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    對解析幾何問題的幾個(gè)熱點(diǎn)題型探究

    2018-01-20 07:28:12王斯諾
    魅力中國 2017年52期
    關(guān)鍵詞:定值最值定點(diǎn)

    王斯諾

    解析幾何涉及高中必修2和選修中相關(guān)內(nèi)容,圓錐曲線是平面解析幾何的核心部分。其主要內(nèi)容包括圓錐曲線的軌跡方程,直線與曲線的位置關(guān)系,定點(diǎn)、最值、范圍問題,存在探索性問題等。

    解析幾何題型考查的主要內(nèi)容 :

    項(xiàng)目 主 要 問 題 內(nèi) 容

    橢圓、面積最值問題 圓的一般方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、最值問題

    直線與橢圓的關(guān)系、弦長公式、范圍問題

    直線與橢圓的關(guān)系、定值問題、與存在性問題

    橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率、直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離

    直線與橢圓的綜合問題

    雙曲線與拋物線 直線與拋物線相切,拋物線的性質(zhì)

    拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、軌跡方程

    以上是解析幾何問題中涉及的基本內(nèi)容,需要首先掌握解析幾何的基本知識,在解析幾何的基本知識的基礎(chǔ)上,可對解析幾何涉及的幾種題型做做深入探究。

    二、解析幾何四種題型的解析:

    (一)、題型一:求軌跡方程

    基本步驟:建系——設(shè)點(diǎn)——列式——化簡——驗(yàn)證

    方法分析:一般有三種方法。第一是直接法,就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程。第二是定義法,從曲線定義出發(fā)直接寫出方程。定義法和待定系數(shù)法適用于已知曲線類型。第三是代入法,先設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)P(X,Y),尋求動(dòng)點(diǎn)P(X,Y)與已知?jiǎng)狱c(diǎn)Q(X′,Y′)的關(guān)系,建立P、Q兩座標(biāo)間的關(guān)系,并表示出(X′,Y′),將X′,Y′代入已知曲線方程化簡求解。

    以下題為例對求軌跡方程這類題型進(jìn)行解析。

    例:設(shè)圓X2+Y2+2X-15=0的圓心為A,直線L過點(diǎn)B(1,0)且與X軸不重合,L交圓A于C、D兩點(diǎn),過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E(1)證明:∣EA∣+∣EB∣為定值并寫出點(diǎn)E的軌跡方程。

    (2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線G,直線L交G于M、N兩點(diǎn),過B且與L垂直的直線與圓A交于P、Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍。

    分析此題以圓為背景,題干信息∣EA∣+∣EB∣為定值,即可將∣EA∣+∣EB∣與圓的半徑r相聯(lián)系,∣EA∣+∣EB∣為定值,A、B為定點(diǎn),E的軌跡方程即為橢圓,即可求解。

    解析:1、因?yàn)椋酣OAD∣=∣AC∣ EB∥AC

    推出:∠EBD=∠ACD=∠ADC

    推出:∣EB∣=∣ED∣

    ∣EA∣+∣EB∣=∣EA∣+∣ED∣=∣AD∣

    根據(jù):X2+Y2+2X-15=0 推出 (X+1)2+ Y2=16

    得出:∣AD∣=4

    推出:∣EA∣+∣EB∣=4

    A(-1,0) B(1,0) ∣AB∣=2

    由橢圓的定義得出:E點(diǎn)的軌跡方程為X2/4+ Y2/3=1(Y≠0)

    2、當(dāng)L與X軸不垂直時(shí),設(shè)L:y=k(x-1)(k≠0) M(X1 Y1) N(X2 Y2)在此處鍵入公式。

    Y=k(X-1) 且 X2/4+ Y2/3=1

    則 X1+ X2=8k2/(4 k2+3)

    X1* X2=(4 k2-12)/ (4 k2+3)

    所以:∣MN∣=12(k2+1)/(4 k2+3)

    過點(diǎn)B(1,0)且與L垂直的直線m:y=-1/k(x-1)

    A到MD的距離2/√(k^2+1)

    所以∣PQ∣=4√(〖(4k〗^2+〖3)/(k〗^2 )+1)

    所以SMPNQ=1/2∣MN∣*∣PQ∣=12√(1+1/(4k^2+3))

    L與X軸垂直時(shí),X=1 ∣MN∣=3 ∣PQ∣=8 S=12

    通過以上分析計(jì)算,四邊形MPNQ面積的取值范圍(12,8√3)

    (二)、題型二:定點(diǎn)、定值

    對于此題型有兩種解題策略,第一特殊探求,一般證明;第二假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)題意選擇參數(shù),建立一個(gè)直線系或曲線系方程,而該方程與參數(shù)無關(guān),故得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)的方程組,以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即所求定點(diǎn)。

