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    恒餾出液組成常規(guī)間歇精餾過程模擬的數(shù)值計算誤差

    2022-05-05 02:52:38王為國羅旌崧覃遠航王存文趙子傲
    武漢工程大學學報 2022年2期
    關鍵詞:外推法計算誤差汽化

    曾 真,王為國,羅旌崧,覃遠航,王存文,趙子傲

    1.武漢工程大學機電工程學院,湖北 武漢 430205;2.武漢工程大學化工與制藥學院,教育部綠色化學過程教育部重點實驗室(武漢工程大學);湖北省新型反應器與綠色化學工藝重點實驗室(武漢工程大學),湖北 武漢 430205

    模擬是研究間歇精餾過程的重要方法。1902年,Rayleigh首先將數(shù)學引入間歇精餾過程的模擬研究,并提出了著名的Rayleigh方程。Rose等[1],Huckaba等[2],Distefano[3-4],Gallun等[5],Sadotomo和Miyahara[6],Cho和Joseph[7]等均對間歇精餾過程的物理模型和計算方法進行了研究,并得到有價值的結果。Galindez等[8]提出了模擬間歇精餾過程的擬穩(wěn)態(tài)法。在化學工程單元操作教程中[9-10],二元間歇精餾過程的物系及過程條件均被理想化,即,其物理模型簡化為理想模型。近年來,課題組基于理想模型的模擬(計算)結果,對常規(guī)[11-13]、全回流[14-16]和提餾[17-18]等間歇精餾過程的基礎理論進行了研究。模擬實際間歇精餾過程時,常用實驗結果來檢驗模擬結果的合理性及優(yōu)劣。模擬結果與實驗結果之間的偏差來源于物理模型誤差和數(shù)值計算誤差,基于理想模型的模擬(計算)結果,難以用實驗方法驗證其優(yōu)劣。非穩(wěn)態(tài)間歇精餾過程離散后進行數(shù)值計算,截斷誤差和舍入誤差是其固有誤差。擬穩(wěn)態(tài)法模擬理想條件下恒餾出物組成(恒頂濃)操作常規(guī)二元間歇精餾過程,計算過程總汽化量的程序為嵌套控制結構,即總汽化量的數(shù)值結果中含有中間變量計算誤差的傳播誤差,即,其數(shù)值計算結果的誤差為截斷誤差、舍入誤差和傳播誤差的耦合。由于舍入誤差和傳播誤差是隨機的,對于給定的分離任務,當理論板數(shù)有限時,根據(jù)大數(shù)定律[19],通過對截斷誤差可以忽略且足夠多不同步長(或過程離散段數(shù))的數(shù)值計算結果進行算術平均,可計算出與總汽化量真實值充分接近的數(shù)值,從而近似計算出總汽化量數(shù)值計算結果誤差。顯然,要近似計算出誤差,必須先找出什么條件下截斷誤差可以忽略。Richardson外推法[20]是估計數(shù)值計算結果截斷誤差的常用方法,當隨機的舍入誤差和傳播誤差在誤差中顯著呈現(xiàn)時,直接用Richardson外推法估計總汽化量數(shù)值結果的截斷誤差,估計結果的穩(wěn)定性較差,表明估計結果的準確性較差。本文將大數(shù)定律與Richardson外推法有機結合,提出通過擬合多組總汽化量的數(shù)值計算結果與對應的過程離散數(shù),計算Richardson外推法誤差系數(shù)的擬合法,有效地降低了(或消除)隨機誤差(舍入誤差和傳播誤差)對計算誤差系數(shù)的影響,提高了Richardson外推法估計總汽化量數(shù)值結果截斷誤差的準確(穩(wěn)定)性,對完善間歇精餾過程的模擬技術有意義。

    1 的數(shù)值計算方法

    1.1 基本方程

    假定常規(guī)二元間歇精餾過程的理想條件如下:(1)二元混合物是理想的混合物,相對揮發(fā)度視為常數(shù)。(2)塔內(nèi)汽相和液相流動為恒摩爾溢流。(3)每一板塊均為理論板。(4)再沸器相當于一板理論塔板數(shù)。(5)忽略理論板上的持液量和持汽量。(6)塔頂冷凝器中的汽相完全冷凝。(7)忽略塔頂?shù)某忠毫亢统制俊@硐霔l件下,常規(guī)二元間歇精餾過程的基本公式如下:

