驗(yàn)獲取合適的彈簧剛度[19]。綜上所述，鑒于彈簧剛度參數(shù)在欠驅(qū)動(dòng)指爪設(shè)計(jì)中的重要性，有必要進(jìn)行深入的研究，以期為欠驅(qū)動(dòng)指爪機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)和控制應(yīng)用奠定一定的理論和技術(shù)基礎(chǔ)。

本文基于抓取狀態(tài)平面法的思想[14]，提出一種欠驅(qū)動(dòng)指爪被動(dòng)彈性元件參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，將彈簧剛度作為設(shè)計(jì)參數(shù)，以實(shí)現(xiàn)欠驅(qū)動(dòng)指爪抓取穩(wěn)定性與自適應(yīng)性之間的平衡。首先，為了獲取不同抓取模式下欠驅(qū)動(dòng)指爪合適的彈簧剛度，需建立彈簧剛度與驅(qū)動(dòng)力的平衡方程；然后，基于欠驅(qū)動(dòng)指爪在不同抓取模式下拓?fù)滢D(zhuǎn)換的定量分析，得到不同抓取模式下彈簧剛度的取值范圍。在此基礎(chǔ)上，建立彈簧剛度與穩(wěn)定區(qū)域關(guān)系的解析表達(dá)，最后基于穩(wěn)定區(qū)域最大化的思想，進(jìn)行彈簧剛度的最優(yōu)設(shè)計(jì)。

1 欠驅(qū)動(dòng)指爪靜力學(xué)分析

為了研究彈簧剛度對(duì)欠驅(qū)動(dòng)指爪抓取性能的影響，以欠驅(qū)動(dòng)指爪一指為例進(jìn)行分析。其有兩個(gè)指節(jié)，分別為靠近手掌的近端指節(jié)和遠(yuǎn)離手掌的遠(yuǎn)端指節(jié)。近端指節(jié)與手掌、遠(yuǎn)端指節(jié)之間存在安裝彈簧的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，分別為關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2。當(dāng)欠驅(qū)動(dòng)指爪抓取目標(biāo)物時(shí)，彈簧通過(guò)存儲(chǔ)能量，使手指保持一定姿勢(shì)；當(dāng)指爪放開(kāi)目標(biāo)物時(shí)，彈簧則釋放能量，使手指恢復(fù)到初始位姿。在抓取過(guò)程中，近端指節(jié)和遠(yuǎn)端指節(jié)分別與目標(biāo)物接觸。其中近端指節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)角度為θ1，長(zhǎng)度為L(zhǎng)1，與物體接觸力為F1，接觸點(diǎn)距關(guān)節(jié)1的距離為p1。關(guān)節(jié)1到腱線孔沿指節(jié)方向的距離為a1，垂直于指節(jié)方向的距離為b1。遠(yuǎn)端指節(jié)相對(duì)于近端指節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)角度為θ2，長(zhǎng)度為L(zhǎng)2，接觸力為F2，接觸點(diǎn)距關(guān)節(jié)2的距離為p2。關(guān)節(jié)2到腱線孔沿指節(jié)方向的距離為a2，垂直于指節(jié)方向的距離為b2。腱線施加拉力Fm，線與關(guān)節(jié)1的距離為pm,欠驅(qū)動(dòng)手指的受力如圖1所示。

腱線拉力在關(guān)節(jié)1處產(chǎn)生的等效力矩為

Ta=Fmpm

(1)

關(guān)節(jié)2到腱線之間的垂直距離可通過(guò)幾何關(guān)系計(jì)算得到[20]：

(2)

式中：a=L1-a1+a2cosθ2-b2sinθ2；b=b1-a2sinθ2-b2cosθ2。此時(shí)接觸力為[20]

F=(JT)-1(TT)-1t

(3)

式中:F=[F1F2]T,t=[Ta-KΔθ1-KΔθ2]T為關(guān)節(jié)力矩，K為關(guān)節(jié)處彈簧剛度,Δθ1和Δθ2分別為θ1和θ2與初始值的差值，矩陣T為傳動(dòng)矩陣，有：

(4)

