初中數(shù)學(xué)探究性例題教學(xué)初探

陸展家

探究性例題是一類具有探索研究性質(zhì)的數(shù)學(xué)課題，問題的提出、分析和應(yīng)用知識(shí)解決問題的過程都要學(xué)生自己完成，探索過程充分展示數(shù)學(xué)知識(shí)形成的完整性，具有挑戰(zhàn)性和創(chuàng)新性，但這類問題，學(xué)生往往無所適從、不知道如何入手，這反映出在數(shù)學(xué)教學(xué)中，對探究性例題的教學(xué)是一個(gè)薄弱環(huán)節(jié)。本文從兩個(gè)例子的教學(xué)實(shí)驗(yàn)，闡述探究性問題教學(xué)的做法和重要性。

例1：如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a>0）的圖象，經(jīng)過原點(diǎn)O交x軸于點(diǎn)A，其頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，-），在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△AQO與△ABO相似？如果存在請求Q點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在請說明理由。

教學(xué)過程：

1.問題的提出和發(fā)現(xiàn)

若存在，則Q點(diǎn)在哪呢？應(yīng)該滿足什么條件？聯(lián)想、類比尋找存在的必需條件，從拋物線的對稱性中，發(fā)現(xiàn)△ABO是等腰三角形，那么△QAO也應(yīng)該是等腰三角形，即應(yīng)該有OA=AQ或OA=OQ。

2.問題的分析和猜想

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合作出合理的猜想和判斷，那么以A點(diǎn)或O點(diǎn)為圓心，以O(shè)A為半徑作弧，圓弧與拋物線的交點(diǎn)就應(yīng)該是我們要找的點(diǎn)！如何證明？證△ABO相似△QAO的條件還不充分，我們能否逆思維？先認(rèn)定它們相似，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，然后驗(yàn)證它們是否真的相似，如果結(jié)論為真，則Q點(diǎn)就是我們要找的點(diǎn)，如果結(jié)論為假則說明Q點(diǎn)不存在。

3.f問題的解決和表述

如何求Q點(diǎn)坐標(biāo)呢？運(yùn)用方程觀點(diǎn)尋找解決問題的方案（由于初中還沒有具備曲線方程的知識(shí)，因此引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用熟知的知識(shí)建立方程），由題意容易求得拋物線的函數(shù)解析式y(tǒng)=x2-x，從而得到A點(diǎn)坐標(biāo)（6，0），B點(diǎn)坐標(biāo)（3，-），過B作BP⊥OA，則tan∠BAP=故得∠BOA=30°

設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2-x），過點(diǎn)Q作QF⊥x軸，因?yàn)椤鱋AB相似△OQA，

故可得OF=QF，即x=（x2-x），解得x=9或x=0（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)△OQA和△OBA相似。即可得

Q（9，3）是符合條件的點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的對稱性可得另外一個(gè)符合條件的點(diǎn)Q（-3，3）。

例2：如圖拋物線y=x2-bx-5與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)C與點(diǎn)F關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，直線AF交y軸于點(diǎn)E，OC∶OA=5∶1，在直線AF上是否存在點(diǎn)P使△CFP是直角三角形？若存在求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在說明理由

教學(xué)過程：

1.問題的提出和發(fā)現(xiàn)

若存在，應(yīng)滿足什么條件？由已知可知P點(diǎn)在AF上，聯(lián)想、類比尋找存在的必需條件，由題設(shè)可知△CFP須是直角三角形，那么要有一個(gè)角是直角，∠CFP不是直角，那么須要∠FCP或∠FPC是直角。

2.問題的分析和猜想

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合作出合理的猜想和判斷，以上兩種情況皆有可能，因此要對兩種情況分類討論。究竟哪種情況是對的呢？我們運(yùn)用逆向思維，先認(rèn)定某種情形是對的，然后試求P點(diǎn)坐標(biāo)，若兩種情況都無解，則P點(diǎn)不存在，若有解，我們經(jīng)過驗(yàn)證確定符合條件后，可以認(rèn)定所求的P點(diǎn)的確存在。

3.f問題的解決與表述

如何求P點(diǎn)的坐標(biāo)呢？建立方程求解，由題意可以求出拋物線的解析式為y=x2-4x-5，進(jìn)一步可以求出直線AF的解析式為y=-x-1，若∠CPF是直角，過點(diǎn)C作CP⊥AF于點(diǎn)P，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x-1），因?yàn)椤螮CF=90°，E（0，-1），C（0，-5），F(xiàn)（4，-5），所以CE=CF，從而EP=PF，又有CP=PF，所以，點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，所以x=2代入y=-x-1得y=-3得P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3），若

∠FCP=90°時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合。經(jīng)驗(yàn)證，直線AF上存在點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，-1）或（2，-3），使△CFP是直角三角形。

探究性問題是為了培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維而應(yīng)對設(shè)置的問題教學(xué)，探究的過程突出數(shù)學(xué)的基本觀念和思想，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維方法，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，但由于教學(xué)習(xí)慣使然，這類問題常常被認(rèn)為是難題，而不敢展開深入的教學(xué)探索，或者只是針對所謂的尖子生而教。探究問題的思維形式雖然散，但思維的思想方法、數(shù)學(xué)觀點(diǎn)是不散的，數(shù)學(xué)問題的探究過程就像做一篇散文，只要我們把握好它的”神”，那么，教學(xué)就能做到收放自如，學(xué)生對問題的探究興趣就會(huì)倍增，教育教學(xué)就會(huì)為社會(huì)培養(yǎng)出更多具備創(chuàng)新能力的人才，文化教育不只是培養(yǎng)有知識(shí)的下一代，更重要的是培養(yǎng)有創(chuàng)新發(fā)明的人腦，在數(shù)學(xué)教學(xué)中重視探究性例題的教學(xué)研究是十分必要的。

？誗編輯 李琴芳endprint