淺談導(dǎo)函數(shù)知識(shí)在解決高中函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

摘要：本文主要是圍繞著導(dǎo)函數(shù)知識(shí)在解決高中函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用進(jìn)行討論，使學(xué)生全面了解求導(dǎo)及導(dǎo)函數(shù)的知識(shí)，并了解求導(dǎo)及求導(dǎo)函數(shù)的代數(shù)和幾何意義，熟練地運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)知識(shí)，從而增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣，為在高考中取得良好成績(jī)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)函數(shù) 高中數(shù)學(xué) 求導(dǎo) 函數(shù) 應(yīng)用

本文主要是圍繞著求導(dǎo)及導(dǎo)函數(shù)知識(shí)來(lái)進(jìn)行討論的。求導(dǎo)和導(dǎo)函數(shù)知識(shí)是近代數(shù)學(xué)，特別是高等數(shù)學(xué)中的重要基礎(chǔ)知識(shí)之一，甚至可以說(shuō)數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何等高等數(shù)學(xué)知識(shí)體系的建立，最初都是構(gòu)建在函數(shù)的求導(dǎo)和導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用基礎(chǔ)上的。因此求導(dǎo)和導(dǎo)函數(shù)的知識(shí)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，也是今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)。通過(guò)閱讀和學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)教材，我們可以了解到求導(dǎo)及導(dǎo)函數(shù)的知識(shí)是新加入到高中教材的。將求導(dǎo)和導(dǎo)函數(shù)知識(shí)加入到高中教材中的目的，一方面是為了擴(kuò)充高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的了解，另一方面也是為了高中生以后進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)提前做好基礎(chǔ)知識(shí)的了解，所以學(xué)好求導(dǎo)和導(dǎo)函數(shù)的知識(shí)非常重要。

一、求導(dǎo)及導(dǎo)函數(shù)的基本定義

導(dǎo)數(shù)是指，設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x=x0及其附近有定義，當(dāng)自變量x在x0處有改變量△x（則函數(shù)y相應(yīng)的有改變量△y=f（x0+△x）-f（x0），這兩個(gè)改變量的比叫做函數(shù)y=f（x）在x0到x0+△x之間的平均變化率[1]。如果函數(shù)f（x）在（a，b）中每一點(diǎn)處都可導(dǎo)，則稱(chēng)f（x）在（a，b）上可導(dǎo)，則可建立f（x）的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù)，記為f'（x）。

二、求導(dǎo)及導(dǎo)函數(shù)知識(shí)在求解高中函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

在高中的數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，求導(dǎo)和導(dǎo)函數(shù)除了作為單獨(dú)的考點(diǎn)出現(xiàn)外，最大的應(yīng)用范圍應(yīng)該是在求函數(shù)的最大值、最小值和單調(diào)區(qū)間中。對(duì)比于傳統(tǒng)的求最大值、最小值和單調(diào)區(qū)間的方法來(lái)說(shuō)，利用求導(dǎo)和導(dǎo)函數(shù)知識(shí)求函數(shù)的最大值、最小值和單調(diào)區(qū)間是更為方便快捷的。以往我們?cè)谇蠛瘮?shù)最大值和最小值的過(guò)程中，首先是要構(gòu)造函數(shù)，然后尋找特殊點(diǎn)，最后才能確定函數(shù)的最小值或是最大值。對(duì)求單調(diào)區(qū)間也是一樣，我們需要構(gòu)造函數(shù)，找到函數(shù)的波峰和波谷，然后才能找到對(duì)應(yīng)的單調(diào)區(qū)間。這種方法對(duì)于求導(dǎo)和導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用來(lái)說(shuō)比較繁瑣，而且容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。

我們接下來(lái)舉例說(shuō)明，利用傳統(tǒng)的方法與求導(dǎo)和導(dǎo)函數(shù)的方法來(lái)解決此類(lèi)問(wèn)題的優(yōu)劣對(duì)比。首先在傳統(tǒng)的方法中，假設(shè)f（x）=x2+2x+5（在實(shí)數(shù)軸上連續(xù)），那么如果我們想求f（x）的最值問(wèn)題，首先要改造函數(shù)，f（x）=x2+2x+5=（x+1）2+4（在實(shí)數(shù)軸上連續(xù)），那么我們可以看出，該函數(shù)是有最小值的，函數(shù)的最小值點(diǎn)為x=-1，的點(diǎn)，函數(shù)的最小值是4。但如果利用求導(dǎo)和導(dǎo)函數(shù)的知識(shí)來(lái)解決該問(wèn)題，就很方便快捷了。我們通過(guò)閱讀《數(shù)學(xué)分析》教材可以了解到，對(duì)于連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)，一階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)為函數(shù)的極值點(diǎn)，若二階導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)大于零，則該點(diǎn)為函數(shù)的極小值點(diǎn)，若二階在該點(diǎn)小于零，則該點(diǎn)為函數(shù)的極大值點(diǎn)。從直觀上來(lái)看，f（x）=x2+2x+5（在實(shí)數(shù)軸上連續(xù)），又因?yàn)閒（x）是初等函數(shù)，函數(shù)f（x）在實(shí)數(shù)軸上可導(dǎo)，所以可以求得函數(shù)f（x）=2x+2。2x+2=0，可求得x=-1，x=-1的點(diǎn)是函數(shù)的極值點(diǎn)，將x=-1帶入原函數(shù)可得到，f（-1）=4，又因?yàn)閒（x）=2>0，所以函數(shù)的最小值為4。