考慮到手指與目標(biāo)物接觸時(shí)會(huì)產(chǎn)生摩擦，摩擦系數(shù)為μ。因此，雅克比矩陣為

(5)

為了進(jìn)一步分析欠驅(qū)動(dòng)指爪機(jī)構(gòu)的受力，可將關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2表示為O1和O2，并通過(guò)動(dòng)力傳遞機(jī)構(gòu)將作用在關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2處的力矩表示為T(mén)1、T2，手掌寬度為L(zhǎng)0，其平面圖如圖2所示。其中O2i、θ2i和p2i為欠驅(qū)動(dòng)指爪任意的初始位形。

定義力矩T2和T1的比值為

(6)

式(6)中，R與關(guān)節(jié)的真實(shí)轉(zhuǎn)角有關(guān)。不失一般性，以圓柱形半徑為robj的目標(biāo)物為例?，F(xiàn)假設(shè)目標(biāo)物中心線與手掌中心線重合，如圖3所示，其中目標(biāo)物與手掌的接觸力為Fpalm，Yobj為目標(biāo)物圓心到手掌的豎直距離。C0、C1和C2為目標(biāo)物與欠驅(qū)動(dòng)指爪的接觸點(diǎn)。當(dāng)抓取達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，物體所受合外力為零。將物體受力沿豎直方向分解，可得：

Fobj,y=2F1cF1+2F2cF2+Fpalm

(7)

圖1 欠驅(qū)動(dòng)手指抓取目標(biāo)物受力圖Fig.1 Diagram of force generated in grasping object with an underactuated finger

式中：cF1=cosθ1+μsinθ1;cF2=cos(θ1+θ2)-μsin(θ1+θ2)。

其中，接觸力與接觸點(diǎn)位置、遠(yuǎn)端指節(jié)旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)系矩陣為

圖2 欠驅(qū)動(dòng)指爪模型Fig.2 Model of underactuated gripper

圖3 目標(biāo)物與手指受力圖Fig.3 Force diagram of object and fingers

(8)

根據(jù)平衡方程式(3)和式(8)，結(jié)合式(6)可得：

(9)

通過(guò)式(9)可獲得不同抓取模式(θ1和θ2可變)下彈簧剛度與驅(qū)動(dòng)力的定量關(guān)系，進(jìn)而為不同抓取模式的拓?fù)浞治龅於ɑA(chǔ)。

2 不同抓取模式的拓?fù)浞治?/h2>

由于目標(biāo)物的尺寸差異，導(dǎo)致穩(wěn)定抓取過(guò)程中指爪與目標(biāo)物的接觸點(diǎn)不同，因此有必要分析與特定抓取模式相適應(yīng)的目標(biāo)物尺寸?，F(xiàn)基于兩點(diǎn)、三點(diǎn)、四點(diǎn)以及五點(diǎn)接觸的不同抓取模式進(jìn)行分析。

2.1 不同抓取模式下的目標(biāo)物尺寸分析

考慮到一般的接觸情況，目標(biāo)物與手指的接觸狀態(tài)如圖3所示。當(dāng)欠驅(qū)動(dòng)指爪的幾何尺寸一定時(shí)，可抓取目標(biāo)物的尺寸在一定范圍內(nèi)?，F(xiàn)將基于文獻(xiàn)[15]對(duì)不同抓取模式下目標(biāo)物的半徑進(jìn)行討論。

由圖3可得到：

(10)

(11)

式中：SF1=cos (θ1+θ2);SF2=sin (θ1+θ2)。

當(dāng)手指尺寸滿足L0≤L1≤L0+L2時(shí)才可能產(chǎn)生五點(diǎn)接觸。如圖3所示，五點(diǎn)接觸時(shí)Yobj=robj。當(dāng)遠(yuǎn)端指節(jié)豎直時(shí)，可抓取的目標(biāo)物尺寸達(dá)到最大，有θ1+θ2=π/2。將其代入式(11)，此時(shí)目標(biāo)物的尺寸范圍為

(12)

當(dāng)手指尺寸滿足L1>L0時(shí)可能產(chǎn)生四點(diǎn)接觸，有Yobj>robj。此時(shí)目標(biāo)物的尺寸范圍為

robj,4≤

(13)

