基于鎖相環(huán)實現(xiàn)信號相頻突變的跟蹤

孫永磊+楊昕欣

摘 要： 鎖相環(huán)是一種相位誤差自動控制系統(tǒng)，在通信領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。通過設(shè)計鎖相環(huán)路，實現(xiàn)對輸入信號的頻率和相位突變時的跟蹤。首先介紹鎖相環(huán)路的基本原理，然后對一階和二階鎖相環(huán)的動態(tài)跟蹤特性進行分析，最后采用仿真軟件Multisim 13.0設(shè)計仿真電路，針對一階、二階PLL的輸入信號頻率和相位突變時的情況進行仿真研究，實際仿真結(jié)果與理論分析相吻合。仿真結(jié)果表明，設(shè)計的鎖相環(huán)路實現(xiàn)了對輸入信號頻率和相位突變后的跟蹤。

關(guān)鍵詞： 鎖相環(huán)； 頻率突變； 相位突變； 信號跟蹤； 理論分析； Multisim

中圖分類號： TN702?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2018）01?0051?06

Abstract： The phase?locked loop （PLL） is designed to realize signal tracking when the phase and frequency mutation of input signal occurs. The basic principle of the phase?locked loop is introduced in this paper. The dynamic tracking characteristics of the first?order and second?order PLLs are analyzed. The simulation software Multisim 13.0 is used to design the simulation circuit. The condition that the phase and frequency mutation of the input signal of the first?order and second?order PLLs occurs is simulated. The simulation result is identical with the theoretical analysis result. The simulation results show that the designed phase?locked loop can realize tracking when the input signal′s frequency and phase mutation occurs.

Keywords： phase?locked loop； frequency mutation； phase mutation； signal tracking； theoretical analysis； Multisim

0 引 言

鎖相環(huán)（Phase Locked Loop）簡稱為PLL，是一種相位誤差控制系統(tǒng)[1]。它能實現(xiàn)頻率合成、調(diào)制解調(diào)、載波回復(fù)、信號檢測等功能，在電子領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，目前鎖相環(huán)在數(shù)字和模擬通信系統(tǒng)中成為不可缺少的部件。隨著電子技術(shù)的快速發(fā)展，鎖相環(huán)技術(shù)在信號測量、信號頻率與相位的自動跟蹤、雷達中的多普勒信號提取等領(lǐng)域發(fā)揮了重要的作用[2]，信號的頻率與相位跟蹤已成為科研與國防中的重要組成部分[3]。

1 鎖相環(huán)的結(jié)構(gòu)與工作原理

鎖相環(huán)是一種相位反饋控制電路，它的基本原理是通過比較輸出信號與輸入信號之間的相位差，然后產(chǎn)生控制電壓來調(diào)整壓控振蕩器的頻率，實現(xiàn)輸出信號與輸入信號頻率同步。鎖相環(huán)由三個基本部件組成：鑒相器（PD）、環(huán)路濾波器（LF）和壓控振蕩器（VCO），如圖1所示。

鑒相器（PD）的輸出信號[vd]是輸入信號[vi]和壓控振蕩器輸出信號[vo]之間相位差的函數(shù)，常用的鑒相器有以下幾類：數(shù)字鑒相器、抽樣鑒相器、模擬相乘器鑒相器和鑒頻鑒相器等[4?6]，鑒相器一般由乘法器加低通濾波器構(gòu)成，如圖2所示。

設(shè)鎖相環(huán)的輸入信號和壓控振蕩器的輸出信號分別為[vi]和[vo]（單位：V）：

[vi（t）=Vimsin[ωi0t+θi（t）]=Vimsin[?i（t）]vo（t）=Vomcos[ωo0t+θo（t）]=Vomcos[?o（t）]] （1）

