整體換元法在解題中的應(yīng)用

陳卓序

摘要：數(shù)學(xué)是高中課程中的重要學(xué)科，數(shù)學(xué)作為一門(mén)邏輯思維很強(qiáng)的學(xué)科，在解題方法與解題步驟中，往往需要借助許多方法。其中，整體換元法是解答數(shù)學(xué)題的重要方法，整體換元法在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中有著十分廣泛而全面的應(yīng)用。本文立足于整體換元法的相關(guān)概念及理論，淺述整體換元法在解題中的應(yīng)用，為數(shù)學(xué)這一學(xué)科的學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)習(xí)題的解答提供更加科學(xué)有效的方法。

關(guān)鍵詞：整體換元法；數(shù)學(xué)；解題；應(yīng)用

一、整體換元法概述

1、整體換元法的概念。換元法是數(shù)學(xué)學(xué)科中的一個(gè)重要解題方法，它是指在解題過(guò)程中，將幾個(gè)變量或者一個(gè)關(guān)系式用一個(gè)新的變量表示出來(lái)，化繁為簡(jiǎn)。其中，整體換元法是換元法中的重要類(lèi)型，是指將幾個(gè)變量關(guān)系或者一個(gè)復(fù)雜的關(guān)系式用一個(gè)新的變量表示出來(lái)，從而將一些復(fù)雜的關(guān)系式簡(jiǎn)便化，也將一些有關(guān)聯(lián)的變量聯(lián)系起來(lái)[1]。

2、整體換元法的意義。首先，從運(yùn)算過(guò)程來(lái)講，整體換元法的意義在于，簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，有利于運(yùn)算過(guò)程的簡(jiǎn)便化[2]。在解題過(guò)程中，有些復(fù)雜的關(guān)系式在計(jì)算和書(shū)寫(xiě)的過(guò)程中，十分繁瑣困難，如果運(yùn)用整體換元法，設(shè)一個(gè)新的變量，用該變量表示關(guān)系式，就能使得運(yùn)算過(guò)程更加簡(jiǎn)便化、標(biāo)準(zhǔn)化；另一方面，從解題思路來(lái)講，整體換元法有利于將分散的、有一定聯(lián)系的變量聯(lián)結(jié)起來(lái)，有利于將復(fù)雜繁瑣的數(shù)量關(guān)系整理為較為清晰、易于思考的關(guān)系。從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，整體換元是利用新引進(jìn)的變量來(lái)等價(jià)替換原有的復(fù)雜變量，在思考與解題的過(guò)程中，始終將這些復(fù)雜變量當(dāng)成一個(gè)整體，有利于思維的擴(kuò)展與變量間關(guān)系的梳理[3]。

二、整體換元的類(lèi)別

整體換元有許多類(lèi)別，在高中數(shù)學(xué)的解題過(guò)程中，整體換元思想也有著十分廣泛且深入的應(yīng)用。這里例舉幾種高中數(shù)學(xué)課本中較為常見(jiàn)的整體換元的類(lèi)別，從而更好地研究整體換元思想，為學(xué)好高中數(shù)學(xué)理清思路。

1、局部換元。局部換元法是整體換元法的重要組成部分，它是指在一個(gè)復(fù)雜的關(guān)系式當(dāng)中，引進(jìn)一個(gè)新設(shè)變量（通常用字母表示）來(lái)代表原關(guān)系式中出現(xiàn)多次的關(guān)系式，從而簡(jiǎn)化解題過(guò)程，使得解題思路與解題過(guò)程更加簡(jiǎn)便又標(biāo)準(zhǔn)。例如，在解答不等式：4^x +2^x -2≥0時(shí)，通過(guò)對(duì)不等式的觀察之后，可以先設(shè)2^x =t（t>0），然后代入原不等式方程，就能輕松且正確地解答[4]。