其中，

(14)

(15)

當(dāng)手指尺寸滿足L1≤L0+L2時(shí)可能產(chǎn)生三點(diǎn)接觸，有Yobj=robj和θ1+θ2=π/2。將其代入式(11)，此時(shí)目標(biāo)物的尺寸范圍為

(16)

兩點(diǎn)接觸時(shí)遠(yuǎn)端指節(jié)處于豎直狀態(tài)，當(dāng)目標(biāo)物與近端指節(jié)或手掌處于臨界接觸狀態(tài)時(shí)，可抓取目標(biāo)物的尺寸達(dá)到最大，因此有：

(17)

對(duì)于兩點(diǎn)接觸，其目標(biāo)物尺寸必須大于一定的范圍，該范圍滿足：

(18)

給定欠驅(qū)動(dòng)指爪的幾何尺寸，可得到不同抓取模式下目標(biāo)物的尺寸范圍，現(xiàn)就不同抓取模式之間的轉(zhuǎn)換進(jìn)行分析。

2.2 不同抓取模式的轉(zhuǎn)換

在欠驅(qū)動(dòng)指爪抓取過(guò)程中，根據(jù)彈簧被動(dòng)扭矩與驅(qū)動(dòng)力矩之間不同的比值R，產(chǎn)生了不同的抓取模式，如圖4所示?，F(xiàn)就具體情況進(jìn)行討論[15]。

圖4 不同抓取模式的轉(zhuǎn)換Fig.4 Bifurcations between various grasp types

對(duì)于五點(diǎn)接觸，目標(biāo)物與手掌、近端指節(jié)和遠(yuǎn)端指節(jié)同時(shí)接觸。當(dāng)R到達(dá)五點(diǎn)接觸的上限值R5,max時(shí)，近端指節(jié)的接觸力趨近于零，令式(8)中接觸力F1=0可得：

(19)

當(dāng)R到達(dá)五點(diǎn)接觸的下限值R5,min時(shí)，目標(biāo)物與手掌之間的接觸力趨近于零。隨著R的減小，接觸狀態(tài)將向四點(diǎn)接觸轉(zhuǎn)換。令式(7)中Fpalm=0并代入式(8)中得到:

R5,min=

(20)

對(duì)于四點(diǎn)接觸，目標(biāo)物與近端指節(jié)、遠(yuǎn)端指節(jié)同時(shí)接觸，且與手掌不發(fā)生接觸。當(dāng)R到達(dá)四點(diǎn)接觸的上限值時(shí)，物體與手掌處于臨界接觸狀態(tài)，與R5,min的狀態(tài)一樣，因此有:

R4,max=R5,minL1≤L0+L2

(21)

當(dāng)L1>L0+L2時(shí)，將會(huì)造成四點(diǎn)接觸下的抓取失穩(wěn)。

當(dāng)R到達(dá)四點(diǎn)接觸的下限值R4,min時(shí)，遠(yuǎn)端指節(jié)趨近于豎直狀態(tài)，有θ1+θ2=π/2。隨著R的減小，接觸狀態(tài)將向兩點(diǎn)接觸轉(zhuǎn)換。由式(7)和式(8)可得:

(22)

當(dāng)三點(diǎn)接觸達(dá)到上限值時(shí)，目標(biāo)物與遠(yuǎn)端指節(jié)、手掌接觸，與近端指節(jié)不發(fā)生接觸。將F1=0代入式(8)可得:

(23)

若R繼續(xù)增大，將會(huì)造成三點(diǎn)接觸下的抓取失穩(wěn)。

當(dāng)三點(diǎn)接觸到達(dá)其下限R3,min時(shí)，目標(biāo)物與近端指節(jié)、手掌都處于臨界接觸狀態(tài)。隨著R的減小，根據(jù)目標(biāo)物的不同半徑，其接觸狀態(tài)將向五點(diǎn)或兩點(diǎn)接觸轉(zhuǎn)換。當(dāng)robjrobj,5時(shí)，其轉(zhuǎn)換為兩點(diǎn)接觸，因此根據(jù)式(10)和式(11)可得：

(24)