輸入信號與輸出信號經(jīng)過乘法器得到：

[Kvi（t）vo（t）=12KVimVomsin[2ωo0t+θ1（t）+θ2（t）]+ K2VimVomsin[θ1（t）-θ2（t）]] （2）

式中：[θ1（t）=（ωi0-ωo0）+θi（t）=Δω0t+θi（t）；θ2（t）=θo（t）]。

再經(jīng)過低通濾波器后濾出[2ωo0]成分，得到誤差電壓：

[vd（t）=12KVimVomsin[θ1（t）-θ2（t）]=12KVimVomsin[?i（t）-?o（t）]] （3）

[vd（t）=f[?i（t）-?o（t）]] （4）

式中：[?i（t）]為輸入信號[vi（t）]的瞬時全相位；[?o（t）]為壓控振蕩器輸出信號[vo（t）]的瞬時全相位。

環(huán)路濾波器（LF）是一個低通濾波器，濾出誤差信號[vd]中的高頻分量，改善鎖相環(huán)路的跟蹤性能，同時保證環(huán)路的穩(wěn)定性。鎖相環(huán)中的LF有兩個功能：第一，濾除誤差信號中的高頻分量；第二，為鎖相環(huán)路提供一個短期記憶，當系統(tǒng)因為瞬時噪聲而失鎖時，可確保鎖相環(huán)路能夠迅速重新捕獲信號[7?8]，在鎖相環(huán)中通常采用一階濾波器電路。當環(huán)路濾波器采用直通電路時，該鎖相環(huán)為一階PLL；當采用一階濾波器電路時，該鎖相環(huán)為二階PLL。各種環(huán)路濾波器如圖3所示。

壓控振蕩器（VCO）是根據(jù)電壓產(chǎn)生本地振蕩頻率，振蕩的頻率受[vp]的控制，從而產(chǎn)生頻率偏移，實現(xiàn)對輸入信號頻率的跟蹤。壓控振蕩器的一般特性如圖4所示。它的振蕩頻率與控制電壓的關(guān)系可表示為：[ωo（t）=ωo0+g[vp（t）]，] 在某一特定的控制電壓范圍內(nèi)，壓控振蕩器的振蕩頻率變化與控制電壓成線性關(guān)系，即：[ωo（t）=ωo0+Kωvp（t）]。其中，[Kω]是該曲線的斜率，也稱作為壓控振蕩器的調(diào)制靈敏度，單位為[rad/（S?V）]。endprint

在鎖相環(huán)路中，壓控振蕩器的輸出瞬時相位對鑒相起作用，而不是瞬時角頻率，VCO在鎖相環(huán)中起到了積分作用，因此VCO也稱為環(huán)路中的固有積分環(huán)節(jié)。

[φo（t）=ωo0t+Kω0tvp（λ）dλ=ωo0t+θ2（t）] （5）

壓控振蕩器對應(yīng)的時域與頻域模型如圖5所示，其中[1p]為積分算子。

由此可得到PLL環(huán)路的相位數(shù)學(xué)模型，如圖6所示。

2 鎖相環(huán)的動態(tài)跟蹤特性分析

由上述分析可知，鎖相環(huán)中的鑒相器實際上是一個比例放大環(huán)節(jié)，而壓控振蕩器為積分環(huán)節(jié)，[HF（p）]為環(huán)路濾波器LF的傳遞函數(shù)，從相位數(shù)學(xué)模型可得到PLL環(huán)路的非線性微分方程：

[θ2（t）=Kdsin[θ1（t）-θ2（t）]?HF（p）?Kω?1p] （6）

[θ1（t）-θe（t）=Kdsinθe（t）?HF（p）?Kω?1p] （7）

[θe（t）+KdKωHF（p）psinθe（t）-θ1（t）=0] （8）

式中：[Kd=12KVimVom]為鑒相器的最大輸出電壓；[Kp=Kd?Kω]為環(huán)路增益，單位為[rad/s]。

定義三個PLL的傳遞函數(shù)。

誤差傳遞函數(shù)：

[He（s）=θe（s）θ1（s）=ss+KpHF（s）] （9）

式（9）表示輸入信號與壓控振蕩器輸出信號之間的誤差相位[θe（s）]與輸入信號相位[θ1（s）]的關(guān)系，稱為環(huán)路的誤差傳遞函數(shù)。

閉環(huán)傳遞函數(shù)：

[Hc（s）=θ2（s）θ1（s）=KpHF（s）s+KpHF（s）] （10）

式（10）表示壓控振蕩器的輸出信號相位[θ2（s）]與輸入信號相位[θ1（s）]之間的關(guān)系，稱為鎖相環(huán)路的閉環(huán)傳遞函數(shù)。