2、三角換元。三角換元法在解答三角函數(shù)問(wèn)題時(shí)有著十分重要的作用。在一個(gè)三角函數(shù)問(wèn)題中，有較為復(fù)雜的根號(hào)形式，則可以引用新的變量來(lái)等價(jià)替換該根號(hào)形式的變量，或者用新的變量來(lái)等價(jià)替換滿(mǎn)足三角函數(shù)關(guān)系的變量，從而借助三角換元法進(jìn)行三角函數(shù)問(wèn)題的思考與解答。例如，當(dāng)變量x與變量y滿(mǎn)足x2+y2 =r2（r>0）時(shí)，可以設(shè)x=rcosθ、y=rsinθ，從而解答三角函數(shù)問(wèn)題。

3、均值換元。均值換元法是整體換元法中的另一種重要應(yīng)用，是指在整體換元思想中，用新的變量形式來(lái)替換原有的數(shù)量關(guān)系，使得替換前的數(shù)量關(guān)系與替換后的數(shù)量關(guān)系是等價(jià)均值的。例如，當(dāng)變量x與變量y滿(mǎn)足x+y=2S條件的時(shí)候，可以設(shè)x= S+t，則y=S-t，降低解題難度[5]。

三、整體換元法在解題中的應(yīng)用

1、因式分解。整體換元法在解答因式分解題型時(shí)最為常見(jiàn)，由于因式分解題型中，關(guān)系式較為復(fù)雜，所以整體還原法是解答因式分解題的重要方法，例如在分解因式x4-x2-3=0中，可以設(shè)y=x2，從而將因式變形為y2-y-3=0。這就是整體換元法在因式分解中的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

2、不等式。在解答不等式問(wèn)題的過(guò)程中，常常運(yùn)用整體換元法來(lái)解決復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系。例如，在一元二次不等式f（2x-3）=x2+5x-3中，通過(guò)對(duì)題目的觀察后，可以設(shè)變量t=2x-3，則原方程式可以表達(dá)為x=（t+3）/2 ，因此f（t）={（t+3）/2}2+5（t+3）/2-3。這就是整體換元法在解決不等式問(wèn)題中的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

3、用驗(yàn)證法求數(shù)列通項(xiàng)。在高中數(shù)學(xué)課本中，關(guān)于數(shù)列的問(wèn)題，多數(shù)都涉及求解數(shù)列通項(xiàng)公式的問(wèn)題。然而，許多數(shù)列中復(fù)雜的變量與關(guān)系式，會(huì)給思考與解題的過(guò)程增添許多麻煩與難度。因此，在用驗(yàn)證法求解數(shù)列通項(xiàng)時(shí)，常常會(huì)運(yùn)用整體換元的方法，將數(shù)列中復(fù)雜的關(guān)系式用一個(gè)新設(shè)變量表示，從而簡(jiǎn)化解題過(guò)程。下面以一道用驗(yàn)證法求解數(shù)列通項(xiàng)的題型為例進(jìn)行分析：

四、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，整體換元法是解答數(shù)學(xué)題中的重要方法，在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中有著十分廣泛而全面的應(yīng)用。研究整體換元法的意義在于更便捷化、標(biāo)準(zhǔn)化地解答不同類(lèi)型的數(shù)學(xué)問(wèn)題。作為高中生來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)學(xué)科是一門(mén)重要的學(xué)科，我們必須在日常的學(xué)習(xí)生活中，多思考、多練習(xí)，不斷開(kāi)拓思維，善于用不同的方法與思路解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。另一方面，我們應(yīng)該在刻苦學(xué)習(xí)的同時(shí)，善于觀察規(guī)律、總結(jié)規(guī)律，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)分析能力與邏輯能力。

參考文獻(xiàn)

[1] 施鵬飛.例談解題中應(yīng)用換元法策略[J].數(shù)理化解題研究：初中版，2010（12）：22-23.

[2] 黃慧.淺談?chuàng)Q元法及其應(yīng)用發(fā)展思維能力[J].數(shù)理化解題研究：初中版，2015（11）：15.

[3] 鄔虹萍.整體換元法幾例[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2009（11）：13-15.

[4] 羅燦，方厚良.用換元法使三角函數(shù)的學(xué)習(xí)“活”起來(lái)[J]中小學(xué)數(shù)學(xué)：高中版，2016（1）：106-107.

[5] 于志洪.三角函數(shù)換元法在代數(shù)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)大世界：教學(xué)導(dǎo)向，2000（2）：67.endprint