兩點(diǎn)接觸時(shí)，目標(biāo)物只與遠(yuǎn)端指節(jié)接觸，此時(shí)F1=0，因此式(23)仍然成立。當(dāng)R達(dá)到兩點(diǎn)接觸的上限R2,max時(shí)，接觸點(diǎn)位于遠(yuǎn)端指節(jié)的頂端，即p2=L2，此時(shí)有:

(25)

當(dāng)R到達(dá)兩點(diǎn)接觸的下限R2,min時(shí)，目標(biāo)物與近端指節(jié)、手掌都處于臨界接觸狀態(tài)。由于一般情況下兩點(diǎn)接觸很難實(shí)現(xiàn)抓取穩(wěn)定，因此其最終可能轉(zhuǎn)換為三點(diǎn)或四點(diǎn)接觸以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定抓取，或最終抓取失敗。因此有:

(26)

通過(guò)以上對(duì)不同抓取模式拓?fù)滢D(zhuǎn)換的定量分析可知，在目標(biāo)物尺寸已知的情況下，基于不同彈簧扭矩與驅(qū)動(dòng)力矩之間的比值R，由式(9)可獲取彈簧剛度的適用范圍。

3 不同抓取模式下平衡與接觸軌跡分析

當(dāng)欠驅(qū)動(dòng)指爪抓取目標(biāo)物達(dá)到穩(wěn)定后，目標(biāo)物與遠(yuǎn)端指節(jié)的平衡位置e也隨之固定。對(duì)于不同的接觸狀態(tài)，平衡軌跡的表達(dá)也不同。在上面已經(jīng)討論過(guò)，兩點(diǎn)接觸為臨界穩(wěn)定狀態(tài)，難以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定抓取，因此下面不再贅述。

五點(diǎn)接觸下的幾何關(guān)系如圖3所示,由三角形全等關(guān)系(ΔOC0O1?ΔOC1O1和ΔOC1O2?ΔOC2O2)可得：

p2=e=L1-L0

(27)

當(dāng)四點(diǎn)接觸時(shí)，物體與手掌脫離。將Fpalm=0和式(3)代入式(7)可得平衡軌跡：

p2=e=

(28)

式中：T3=Ta-Kθ1。

當(dāng)三點(diǎn)接觸時(shí)，物體只與遠(yuǎn)端指節(jié)接觸，因此有F1=0, 代入式(3)可得平衡軌跡:

p2=e=

(29)

此外，在欠驅(qū)動(dòng)指爪抓取目標(biāo)物的過(guò)程中，接觸點(diǎn)會(huì)在遠(yuǎn)端指節(jié)上相對(duì)滑動(dòng)，直到抓取穩(wěn)定或失敗。如圖2(b)所示，O1、O2與接觸點(diǎn)形成一個(gè)三角形，若目標(biāo)物位置不發(fā)生變化，欠驅(qū)動(dòng)指爪最終達(dá)到穩(wěn)定位形，則由幾何關(guān)系可得:

(30)

其中，接觸軌跡可確定在(p2,θ2)坐標(biāo)平面內(nèi)，即“抓取狀態(tài)平面”。據(jù)此，可獲得不同抓取模式下穩(wěn)定抓取的定量條件，即接觸軌跡與平衡軌跡的重合部分是實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定抓取的先決條件。

4 彈簧剛度的優(yōu)化設(shè)計(jì)

4.1 彈簧剛度的取值范圍求解

為了方便彈簧剛度的優(yōu)化，給定一個(gè)各連桿長(zhǎng)度已知的欠驅(qū)動(dòng)指爪(L1=40 mm、L2=50 mm和L0=20 mm)和腱線拉力Fm=10 N。根據(jù)不同抓取模式下R和目標(biāo)物半徑的關(guān)系表達(dá)式(19)～式(24)，對(duì)于特定的Rmax與Rmin，分析彈簧剛度與靜摩擦系數(shù)以及目標(biāo)物半徑之間的關(guān)系，如圖5所示。

圖5 剛度與靜摩擦系數(shù)、目標(biāo)物半徑之間的關(guān)系Fig.5 Relationship between K, μ and robj

圖6 不同摩擦系數(shù)下剛度與目標(biāo)物半徑之間關(guān)系Fig.6 Relationship between K and robj in different μ

