從線(xiàn)段到向量

張碩

摘要：本文首先由最基本的數(shù)學(xué)幾何與代數(shù)知識(shí)出發(fā)，一步步引出維度理論，闡述數(shù)學(xué)中維度理論的本質(zhì)在于研究用于描述特定對(duì)象的獨(dú)立參數(shù)。接著進(jìn)一步論述了獨(dú)立參數(shù)的作用和選取原則，并結(jié)合高中數(shù)學(xué)中的知識(shí)，做多方面的闡述。最后對(duì)維度理論在高中階段的應(yīng)用意義做了探討。

關(guān)鍵詞：向量；維度；獨(dú)立參數(shù)

一、概念引入

1、點(diǎn)、線(xiàn)、面、體。從小學(xué)數(shù)學(xué)開(kāi)始，我們就學(xué)習(xí)了點(diǎn)、線(xiàn)、面、體的幾何知識(shí)，這可以看作維度理論的入門(mén)。最常見(jiàn)的說(shuō)法是：點(diǎn)代表零維，線(xiàn)代表一維，面代表二維，體代表三維。區(qū)別幾種維度的依據(jù)在于確定一個(gè)點(diǎn)所需的坐標(biāo)個(gè)數(shù)，在直線(xiàn)上確定一點(diǎn)需要一個(gè)坐標(biāo)值，在平面上確定一個(gè)點(diǎn)需要兩個(gè)坐標(biāo)值，在空間中確定一個(gè)點(diǎn)則需要三個(gè)坐標(biāo)值[1]。

2、標(biāo)量與矢量。坐標(biāo)的概念很容易理解，但在小學(xué)階段沒(méi)有明確指出不同坐標(biāo)個(gè)數(shù)所代表意義的差異，平面上的點(diǎn)和空間里的點(diǎn)并沒(méi)有什么不同。進(jìn)入中學(xué)之后，引入了標(biāo)量與向量的概念，線(xiàn)段屬于標(biāo)量，只有長(zhǎng)度，而向量除了長(zhǎng)度還有方向。這里的“長(zhǎng)度”和“方向”即為描述某一對(duì)象的“參數(shù)”，當(dāng)加入“方向”這一參數(shù)后，向量的運(yùn)算法則與線(xiàn)段有了顯著的不同。可以試想，越多的參數(shù)意味著將對(duì)象描述得更豐富，但處理起來(lái)也更復(fù)雜，維度理論的面貌此時(shí)已逐漸浮出水面[2]。

3、獨(dú)立參數(shù)。通俗來(lái)說(shuō)，所謂維度，就是指描述一個(gè)對(duì)象所需要的不同指標(biāo)的個(gè)數(shù)，比如用身高、體重、年齡來(lái)描述一個(gè)人。而在數(shù)學(xué)上，這些“指標(biāo)”稱(chēng)之為“參數(shù)”，為了方便進(jìn)一步的研究，不同參數(shù)需要相互獨(dú)立，否則在表達(dá)和計(jì)算時(shí)會(huì)變得復(fù)雜，這也就解釋了為什么最常用的坐標(biāo)系是直角坐標(biāo)系。同時(shí)需要說(shuō)明的是，描述同一對(duì)象的特征參數(shù)可以選取不同的組合，比如用起點(diǎn)和終點(diǎn)的x，y坐標(biāo)可以描述一個(gè)向量，用長(zhǎng)度和方向也可以描述一個(gè)向量[3]。

二、思維剖析

1、參數(shù)的作用。參數(shù)的作用在于描述對(duì)象，引入更多的維度即更多數(shù)目的獨(dú)立參數(shù)，可以將對(duì)象描述得更完整。以向量為例，加入方向后運(yùn)算法則出現(xiàn)變化，向量的加減不再是簡(jiǎn)單地?cái)?shù)量上的和與差，而是需要根據(jù)角度關(guān)系進(jìn)行“合成”；同時(shí)，在乘積運(yùn)算上，出現(xiàn)了數(shù)量積和向量積的區(qū)別，運(yùn)算的結(jié)果分別是一個(gè)數(shù)和一個(gè)向量。由此可見(jiàn)維度的增加使得對(duì)描述對(duì)象的性質(zhì)研究得到擴(kuò)展。這種變化在數(shù)學(xué)中比較抽象，不容易看出其意義。但結(jié)合物理上的力的合成與速度的合成，則可以很容易地理解，如果沒(méi)有“方向”這一參數(shù)，那么不可能有進(jìn)一步的分析，只能簡(jiǎn)單地研究方向相同的力與速度[4]。

2、參數(shù)的選取。前文說(shuō)過(guò)，描述對(duì)象的參數(shù)可以有不同的組合，而參數(shù)選取的依據(jù)在于實(shí)際問(wèn)題的需要。比如在平面中研究問(wèn)題，同樣是二維的情況，但可以選擇不同的坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系，一般直角坐標(biāo)系用得多，但在涉及到圓或強(qiáng)調(diào)方向的場(chǎng)合（比如導(dǎo)航），則用極坐標(biāo)系更加簡(jiǎn)便[5]。