    (1)相平衡方程

    式(1)中,x為液相中輕組分摩爾分數(shù),y為汽相中輕組分摩爾分數(shù),α為相對揮發(fā)度。

    (2)微分物料衡算方程

    式(2)和式(3)中,nD為瞬間的餾出物總量(kmol),nW為再沸器內(nèi)瞬時液相量(kmol),xD為餾出物中輕組分的瞬時摩爾分數(shù),xW為再沸器內(nèi)液相中輕組分的瞬時摩爾分數(shù)。

    (3)操作線方程

    式(4)中,j為個理論塔板序號,右下角標j為第j理論塔板的物理量,R為回流比。

    (4)一批物料的物料衡算方程

    在式(5)-式(7)之中,nF為一批物料的原料總量(kmol),nDe為一批物料的塔頂產(chǎn)品量(kmol),nWe為一批物料的塔底產(chǎn)品量(kmol),xDP為塔頂產(chǎn)品量中輕組分的摩爾分數(shù),xWe為塔底的產(chǎn)品量中輕組分的摩爾分數(shù)。η為塔頂產(chǎn)品量中輕組分的收率。

    (5)一批物料的總汽化量

    式(8)中,nVT為一批物料的總汽化量(kmol)

    1.2 離散方程

    常規(guī)二元間歇精餾過程是非穩(wěn)態(tài)過程。選擇xW為自變量,將由xF變?yōu)閤We的xW等段長離散為k段得離散方程如下:

    式(9)-式(11)中,k數(shù)值計算時過程的離散段數(shù),ΔxW為xW的離散步長,i為離散段序號,右下角標i為第i離散段的物理量,上標“—”為一個離散段物理量的平均。

    對每一離散段物料衡算得

    式(12)和式(13)中,nD,i為從開始到第i個離散段結束的餾出物總量(kmol),ΔnD,i為第i個離散段的餾出液量(kmol)。對于恒餾出物組成操作,式(12)中的=xDP(i=1,2,…,k)。

    由式(8)得

    1.3 數(shù)值計算的編程步驟

    擬穩(wěn)態(tài)法模擬理想條件下恒餾出物組成操作常規(guī)二元間歇精餾過程,數(shù)值計算的編程步驟如下:

    Step1:輸入:α、nF、xF、η、xDP、N+1、k和e;

    Step3:由 式(9)、(10)和(11)計 算ΔxW,xW,i(i=0,1,…,k)和(i=1,2,…,k);

    Step4:由子程序計算Ri(i=1,2,…,k);

    Step7:輸出計算結果。

    主程序中N+1為理論塔板數(shù)(包括再沸器),e為數(shù)值計算時Ri(i=1,2,…k)規(guī)定的收斂精度。

    本文將由上述步驟編制的計算程序稱為主程序。主程序步驟Step4是使用子程序計算Ri。在子程序中,Ri是采用二分法[21]迭代計算。子程序編程步驟如下:

    Step1:由主程序輸入:α、N+1、i、xDP和e;

    Step2:t=0,賦Ri的初始搜索區(qū)間[R(0)i,a,R(0)i,b];

    ①R(t)i達到收斂精度(ε(t)i≤e),轉到Step6;

    ②R(it)未達到收斂精度(ε(it)>e),當時,和,當時,和,轉到Step3;

    Step6:Ri=R(t)i,回主程序。

    子程序中,t為數(shù)值計算過程中子程序的迭代次數(shù),右上角標(t)為數(shù)值計算過程中子程序第t次迭代的物理量,εi為Ri(i=1,2,…k)數(shù)值計算結果的相對殘差。

    1.4 計算程序驗證

    由文獻[22]可知,在理想條件下,當N+1→∞時可由式(15)解析計算。

    式(15)中,右上角標(∞)為N+1→∞時的物理量。

    對于給定的分離任務,隨著N+1增大,向漸近。為了驗證計算程序,給定的分離任務Ⅰ(α=2.500 000 ,xF=0.400000 0,η=0.900 000 0,xDP=0.960 000 0)和分離任務Ⅱ(α=2.500 000 ,xF=0.700 000 0,η=0.800 000 0,xDP=0.9000000)。對于分離任務Ⅰ,由式(5)、(6)和(7)得xWe=0.064 000 0,由 式(15)得=1.486 198[右上角標(a)為解析計算結果]。對于分離任務Ⅱ,由式(5)、(6)和(7)得xWe=0.370 5882,由式(15)得1.013255。