從圖5中可看出摩擦系數(shù)與目標(biāo)物半徑對(duì)彈簧剛度的影響。一般情況下，當(dāng)目標(biāo)物材質(zhì)確定后，手指與目標(biāo)物之間的摩擦系數(shù)也隨之確定。給定摩擦系數(shù)μ=0.5和μ=0.8，不同抓取模式下剛度與目標(biāo)物半徑之間的關(guān)系如圖6所示。從圖中可以看出，若彈簧剛度固定，欠驅(qū)動(dòng)指爪可抓取一定尺寸范圍內(nèi)的目標(biāo)物；若目標(biāo)物半徑已知，可得該半徑下Rmax與Rmin之間所對(duì)應(yīng)的剛度范圍。如圖6所示，當(dāng)μ=0.5時(shí)，對(duì)半徑為30 mm的目標(biāo)物，三點(diǎn)接觸下剛度范圍為0～0.055 N·m/rad，四點(diǎn)接觸下剛度范圍為0～0.113 N·m/rad，五點(diǎn)接觸下剛度范圍為0.112～0.113 N·m/rad。

4.2 基于抓取狀態(tài)平面的彈簧剛度與穩(wěn)定區(qū)域關(guān)系

圖7 不同接觸狀態(tài)下的平衡軌跡圖Fig.7 Curves of equilibrium in various grasp types

根據(jù)不同接觸狀態(tài)下平衡軌跡的表達(dá)式式(27)～式(29)，得到平衡軌跡的3D圖形，如圖7所示。縱坐標(biāo)為遠(yuǎn)端指節(jié)平衡位置e與其桿長(zhǎng)L2的比值，橫坐標(biāo)為彈簧剛度K與遠(yuǎn)端指節(jié)和近端指節(jié)之間的夾角θ2。從7(a)中可看出五點(diǎn)接觸只與欠驅(qū)動(dòng)指爪的幾何參數(shù)L0和L1有關(guān)，與摩擦系數(shù)和彈簧剛度無(wú)關(guān)。因此，在該接觸狀態(tài)下，彈簧剛度不會(huì)對(duì)抓取穩(wěn)定性造成影響。在四點(diǎn)與三點(diǎn)接觸下，平衡軌跡的3D圖形如圖7(b)和圖7(c)所示，從圖中可以看出，該平衡軌跡不但與彈簧剛度K和轉(zhuǎn)角θ有關(guān)，還與靜摩擦系數(shù)μ有關(guān)。

因此，將μ=0.5得到的平衡軌跡與式(30)結(jié)合，得到四點(diǎn)與三點(diǎn)接觸下不同彈簧剛度的穩(wěn)定區(qū)域，如圖8和圖9所示。其中,θik(k=1,2,3)代表角度θ2的一系列變化值，θi1為平衡軌跡與幾何約束(p2=0)的交點(diǎn)，θi2為平衡軌跡與接觸軌跡的交點(diǎn)，θi3為接觸軌跡與幾何約束(p2=L2)的交點(diǎn)。當(dāng)接觸點(diǎn)在白色區(qū)域時(shí)，F(xiàn)1會(huì)在關(guān)節(jié)處產(chǎn)生扭矩，使得接觸點(diǎn)向靠近平衡軌跡的方向移動(dòng)，最終和平衡軌跡相交，抓取達(dá)到穩(wěn)定，因此稱(chēng)白色區(qū)域?yàn)榉€(wěn)定區(qū)域。但并不是兩者相交就能達(dá)到穩(wěn)定，如圖8(b)中(1)區(qū)域，接觸軌跡與平衡軌跡左半部分有交點(diǎn)，但其與右半部分相交前就已到達(dá)限位。另一種情況如8(a)中(2)區(qū)域所示，接觸點(diǎn)在該區(qū)域時(shí)接觸力F1<0,因此在關(guān)節(jié)1處產(chǎn)生逆時(shí)針的扭矩，使得接觸點(diǎn)沿著背離平衡軌跡的方向運(yùn)動(dòng)，如圖中該區(qū)域箭頭所指方向。