為了說(shuō)明兩種方式求最值的優(yōu)勢(shì)和劣勢(shì)，這個(gè)例子選舉的還比較簡(jiǎn)單，如果利用更為復(fù)雜的函數(shù)來(lái)說(shuō)，使用求導(dǎo)或者是導(dǎo)函數(shù)知識(shí)來(lái)求極大值和極小值的話(huà)，優(yōu)勢(shì)會(huì)更加明顯。我們不妨再舉一個(gè)例子，f（x）=sinx，x∈（0，2π），求f（x）的最大值和最小值，這個(gè)利用構(gòu)造函數(shù)的辦法就比較困難。那么讓我們來(lái)用求導(dǎo)和導(dǎo)函數(shù)的知識(shí)來(lái)求最大值和最小值。f（x）=cosx=0，（0，2π）。求得x=π/2，x=3π/2，將x=π/2，x=3π/2，帶入f（x），求得原函數(shù)最大值為1，最小值為-1。由此可見(jiàn)，求導(dǎo)和導(dǎo)函數(shù)知識(shí)的方法更為簡(jiǎn)便快捷，當(dāng)然我們從正弦函數(shù)上出發(fā)也會(huì)驗(yàn)證到我們的做法是正確的。

同樣，可以利用求導(dǎo)和導(dǎo)函數(shù)的知識(shí)來(lái)解決函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問(wèn)題，我們還是利用f（x）=x2+2x+5（在實(shí)數(shù)軸上連續(xù)）這個(gè)例子來(lái)說(shuō)明，f（x）=x2+2x+5，f（x）=2x+2，f（x）=2>0，所以函數(shù)在-1，這一點(diǎn)為極小值點(diǎn)，又因?yàn)楹瘮?shù)有且僅有這一個(gè)極值點(diǎn)，所以該函數(shù)的最小值是4。明確極小值點(diǎn)以后，我們就可以用單調(diào)函數(shù)的定義證明，函數(shù)在（-∞，-1）上單調(diào)遞減，函數(shù)在[1，∞），單調(diào)遞增。同樣我們也可以用這種方法確定正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

三、求導(dǎo)和導(dǎo)函數(shù)應(yīng)用的局限性

雖然說(shuō)求導(dǎo)和導(dǎo)函數(shù)知識(shí)在解決高中函數(shù)問(wèn)題，特別是就極大值和極小值或者是單調(diào)區(qū)間而言，優(yōu)勢(shì)相對(duì)于傳統(tǒng)方法來(lái)說(shuō)比較明顯，但是并不是每一個(gè)題目都可以用求導(dǎo)或者是導(dǎo)函數(shù)知識(shí)去解決。求導(dǎo)和導(dǎo)函數(shù)知識(shí)并不萬(wàn)能的，它自身也具有一定的局限性。對(duì)于一元函數(shù)來(lái)說(shuō)，如果想對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，就必須保證原函數(shù)是連續(xù)的，不是連續(xù)的函數(shù)是無(wú)法對(duì)其求導(dǎo)數(shù)的。通過(guò)閱讀數(shù)學(xué)分析教材我們可以了解到，一元函數(shù)可微一定可導(dǎo)，一元函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但是連續(xù)的一元函數(shù)不一定可導(dǎo)（可微）[2]。所以言簡(jiǎn)意賅的講，若想要用求導(dǎo)和導(dǎo)函數(shù)解決高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)問(wèn)題，必須保證此函數(shù)可導(dǎo)。

四、結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)知識(shí)體系的邏輯性相當(dāng)強(qiáng)，如何用好數(shù)學(xué)知識(shí)需要長(zhǎng)時(shí)間的學(xué)習(xí)和實(shí)踐，并且注重積累。只有這樣才能夠完全的掌握數(shù)學(xué)知識(shí)體系的精髓，在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的時(shí)候才能得心應(yīng)手。

參考文獻(xiàn)：

[1]Α.Я.辛欽.數(shù)學(xué)分析八講[M].人民郵電出版社，2010.

[2]陳紀(jì)修.數(shù)學(xué)分析[M].高等教育出版社，2006.

（作者簡(jiǎn)介：劉彥君，沈陽(yáng)市第二中學(xué)，高中學(xué)歷，研究方向：數(shù)學(xué)。）