非對(duì)稱ERCS離散混沌系統(tǒng)及其性能分析

池宜航 李奎 陳丹妮

摘要：該文構(gòu)建了一種非對(duì)稱橢圓反射腔（ERCS）離散混沌系統(tǒng)。首先建立了非對(duì)稱ERCS系統(tǒng)的幾何模型，并對(duì)系統(tǒng)的演化進(jìn)程進(jìn)行了詳細(xì)描述。然后，對(duì)其產(chǎn)生的一維離散混沌序列的概率分布、李雅普諾夫指數(shù)等性能參數(shù)進(jìn)行了計(jì)算分析。相比標(biāo)準(zhǔn)ERCS系統(tǒng)，該文構(gòu)建的非對(duì)稱ERCS系統(tǒng)從幾何模型上不具備中心對(duì)稱結(jié)構(gòu)和上下對(duì)稱結(jié)構(gòu)，因此可從根本上克服標(biāo)準(zhǔn)ERCS系統(tǒng)中存在周期解的缺陷。

關(guān)鍵詞：非對(duì)稱，橢圓反射腔（ERCS），演化過程，概率分布，李雅普諾夫指數(shù)

中圖分類號(hào)：TP309.7? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? 文章編號(hào)：1009-3044（2018）31-0225-03

Performance Analysis of Asymmetric Elliptic Reflecting Cavity Discrete Chaotic System

CHI Yi-hang1，2，LI Kui1，2，CHEN Dan-ni3

（1. State Key Laboratory of Geo-information Engineering， Xi'an 710054， China; 2. Xi'an Research Institute of Surveying and Mapping， Xi'an 710054， China;3. 75839 Troops， Guangzhou 510000， China）

Abstract： In this work， a novel discrete chaotic system bearing the name of asymmetric elliptic reflecting cavity system（ERCS） is proposed. We first build geometric model of the asymmetric ERCS and describe the evolutionary process. Then， evolution process， probability distribution and Lyapunov exponent of the pseudo-random sequence produced by the system are calculated and analyzed. Compared with TD-ERCS for which the tangent-delay operation is dispensable， the asymmetric ERCS has similar performance， while provides a simple way to generate pseudo-random sequence.

Key words： asymmetric elliptic reflecting cavity（ERC）; evolution process; probability distribution; Lyapnov exponent

1 引言

自混沌理論出現(xiàn)以來(lái)，它就成為信息加密、保密通信等領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。在計(jì)算機(jī)信息加密領(lǐng)域，離散混沌系統(tǒng)得到了較多的應(yīng)用，典型的有Logistic映射、tent映射等，但這些離散混沌系統(tǒng)存在有密鑰空間小、序列相關(guān)性依賴系統(tǒng)參數(shù)等缺陷，仍無(wú)法滿足信息加密的需求。國(guó)內(nèi)學(xué)著盛利元等人提出了一種基于切延遲的橢圓反射腔（TD-ERCS）離散混沌系統(tǒng)[1-3]，并對(duì)其進(jìn)行了性能分析，發(fā)現(xiàn)其具有全域零相關(guān)性，即序列相關(guān)性不依賴于系統(tǒng)參數(shù)，并且密鑰空間遠(yuǎn)大于傳統(tǒng)離散混沌系統(tǒng)等優(yōu)點(diǎn)，在圖像加密等領(lǐng)域得到了較廣泛的應(yīng)用[4-8]。

TD-ERCS系統(tǒng)的幾何模型為一歸一化標(biāo)準(zhǔn)橢圓反射腔，通過射線在腔內(nèi)的反射映射來(lái)產(chǎn)生偽隨機(jī)序列。由于橢圓存在完美的中心對(duì)稱性和雙軸對(duì)稱性，因此TD-ERCS系統(tǒng)中存在內(nèi)秉的周期解，在某種程度上破壞了系統(tǒng)的偽隨機(jī)性。本文基于這一構(gòu)想，為從物理模型上打破橢圓反射腔的對(duì)稱性，構(gòu)建了一種非對(duì)稱的ERCS系統(tǒng)，并對(duì)其演化過程、概率密度分布、序列相關(guān)性等性能進(jìn)行了分析計(jì)算，發(fā)現(xiàn)其具有與TD-ERCS系統(tǒng)相近的性能，并能有效破環(huán)后者中存在的周期解。