開環(huán)傳遞函數(shù)：

[Ho（s）=θ2（s）θe（s）=KpHF（s）s] （11）

已經(jīng)鎖定后的環(huán)路，當輸入信號的相位或頻率發(fā)生某種突變時，環(huán)路將使壓控振蕩器的相位和頻率能夠跟蹤輸入信號的變化。在輸入信號發(fā)生變化后的一段時間里，鎖相環(huán)路有一瞬變的過程。這個瞬變的過程狀況與PLL的組成有關(guān)，也與輸入信號的相位或相位的變化規(guī)律有關(guān)[9]。這就是求出[θe（t），][θ2（t）]的過程。當瞬變過程結(jié)束后，鎖相環(huán)路進入穩(wěn)定狀態(tài)。這時，壓控振蕩器的輸出信號與輸入信號有相同的頻率和某一固定的相差，這個固定的相差稱作為穩(wěn)態(tài)相差。

2.1 一階PLL動態(tài)跟蹤特性

一階PLL中環(huán)路濾波器為直通電路，將[HF（s）=1]代入到上述誤差傳遞函數(shù)和閉環(huán)傳遞函數(shù)中，得到：

[Hc（s）=Kps+Kp，He（s）=ss+Kp]

誤差相位的瞬態(tài)響應(yīng)為：

[θes=Hesθ1sθet=L-1θes] （12）

穩(wěn)態(tài)相差：

[θe（∞）=limt→∞θet=lims→0sθes] （13）

2.1.1 輸入信號相位突變

輸入信號相位階躍，即：

[θ1t=Δθ，t>00，t<0，θ1（s）=Δθs]

那么誤差相位的瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)相差分別為：

[θes=ss+KpΔθs=Δθs+Kp] （14）

[θet=L-1Δθs+Kp=Δθ e-Kpt] （15）

[θe（∞）=lims→0sθes=0] （16）

一階PLL跟蹤信號相位突變特性曲線如圖7所示。

2.1.2 輸入信號頻率突變

輸入信號頻率階躍，即：

[ωit=ωo0+Δω，t>0ωo0，t<0] [θ1t=Δωt，t>00，t<0，θ1s=Δωs2]

那么誤差相位的瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)相差分別為：

[θes=ss+KpΔωs2=Δωss+Kp] （17）

[θet=L-1θes=ΔωKp1-e-Kpt] （18）

[θe（∞）=ΔωKp] （19）

通過Matlab得出瞬態(tài)響應(yīng)曲線理論波形，如圖8所所示。

2.2 二階PLL動態(tài)跟蹤特性

2.2.1 輸入信號相位突變

以理想積分環(huán)路濾波器作為PLL的LF，理想濾波器的傳遞函數(shù)如圖3所示，即：[HF（s）=sτ2+1sτ1]。

那么誤差相位的瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)相差分別為：

[Hes=s2s2+2ζωns+ω2n] （20）

[θes=θ1sHes=sΔθs2+2ζωns+ω2n] （21）

[θe（t）=Δθ（cos1-ζ2ωnt-ζ1-ζ2sin1-ζ2ωnt）e-ζωnt， ζ<1Δθ（1-ωnt）e-ωnt， ζ=1Δθ（coshζ2-1ωnt-ζζ2-1sinhζ2-1ωnt）e-ζωnt， ζ>1] （22）

[θe（∞）=lims→0sθe（s）=lims→0Δθ1+2ζωn1s+ω2ns2=0] （23）

式中：[ωn]為自然角頻率；[ζ]為阻尼系數(shù)。通過Matlab仿真可得出理論波形如圖9所示。

2.2.2 輸入信號頻率突變

同樣誤差相位的瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)相差分別為：

[Hes=s2s2+2ζωns+ω2n] （24）

[θes=Δωs2+2ζωns+ω2n] （25）

[θe（t）=Δωωn11-ζ2sin1-ζ2ωnte-ζωnt， ζ<1Δωωn（ωnt）e-ωnt， ζ=1Δωωn1ζ2-1sinhζ2-1ωnte-ζωnt，ζ>1] （26）