    以下題為例對求定點(diǎn)、定值這類題型進(jìn)行解析。

    例:已知橢圓y2/a2+ x2/b2=1 (a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,離心率為 √2/2,直線L與橢圓相交于A(x1, y1) B(x2, y2)兩點(diǎn),且滿足∣AF1∣+∣AF2∣=4√2,O為坐標(biāo)原點(diǎn)。

    求橢圓方程。

    設(shè)m=(x1/b,y1/a),n=(x2/b ,y2/a),若m*n=0,試問△AOB的面積是否為定值,如果是,請給予證明;如果不是請說明理由。

    問題一可以通過橢圓的定義進(jìn)行解析,問題二可以通過“設(shè)而不求”的解題方法解析。

    解析:1、因?yàn)?2a=∣AF1∣+∣AF2∣=4√2

    所以 a=2√2

    因?yàn)?橢圓y2/a2+ x2/b2=1 (a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,離心率為 √2/2

    得出 : c/a=√2/2 c=2

    b2=a2-c2=4

    橢圓方程為: y2/8+ x2/4=1

    2、當(dāng)AB與X軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=kx+m

    y= kx+m 且2x2+y2-8=0

    推出: (2+k2)x2+2kmx+m2-8=0

    由題意知:△=4k2m2-4(2+ k2)(m2-8)>0

    即8*(4k2- m2+8)>0

    所以 x1+x2=-2km/(2+k2) x1* x2=(m2-8)/(2+k2)endprint

    又由m*n=0 得出(x1/b)*( x2/b)+(y1/a)*(y2/a)=0

    所以x1*x2/4+ y1 y2/8=0

    y1 y2=2(m2-4 k2)/(2+ k2)

    所以 (m2-8)/(2+ k2)+(m2-4 k2)/(2+ k2)=0

    所以 2 k2+4= m2

    ∣AB∣=√((1+ k^2)) *√(8*(4k^2 m^2+8) )/(2+k^2)

    點(diǎn)O到直線AB的距離 d=∣m∣/√(1+k^2 )

    S△AOB=1/2∣AB∣*d=2√2

    當(dāng)AB與X軸垂直時(shí),x1=x2 y1=-y2

    則x12/4- y12/8=0 x12/4+ y12/8=1

    推出:x1=√2 y1=2或-2

    A(√2,2) B(√2,-2) d=√2

    S△AOB=1/2∣AB∣*d=2√2

    通過上述解析,可以推出△AOB的面積為定值2√2。

    (三)、題型三:最值范圍問題

    這類題型有兩種解決方法:第一種是代數(shù)法,通過建立函數(shù)、不等式等模型,利用二次函數(shù)法、基本不等式、換元法、導(dǎo)數(shù)法,或利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系,利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式等方法求最值范圍。第二種是幾何法,根據(jù)圓錐曲線的幾何意義求最值。求參數(shù)范圍的常用方法有函數(shù)法、不等式法、判別式法。

    (四)、題型四:圓錐曲線的探索性問題

    這類題型有如下的解決方法:第一:是否存在常數(shù)的問題,應(yīng)首先假設(shè)存在,看是否能求出符合條件的參數(shù)值,如果推出矛盾就不存在。第二:是否存在點(diǎn)的問題,可依據(jù)條件,直接探究其結(jié)果,也可以舉例然后再證明。第三:是否存在直線問題,可依據(jù)條件尋找適合條件的直線方程,聯(lián)立方程,消元得出一元二次方程,利用判別式得出是否有解。

    以下題為例對求最值范圍這類題型進(jìn)行解析。

    例:已知橢圓C::x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為e=1/2,點(diǎn)A為橢圓上一點(diǎn),∠F1 AF2=600且S△F1 AF2=√3

    求橢圓C的方程。

    設(shè)動(dòng)直線L:y=kx+m與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,且與直線x=4相交于點(diǎn)Q,問X軸上是否存在定點(diǎn)M,使得以PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)M?若存在,求坐標(biāo);若不存在,請說明理由。

    根據(jù)以上題意,解析:1、由:c/a=1/2 且 ∣AF1∣+∣AF2∣=2a 且1/2∣AF1∣*∣AF2∣sin?〖〖60〗^0 〗=√3 且{(AF1)2+(AF2)2-(F1 F2)2}/2∣AF1∣*∣AF2∣=cos?〖〖60〗^0 〗=1/2

    推出:a2=4 b2=3

    推出:橢圓C的方程為:x2/4+y2/3=1

    以上是在學(xué)習(xí)解析幾何中經(jīng)常遇到的四種題型,它們的特點(diǎn)是有較大的計(jì)算量,但思路都比較簡單單一,只要我們掌握了上述四種題型的解答方法和策略,定能對解析幾何問題應(yīng)對自如。endprint

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