    圖1顯示,對于2個分離任務,隨著N+1增大[右上角標(n)為數(shù)值計算結果]均向=1.013255漸近,表明的計算程序是正確的。本文中稱上述驗證計算程序的方法為漸近法。

    圖1 理論塔板數(shù)對總汽化量的影響:(a)分離任務Ⅰ,(b)分離任務ⅡFig.1 Effect of number of theoretical plates on total vaporization:(a)separation task I,(b)separation task II

    1.5 的數(shù)值計算方法

    文獻[12]中圖1顯示,對于常規(guī)二元間歇精餾過程,當N+1→∞時,x(∞)D可表示為:

    在 式(16)中,R(∞)C=1/[(α-1)xW],為N+1→∞時,塔頂和塔底同時為恒濃度區(qū)的回流比。

    在恒餾出物組成操作常規(guī)二元間歇精餾過程中,xD=xDP≤1,R≤R(∞)C。因此,當N+1→∞時,其瞬時回流比為

    過程離散化后,由式(17)得到每一離散段的回流比為:

    圖2 過程的離散段數(shù)與總汽化量數(shù)值計算結果的關系:(a)分離任務Ⅰ,(b)分離任務ⅡFig.2 Relationship between number of discrete segments of process and numerical calculation results of total vaporization:(a)separation task I,(b)separation task II

    2 [](n)的計算誤差分析

    非穩(wěn)態(tài)間歇精餾過程離散后進行數(shù)值計算,截斷誤差Et和舍入誤差Er是其固有誤差。擬穩(wěn)態(tài)法模擬理想條件下恒餾出物組成操作常規(guī)二元間歇精餾過程,數(shù)值計算的程序為嵌套控制結構,在的誤差E中,應包括來自R(n)i(i=1,2,…k)計算誤差的傳播誤差Ep,則

    式(19)中,E為的 誤 差,Er為的舍入誤差,Et為的截斷誤差,Ep為來源于R(n)i(i=1,2,…k)數(shù)值計算誤差傳播引起的計算誤差(傳播誤差)。

    2.1 [](n)的誤差E

    對于一定分離任務,當N+1→∞時,可由式(15)解析計算,誤差E可由式(19)計算。當N+1有限時,不能準確計算出的真實值,因此,不能直接由式(19)計算準確計算出的誤差E(n)。由于Er與Ep是隨機的,當截斷誤差Et很小,可以忽略時,根據(jù)大數(shù)定律[19],通過對足夠多不同步長(或過程離散段數(shù))的進行算術平均,可數(shù)值計算出與充分接近的數(shù)值從而近似計算出與總汽化量數(shù)值計算結果的E(n)真實值充分接近的數(shù)值。舉例驗證和應用如下:

    (1)對于分離任務I,N+1→∞時,由圖2(a)可見,k≥1 000,圍繞波動,表示截斷誤差很小,可以忽略。由圖4(a)可見,C(∞),(f)k=0.389 4[右上角標(f)為擬合計算結 果]。k=1 000時,由 式(24)可 得,E(∞)t≈E(∞),(f)t=3.894×10-7。k=1 000-2 000時 ,,本文使用的計算軟件是32 bit系統(tǒng),數(shù)值計算結果為7位有效數(shù)),當N+1→∞和k=100時,數(shù)值計算 得,=1.486159,則,由 式(19)得則 其 相 對 誤 差

    (2)對于分離任務Ⅱ,N+1→∞時,由圖2(b)可見,k≥1 000,圍繞波動,表示截斷誤差很小,可以忽略。由圖4(b)可見,C(∞),(f)k=-0.111 1。k=1 000時,由式(24)可得,E(∞)t≈E(∞),(f)t=-1.111×10-7。由 圖2(b)可見 ,k=1 000-2 000時 ,1.013255=。當N+1→∞和k=100時,=1.013266,則,由 式(19)得=-1.1×10-5。則 其 相 對 誤 差