[θe（∞）=lims→0sθe（s）=lims→0Δω?ss2+2ζωns+ω2n=0] （27）

通過Matlab仿真可得出理論波形如圖10所示。

3 鎖相環(huán)動態(tài)跟蹤特性仿真

本文利用Multisim 13構(gòu)建了鎖相環(huán)路的仿真模型，對于不同的輸入信號，研究了輸入信號突變時鎖相環(huán)的動態(tài)跟蹤特性。

of second?order PLL tracking signal

基于Multisim 13搭建鎖相環(huán)電路，如圖11所示。

電路說明如下：[V3]為正弦波信號源，即同步信號，其周期為1 ms，幅度為1 V；A1為模擬乘法器，[R1]和[C1]為低通濾波器，[A1，R1]和[C1]組成鑒相器；[R4，C4]和[U1]組成了理想低通濾波器，即PLL中的環(huán)路濾波器，該濾波器的參數(shù)決定了PLL環(huán)路的頻率穩(wěn)定性和壓控性；[V4]為壓控振蕩器VCO。

3.1 鎖相環(huán)的捕獲與跟蹤特性

為了便于觀察鎖相環(huán)跟蹤后信號的頻率與相位，將同步信號[V3]更換成脈沖信號，同時將[V4]更換成方波壓控振蕩器，此時看到輸出信號與同步信號的頻率一致，相位差為0，即實現(xiàn)同步跟蹤，如圖12所示。

3.2 一階PLL動態(tài)跟蹤特性

采用一階PLL，即環(huán)路濾波采用直通電路，觀察輸入信號的頻率和相位突變后，鎖相環(huán)的跟蹤特性。

在某一時刻改變輸入同步信號的頻率，即實現(xiàn)輸入信號頻率的突變，此時觀察輸出波形如圖13所示，與理論波形圖8相符合，即證明了一階鎖相環(huán)能實現(xiàn)對輸入信號頻率突變后的跟蹤。

3.3 二階PLL動態(tài)跟蹤特性

采用二階PLL，即環(huán)路濾波采用理想低通濾波器，觀察輸入信號的頻率和相位突變后鎖相環(huán)的跟蹤特性。

3.3.1 輸入信號相位突變

在輸入信號后端接一個反相器，在某一時刻將輸入信號的相位進行反向，即實現(xiàn)輸入信號相位的階躍，此時觀察輸出波形如圖14所示，與理論波形圖9相符合，即證明了一階鎖相環(huán)能實現(xiàn)對輸入信號相位突變后的跟蹤。

3.3.2 輸入信號頻率突變

在某一時刻改變輸入同步信號的頻率，即實現(xiàn)輸入信號頻率的突變，此時觀察輸出波形如圖15所示，與理論波形圖10相符合，即證明了一階鎖相環(huán)能實現(xiàn)對輸入信號頻率突變后的跟蹤。

3.4 仿真結(jié)果分析

在基于傳遞函數(shù)鎖相環(huán)的相位誤差模型的基礎(chǔ)上，通過搭建Multisim電路，研究了一階和二階鎖相環(huán)的動態(tài)相頻跟蹤特性，并得出如下結(jié)論：

當輸入信號相位突變時，一階與二階PLL都能實現(xiàn)對輸入信號的跟蹤，其穩(wěn)態(tài)相差為零， VCO起到了積分的作用，是鎖相環(huán)路中的固有積分環(huán)節(jié)。

一階PLL對輸入信號頻率突變的跟蹤： PLL在進行重新鎖定時，VCO能夠跟蹤輸入信號頻率的變化，即VCO的振蕩頻率也變化[Δω，]則需要產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)相差：[θe（∞）=ΔωKp]。

二階PLL對輸入信號頻率突變的跟蹤：對于LF為理想積分濾波器的二階PLL，鎖相環(huán)的輸出信號相位能夠完全跟蹤輸入信號相位的變化，穩(wěn)態(tài)后的相差為零；對于不是理想積分濾波器的二階PLL，如： RC積分濾波器或者無源比例積分濾波器，則穩(wěn)態(tài)相差為：[θe（∞）=ΔωKp。]

4 結(jié) 語

本文首先建立了基于傳遞函數(shù)的誤差分析模型，在理論上分析了鎖相環(huán)的動態(tài)相頻跟蹤特性，然后通過Multisim 13搭建鎖相環(huán)仿真電路，該電路實現(xiàn)了對輸入同步信號的捕獲與跟蹤，同時通過改變環(huán)路濾波器實現(xiàn)了一階和二階PLL對輸入信號頻率與相位突變后的跟蹤，實驗結(jié)果與理論分析一致。

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