3、實(shí)例分析。在高中階段對(duì)維度理論并沒(méi)有深入系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，這里僅從側(cè)面來(lái)說(shuō)明維度理論。對(duì)于一些常見(jiàn)的數(shù)學(xué)知識(shí)，如果從維度理論的角度來(lái)看，會(huì)有意向不到的結(jié)果。

（1）復(fù)數(shù)理論。數(shù)，本是一個(gè)最簡(jiǎn)單的概念，在引入虛數(shù)之前，數(shù)軸上的任何一個(gè)點(diǎn)都可以用一個(gè)坐標(biāo)來(lái)表示，但引入虛數(shù)之后，實(shí)數(shù)軸成了復(fù)數(shù)平面，一個(gè)復(fù)數(shù)需要兩個(gè)坐標(biāo)才能確定。這里的點(diǎn)和坐標(biāo)之間建立了“映射”，與函數(shù)的概念相通，實(shí)數(shù)軸只有一維坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)一元函數(shù)，復(fù)數(shù)平面具有二維坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)二元函數(shù)。雖然高中階段沒(méi)有系統(tǒng)學(xué)習(xí)二元函數(shù)，但從這里已經(jīng)可以看到端倪。

（2）參數(shù)方程。參數(shù)方程的應(yīng)用是針對(duì)高中數(shù)學(xué)的一類(lèi)特殊題型，通過(guò)將普通方程化為參數(shù)方程，便可放在極坐標(biāo)系中進(jìn)行研究，以簡(jiǎn)化運(yùn)算。這種變換是對(duì)維度理論的靈活運(yùn)用，通過(guò)調(diào)整獨(dú)立參數(shù)的選擇來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題。

（3）線(xiàn)性規(guī)劃。在高中階段，線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題實(shí)際上是線(xiàn)性二元函數(shù)求極值的問(wèn)題，暫時(shí)只能通過(guò)圖像法來(lái)解決。一元函數(shù)求極值通常需要用導(dǎo)數(shù)，從這一點(diǎn)進(jìn)行推想，二元以至多元函數(shù)應(yīng)當(dāng)也有導(dǎo)數(shù)的求法，但由于維度增加了，其算法也更復(fù)雜。

（4）多維理論初探。受限于高中所學(xué)知識(shí)，對(duì)多維理論無(wú)法詳細(xì)論述，這里只闡述一個(gè)思想：如果能從一維升到二維，二維升到三維，那么必然有四維、五維以至更高維，哪怕此時(shí)難以找到對(duì)應(yīng)的形象來(lái)描述這種維度。這種由此及彼、類(lèi)推擴(kuò)展的思想也是維度理論的一部分。

三、應(yīng)用意義

1、指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。維度理論代表的是一種思想，一種參數(shù)化的分析思想。掌握一定的數(shù)學(xué)思想有助于將不同的知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通，并且這種系統(tǒng)化的分析方法有助于數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練。

2、與其他領(lǐng)域結(jié)合。數(shù)學(xué)與物理學(xué)的聯(lián)系非常緊密，沒(méi)有數(shù)學(xué)理論做基礎(chǔ)，物理學(xué)就缺乏基本的研究工具。正如前文所說(shuō)，沒(méi)有向量運(yùn)算法則，就沒(méi)有速度合成定理。物理學(xué)中對(duì)維度的描述與數(shù)學(xué)有所不同，但本質(zhì)是一樣的，三維空間加上時(shí)間維度構(gòu)成四維空間，新的物理理論提出描述宇宙四維也是不夠的，需要更高維度，這些維度實(shí)際上都是描述“世界”的“參數(shù)”。

數(shù)學(xué)向下走是物理學(xué)，向上走是哲學(xué)。參數(shù)意味著表達(dá)某種特征，在哲學(xué)上可以理解為表象與本質(zhì)之間的聯(lián)系，而不同參數(shù)間的關(guān)系又反映了普遍聯(lián)系的哲學(xué)思想。

四、結(jié)語(yǔ)

從小學(xué)到高中，維度理論以較為零散的形式出現(xiàn)在不同的知識(shí)點(diǎn)中。本文總結(jié)了其中的規(guī)律性，從普通高中生的視角對(duì)其做了系統(tǒng)性地梳理，從一些常見(jiàn)的知識(shí)點(diǎn)中進(jìn)行挖掘，找出其潛在聯(lián)系。本文所涉及的知識(shí)并不深?yuàn)W，但對(duì)于掌握這一數(shù)學(xué)思想有著比較好的啟發(fā)作用。

參考文獻(xiàn)

[1] 姚龍濤.淺談中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的空間想象力[J].科學(xué)咨詢(xún)，2011（9）：124.

[2] 陳燕梅.淺談想象力在語(yǔ)文教學(xué)中的重要性[J].讀與寫(xiě)（教育教學(xué)刊），2015（08）：205.

[3] 馬兆富.淺談怎樣學(xué)好高中數(shù)學(xué)[J].試題與研究：新課程論壇，2011（14）：24.

[4] 凌秋芬.淺談怎樣學(xué)好高中數(shù)學(xué)[J].神州（下旬刊），2012（4）：219-220.

[5] 朱立明，馬云鵬.“數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)”研究：內(nèi)涵與維度[J].教育理論與實(shí)踐，2015，v.35；No.559（32）：8-10.endprint