    (3)對于分離任務I,當N+1=13和e=10-7時,由圖3(a)可見,k≥1000,圍繞波動,表示截斷誤差很小,可以忽略。由圖5(a)可見,C(f)k=0.3930。則,k=1000時,由 式(24)可 得,E(n)t≈E(f)t=3.930×10-7。k=1000-2 000 時 ,1.496 075。當N+1=13、e=10-7和k=100時,數(shù)值得,=1.496 035,由式(19)得,E(n)≈=4.0×10-5。相對誤差2.7×10-5。

    (4)對于分離任務Ⅱ,當N+1=8和e=10-7時,由圖3(b)可見,k≥1000,圍繞波動,表示截斷誤差很小,可以忽略。由圖5(b)可見,C(f)k=-0.112 6。則,k=1000時,由式(24)可得,E(n)t≈E(f)t=-1.126×10-7。k=1000-2000時,1.021 851。當N+1=8、e=10-7和k=100時,數(shù)值計算得,=1.021862,由式(19)得,E(n)≈=-1.1×10-5。則其相對誤差

    圖3 總汽化量數(shù)值計算結果與過程離散段數(shù)的關系(a)分離任務Ⅰ,(b)分離任務ⅡFig.3 Relationship between numerical calculation results of total vaporization and number of discrete segments of process:(a)separation task I,(b)separation task II

    例(1)和(2)為驗證,例(3)和(4)為應用,因此,在截斷誤差可以忽略的條件下,可根據(jù)大數(shù)定律,對總汽化量數(shù)值計算結果的誤差進行定量描述,可為“模擬間歇精餾過程的數(shù)值計算誤差非常小”提供的定量證據(jù)。

    2.2 [n VT n F](n)的傳播誤差Ep

    由式(14)可見,R(n)i(i=1,2,…k)的計算誤差可 直 接 傳 播 到。 當εi=0(i=1,2,……,k)時,Ep=0。設R(ε=0)i(i=1,2,…,k)和為 對 應 于εi=0(i=1,2,……,k)的數(shù)值計算結果。由式(14)和(19)可得

    式(21)代入(20)得

    2.3 [](n)的舍入誤差E r

    當k不是非常大時,Er很小,可以忽略。在數(shù)學上,舍入誤差量化估計是仍然需要研究的問題,基于本文數(shù)值計算結果,和的舍入誤差量化估計舉例如下:

    (1)當N+1→∞時,R(∞)i由式(18)解析計算,因 此,的 總 計 算 誤 差E(∞),(n)中,E(∞),(n)p=0。對于分離任務I,由圖2(a)可見,k=1000-2 000范圍內(nèi),k=1 900時,|E(∞),(n)|最大。當k=1 900時,數(shù) 值 計 算 得1.486 201,由式(19)得,|E(∞),(n)|=3×10-6。由圖4(a)可 見,=0.389 4,由 式(24)可 得,由 式 (19) 可 得。假定舍入誤差正比于離散段數(shù),則,k=100時, ||E(∞),(n)rmax在10-7數(shù)量級。

    (2)對于分離任務I,當N+1=13和e=10-7時,k=1000-2 000范圍內(nèi),k=1000時,||最大。當k=1000時,數(shù)值計算得1.496 072,由式(19)得。由圖5(a)可 見 ,C(f)k=0.3930,由 式(24)可 得 ,=3.930×10-7,由式(22)得,|Ep|max=1.121×10-7,由式(19)可得≈4×10-6。假定舍入誤差正比于離散段數(shù),則,k=100時在10-7數(shù)量級。

    2.4 [n VT n F](n)的截斷誤差Et

    由圖2和圖3可見,對于兩個分離任務,當k較小時和是的單調(diào)函數(shù),表明截斷誤差Et在計算誤差E中占主導地位,當k較大時和不再是的單調(diào)函數(shù),表明截斷誤差不再占主導地位,隨機的舍入誤差和傳播誤差在誤差中顯著呈現(xiàn),當k很大時,圍繞波動圍繞波動,表示截斷誤差不顯著呈現(xiàn)。

    2.4.1 擬合法計算Richardson外推法誤差系數(shù)的提出Richardson外推法是一種常用的截斷誤差估計方法[20],Richardson外推法是利用Taylor級數(shù)進行分析,用于截斷誤差估計時,在漸近線范圍內(nèi)常常只保留冪級數(shù)的首項。即

    在式(23)中,C是與ΔxW無關的常數(shù),O是高階無窮小,p為計算方法的收斂精度階,是Taylor級數(shù)首項的冪,一般為正整數(shù)。離散步長與離散段數(shù)成反比,因此,可以將式(23)變?yōu)?/p>