2 非對(duì)稱橢圓反射腔模型

2.1 物理模型

非對(duì)稱橢圓反射腔的幾何結(jié)構(gòu)由兩個(gè)歸一化的標(biāo)準(zhǔn)半橢圓組成：

2.2 系統(tǒng)演化過程描述

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)ERCS離散系統(tǒng)，可用一組映射關(guān)系式來(lái)描述系統(tǒng)的演化過程。但對(duì)于非對(duì)稱的ERCS，由于映射過程涉及[μ1]、[μ2]兩個(gè)參數(shù)的非周期性切換，無(wú)法由統(tǒng)一的映射關(guān)系式來(lái)描述?，F(xiàn)給出非對(duì)稱ERCS系統(tǒng)的映射步驟：

（a）當(dāng)射線零點(diǎn)位于區(qū)間[-1，1]內(nèi)時(shí)，參數(shù)發(fā)生切換;

（b）射線零點(diǎn)位于區(qū)間[-1，1]之外時(shí)，參數(shù)保持不變。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 系統(tǒng)演化軌跡與演化進(jìn)程

圖3為非對(duì)稱ERCS系統(tǒng)在相同初始點(diǎn)、不同入射角時(shí)射線的演化軌跡和[x]值的演化進(jìn)程。圖中，橢圓參數(shù)均為[μ₁=0.5]，[μ₂=0.8]，初始點(diǎn)坐標(biāo)均為（0.7， 0.3571），入射角度分別為[α₁=π/6]，[α₂=π/5]，[α₃=π/4]，射線演化軌跡取值500個(gè)，[x]演化進(jìn)程取值5000個(gè)。顯然，在三種不同初值情況下，系統(tǒng)演化出現(xiàn)偽隨機(jī)性。

3.2 x_i的概率密度分布

3.2.1 理論推導(dǎo)

3.2.2 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證以上假設(shè)和推導(dǎo)過程的正確性，現(xiàn)對(duì)非對(duì)稱ERCS系統(tǒng)產(chǎn)生的偽隨機(jī)[xi]序列進(jìn)行概率統(tǒng)計(jì)并與（16）式進(jìn)行比較，概率密度測(cè)試實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。實(shí)驗(yàn)中，系統(tǒng)初值為x₀=0.7，y₀=0.3571，α=π/6，迭代50000次，計(jì)數(shù)盒尺寸為0.001，將計(jì)數(shù)結(jié)果歸一化后顯示為圖中藍(lán)色曲線。圖中紅色曲線為（16）式概率密度的理論計(jì)算結(jié)果。從圖中可以看出，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論推導(dǎo)吻合度較高，證明了上述假設(shè)和推導(dǎo)的正確性。

3.3 李雅普諾夫指數(shù)

混沌系統(tǒng)的典型特性之一就是對(duì)初值的敏感性，對(duì)于兩個(gè)相差很小的系統(tǒng)初始值，經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間演化后，所產(chǎn)生的序列具有零相關(guān)性。李雅普諾夫指數(shù)描述了系統(tǒng)中相鄰兩條演化軌跡在演化過程中的分離速率，它是系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)的充分條件。本小節(jié)利用Wolf算法計(jì)算了非對(duì)稱ERCS系統(tǒng)的最大李雅普諾夫指數(shù)隨系統(tǒng)參數(shù)的變化趨勢(shì)，其中參數(shù)m2=0.8，m1取值范圍為0.01～0.8，計(jì)算結(jié)果如圖6所示。

從以上結(jié)果可以看出，當(dāng)參數(shù)m2與m1差值較大時(shí)，系統(tǒng)的對(duì)稱性弱，所產(chǎn)生的序列處于混沌狀態(tài)，李雅普諾夫指數(shù)為正。隨著m1逐漸增大靠近m2，系統(tǒng)對(duì)稱性增強(qiáng)，所產(chǎn)生的序列逐漸表現(xiàn)出周期性，李雅普諾夫指數(shù)不斷減小直到小于0，此時(shí)系統(tǒng)不再處于混沌狀態(tài)，產(chǎn)生周期解。

4 結(jié)論

本文構(gòu)建了一種非對(duì)稱ERCS離散混沌系統(tǒng)，對(duì)系統(tǒng)的演化過程進(jìn)行了數(shù)學(xué)描述和仿真計(jì)算，結(jié)果顯示，僅具有一個(gè)對(duì)稱軸的非對(duì)稱ERCS系統(tǒng)不存在內(nèi)秉周期解，克服了TD-ERCS系統(tǒng)中由于延遲參數(shù)選取不當(dāng)會(huì)出現(xiàn)周期解的缺陷。對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)變量的概率分布、李雅普諾夫指數(shù)等性能參數(shù)進(jìn)行了計(jì)算分析，結(jié)果表明，本文所構(gòu)6造的離散混沌系統(tǒng)具有與TD-ERCS相近的性能。

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