圖8 四點(diǎn)接觸狀態(tài)下的穩(wěn)定區(qū)域Fig.8 Stability regions of 4-point grasp type

圖9 三點(diǎn)接觸狀態(tài)下的穩(wěn)定區(qū)域Fig.9 Stability regions of 3-point grasp type

通過(guò)積分計(jì)算圖中白色穩(wěn)定區(qū)域的面積：

(31)

式中：g(θ2i)為抓取狀態(tài)平面上θi2和θi3之間的接觸軌跡片段，其表達(dá)式為

(32)

f(θ2i)為抓取狀態(tài)平面上θi2和θi3之間的平衡軌跡片段，表達(dá)式為

(33)

式中：cF3=cF1+cF2。

綜上所述，對(duì)于不同半徑的目標(biāo)物，由式(31)得到三點(diǎn)與四點(diǎn)接觸時(shí)彈簧剛度與機(jī)構(gòu)穩(wěn)定區(qū)域的關(guān)系，如圖10所示。從圖中可以看出，當(dāng)彈簧剛度增大時(shí)穩(wěn)定區(qū)域面積也隨之增大；當(dāng)彈簧剛度增大到某一值時(shí)，穩(wěn)定區(qū)域的面積達(dá)到最大；其后隨著彈簧剛度的增大，穩(wěn)定區(qū)域面積基本不變。

由圖10(b)可知，對(duì)于μ=0.5和robj=30 mm的抓取狀態(tài)模型，當(dāng)彈簧剛度增大到0.055 N·m/rad時(shí)，三點(diǎn)與四點(diǎn)接觸的穩(wěn)定區(qū)域面積都達(dá)到最大。同時(shí)，剛度0.055 N·m/rad也在三點(diǎn)與四點(diǎn)接觸可選擇的剛度范圍內(nèi)。因此， 該模型的最優(yōu)彈簧剛度為0.05 N·m/rad。為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的適用性，分別建立不同摩擦系數(shù)與目標(biāo)物半徑的抓取狀態(tài)模型，通過(guò)優(yōu)化設(shè)計(jì)得到其最優(yōu)彈簧剛度，如表1所示。

圖10 彈簧剛度優(yōu)化Fig.10 Spring stiffness optimization

表1 最優(yōu)彈簧剛度Table 1 Optimal spring stiffness

5 結(jié) 論

1) 提出一種欠驅(qū)動(dòng)指爪被動(dòng)彈性元件參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，將彈簧剛度作為設(shè)計(jì)參數(shù)，以實(shí)現(xiàn)欠驅(qū)動(dòng)指爪抓取穩(wěn)定性與自適應(yīng)能力之間的平衡。

2) 通過(guò)對(duì)欠驅(qū)動(dòng)指爪力傳遞關(guān)系的靜力學(xué)分析，建立彈簧剛度與驅(qū)動(dòng)力的平衡方程，完成欠驅(qū)動(dòng)指爪在不同抓取模式下拓?fù)滢D(zhuǎn)換的定量分析。

3) 在抓取狀態(tài)平面法的基礎(chǔ)上，建立彈簧剛度與機(jī)構(gòu)穩(wěn)定區(qū)域關(guān)系的解析表達(dá)，并基于穩(wěn)定區(qū)域面積最大化的思想，進(jìn)行最優(yōu)彈簧剛度的設(shè)計(jì)。最后，通過(guò)不同抓取狀態(tài)模型的仿真設(shè)計(jì)，驗(yàn)證了本文方法的有效性與適用性。

欠驅(qū)動(dòng)指爪的自適應(yīng)抓取源于機(jī)構(gòu)的欠驅(qū)動(dòng)特性，而對(duì)于欠驅(qū)動(dòng)指爪，抓取穩(wěn)定性是其重要研究?jī)?nèi)容之一。因此，在下一步工作中，將對(duì)欠驅(qū)動(dòng)指爪進(jìn)行穩(wěn)定性分析，并驗(yàn)證所提出的彈性元件參數(shù)優(yōu)化方法對(duì)不同剛度目標(biāo)物的自適應(yīng)抓取能力。

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