    式(24)中,Ck為計算截斷誤差的系數(shù)(本文簡稱誤差系數(shù))。由式(24)可見,略去式(24)中高階無窮小,如果確定了p和Ck,可計算出Et與k的數(shù)值關系。將式(24)代入式(19)得

    對于兩個分離任務,當e=10-7和k=100時,由2.3可知在10-7數(shù)量級,由2.2可知,在10-7數(shù)量級。結合由圖2、圖3與式(25)可 得,當k=100時,|E|>> |Ep|和 |E|>> |Er|Et≈E。由式(24)與(25)可見,忽略高階無窮小Ok、舍入誤差和傳播誤差的影響,當N+1→∞時,可 由 式(15)解 析 計 算,由 兩 組和相應的k可確定p和C(∞)k。當N+1有限時,僅能計算出與真實值充分接近的數(shù)值在未知情況下,由三組和相應的k可確定p和Ck。

    當隨機的舍入誤差和傳播誤差在誤差中顯著呈現(xiàn),忽略舍入誤差和傳播誤差的影響,直接由式(25)計算誤差系數(shù)Ck,計算結果的穩(wěn)定較差,即,直接用Richardson外推法估計總汽化量數(shù)值結果的截斷誤差,估計結果的穩(wěn)定性較差。目前,在數(shù)學上,提高估計截斷誤差準確(穩(wěn)定)性的方法是保留Taylor級數(shù)更多項數(shù)(采用更多組不同步長的數(shù)值計算結果),課題組前期研究表明,計算誤差系數(shù)方法是解線性方程組,保留項數(shù)越多,計算過程越復雜,即保留項數(shù)是有限的,而有限項保留不能顯著地提高截斷誤差估計結果的穩(wěn)定性。根據(jù)的大數(shù)定律,本文認為擬合足夠多組和相應的k來計算Richardson外推法的Ck,可以有效地降低(或消除)Er和Ep對計算Ck的影響,可較為準確地估計Et。

    2.4.2 擬合法計算Richardson外推法誤差系數(shù)Ck的驗證數(shù)值計算方法的收斂精度階p為Taylor級數(shù)首項的冪,一般為整數(shù)。在擬合和對應的k前,對p進行整數(shù)預設,擬合過程和結果可在Microsoft Excel電子表格上呈現(xiàn)。如果預設的p正確,擬合估計法合理,在 |E|>> |Ep|和條件下,由式(25)可見與k-p必定呈良好的線性關系(Microsoft Excel電子表格擬合的線性相關系數(shù)接近1),由式(19)和(24)可見必定成立。

    由圖4可見,對于2個分離任務,當k=40-150時,采用Microsoft Excel電子表格擬合和k-2的線性相關系數(shù)均接近1,表明擬穩(wěn)態(tài)法數(shù)值計算具有二階收斂精度。

    對于兩個分離任務,E(∞),(n)p=0,由2.3可知,k=100時在10-7數(shù)量級。對于分離任務I,當N+1→∞和k=100時,由圖2(a)可見,E(∞),(n)=3.9×10-5,即 ,和因此,≈3.9×10-5。由圖 4(a)可 見 ,C(∞),(f)k=0.389 4,則 ,。對 于 分 離 任 務Ⅱ,當N+1→∞和k=100時,由圖2(b)可見,E(∞),(n)=-1.1×10-5,即和因 此≈-1.1×10-5。由圖4(b)可見,C(∞),(f)k=0.111 1,則1.01。因此,當N+1→∞時,擬合法計算Richardson外推法的誤差系數(shù)C(∞),(f)k,可較為準確地定量估計E(∞)t。

    圖4 采用Microsoft Excel電子表格擬合總汽化量數(shù)值計算結果與過程離散段數(shù):(a)分離任務Ⅰ,(b)分離任務ⅡFig.4 Fitting of numerical calculation results of total vaporization and number of discrete segments of process by using Microsoft Excel spreadsheet:(a)separation task I,(b)separation task II

    對于兩個分離任務,當e=10-7和k=100時,由2.3可知在10-7數(shù)量級,由2.2可知,在10-7數(shù)量級。對于分離任務I,當N+1=13、e=10-7和k=100時,10-5,即,和,因 此,E(n)t≈4.0×10-5。由圖5(a)可見,當N+1=13時,C(f)k=0.3930,C(f)kk-2=3.930×10-5,即,≈0.98。對于分離任務Ⅱ,當N+1=8、e=10-7和k=100時,E(n)≈=-1.1×10-5,即 ,和,因 此 ,E(n)t≈-1.1×10-5。由圖5(b)可見,當N+1=8時,C(f)k=-0.112 6,C(f)k k-2=-1.126×10-5,即,≈1.02。因此,擬合法計算截斷誤差Richardson外推法的誤差系數(shù)Ck,可較為準確地定量估計Et。

    此外,對于分離任務Ⅱ,由圖5(b)可見,N+1=8時C(f)k是負值,由圖5(c)可見,N+1=3時C(f)k是正值,表明Et的方向有可以隨N+1變化。

    圖5 采用Microsoft Excel電子表格擬合總汽化量數(shù)值計算結果與過程離散段數(shù)示例:(a)分離任務Ⅰ,N+1=13,(b)分離任務Ⅱ,N+1=8,(c)分離任務Ⅱ,N+1=3Fig.5 Examples of fitting of numerical calculation results of total vaporization and number of discrete segments of process by using Microsoft Excel spreadsheet:(a)N+1=13 for separation taskⅠ,(b)N+1=8 for separation taskⅡ,(c)N+1=3 for separation taskⅡ

    2.4.3 擬合法計算Richardson外推法誤差系數(shù)Ck的應用舉例對于恒餾出物組成操作常規(guī)二元間歇精餾,由Fenske方程[22]知,過程結束時所需的最少理論達到其最大值,此最大值為所需的最少理論塔板數(shù),即

    由式(26),對于分離任務Ⅰ,Nmin+1=6.260899,對于分離任務Ⅱ,Nmin+1=2.976041。

    圖6顯示N+1對C(f)k的影響。對于分離任務Ⅰ,當N+1=7時,C(f)k=3.321 2(未示出),對于分離任務Ⅱ,當N+1=3時,C(f)k=42.049,[未示出,見圖5(c)]。由圖6可見,對于兩個分離任務,①當N+1≥2(Nmin+1)時,C(f)k≈C(∞),(f)k,表明當理論板較大(大于2倍所需的最少理論板)時,Et與相同過程離散段數(shù)的E(∞)t相當。②當N+1≥3(Nmin+1)時,C(f)k圍繞C(∞),(f)k波動,表明有限組和k擬合,隨機的Er和Ep對擬合結果仍有影響。

    圖6 理論塔板數(shù)對誤差系數(shù)的影響(a)分離任務Ⅰ,(b)分離任務ⅡFig.6 Effect of number of theoretical plates on error coefficient:(a)separation taskⅠ,(b)separation taskⅡ

    3 結 論

    (1)根據(jù)大數(shù)定律,提出了N+1有限時,誤差的近似計算方法,并舉例驗證和應用。誤差的近似計算方法為:在的截斷誤差可以忽略的條件下,通過對足夠多不同步長(或過程離散進行算術平均,計算出與真實值充分接近的數(shù)值再由式(19)計算出與誤差真實值充分接近的數(shù)值。

    (2)根據(jù)大數(shù)定律,提出了采用擬合法計算Richardson外推法的誤差系數(shù)Ck。擬合法通過擬合足夠多組和對應的k計算Ck,有效降低了(或消除)隨機誤差(舍入誤差和傳播誤差)對計算Ck的影響,提高了Richardson外推法估計截斷誤差的準確(穩(wěn)定)性。通過舉例對擬合法進行驗證和應用,并得到結論如下:①擬穩(wěn)態(tài)法模擬理想條件下,恒餾出物組成操作常規(guī)二元間歇精餾過程,具有二階收斂精度。②擬合法計算Ck時,對p進行整數(shù)預設,擬合過程和結果可在Microsoft Excel電子表格上呈現(xiàn)。

    (3)通過舉例,對模擬理想條件下恒餾出物組成操作常規(guī)二元間歇精餾過程的和的數(shù)值計算結果的截斷誤差進行討論,得到結論如下:當N+1≥2(Nmin+1)時,C(f)k≈C(∞),(f)k,表明當理論板較大(大于2倍所需的最少理論板)時,Et與相同過程離散段數(shù)的E(∞)t相當。

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