韓毅
摘要:量子力學(xué)是20世紀(jì)最重要的科學(xué)理論成就,它一方面因其神秘高深的特性被稱為物理世界的百歲幽靈,另一方面又作為構(gòu)成現(xiàn)代自然科學(xué)的基礎(chǔ)理論,深深改變著人類生活的方方面面。量子力學(xué)在軍事領(lǐng)域的幾大應(yīng)用近些年也取得了很大的進(jìn)步,其中的量子衛(wèi)星、量子雷達(dá)、量子武器和量子計(jì)算機(jī)都有望登上未來(lái)軍事斗爭(zhēng)的舞臺(tái)上并一展拳腳。而將量子力學(xué)理論引入軍事裝備領(lǐng)域,也必將引發(fā)新一輪的軍事大變革。
關(guān)鍵詞:量子力學(xué);量子衛(wèi)星;量子雷達(dá);量子武器;量子計(jì)算機(jī)
作為人類歷史進(jìn)步的杠桿和最高意義的革命力量,科技在軍事領(lǐng)域發(fā)揮著無(wú)可替代的作用。而量子力學(xué)引領(lǐng)著當(dāng)前科技的重大發(fā)展,將其引入軍事裝備領(lǐng)域,必將引發(fā)新一輪的軍事大變革。特別是近些年來(lái),以量子衛(wèi)星、量子雷達(dá)、量子武器和量子計(jì)算機(jī)為首的一批高尖端量子軍事裝備取得突破性進(jìn)展,使得我們有理由期待它們?cè)谖磥?lái)登上軍事斗爭(zhēng)的舞臺(tái)并大展拳腳。
1 量子衛(wèi)星:不可竊聽的通訊
信息化戰(zhàn)爭(zhēng)條件下,基于衛(wèi)星的無(wú)線通訊無(wú)處不在,及時(shí)安全的信息傳遞可謂重中之重,而量子力學(xué)恰恰可以在這一領(lǐng)域大顯身手,這同時(shí)也是目前量子力學(xué)應(yīng)用最成熟的領(lǐng)域之一。
2016年8月16日,我國(guó)在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射世界首顆量子衛(wèi)星“墨子號(hào)”,該事件標(biāo)志著人類將首次完成衛(wèi)星和地面之間的量子通訊,也證明了我國(guó)在量子力學(xué)研究領(lǐng)域的國(guó)際領(lǐng)先地位。
量子通訊主要是利用了量子疊加原理和量子糾纏原理。量子疊加原理指出,量子處于多種可能狀態(tài)的疊加狀態(tài),只有對(duì)其進(jìn)行觀察或測(cè)量時(shí),量子才會(huì)塌陷為其中一種可能狀態(tài),因此在對(duì)其觀察前無(wú)法確定量子的狀態(tài)。而根據(jù)量子糾纏原理,一對(duì)相互糾纏的量子即使相距遙遠(yuǎn),也可以互相聯(lián)結(jié),雙方都能“感應(yīng)”到對(duì)方的狀態(tài),并根據(jù)對(duì)方狀態(tài)的變化做出相應(yīng)變化,這種詭異的聯(lián)系被愛因斯坦稱為“幽靈般的超距作用”。 在量子通訊中,使用一對(duì)糾纏的光子進(jìn)行密鑰的傳遞。根據(jù)光的偏正特性,光子有兩個(gè)不同的偏正方向,而在被測(cè)量前,糾纏量子對(duì)中光子的偏振方向處于這兩種方向的疊加態(tài),因而是不確定的。只有當(dāng)其中一個(gè)光子被測(cè)量時(shí),它的偏振方向才能得到確認(rèn),同時(shí)另外一個(gè)光子也因?yàn)榱孔蛹m纏而確定了與之對(duì)應(yīng)的偏正方向。這里每一個(gè)光子的偏正方向就可代表傳送的信息,好比于計(jì)算機(jī)語(yǔ)言中的“0”和“1”,當(dāng)通訊雙方采用相同參數(shù)的設(shè)置時(shí),雙方就可以利用量子糾纏原理得到相同的信息[1]。
在信息保密方面,“墨子號(hào)”衛(wèi)星的首要科學(xué)目標(biāo)就是開展星地間的高速量子密鑰發(fā)放,也就是為衛(wèi)星和地面之間的量子通訊提供絕對(duì)保密的密鑰[2]。加密技術(shù)自古有之,直到今日仍舊是保證通信安全的關(guān)鍵,特別是對(duì)于信息安全極度重視的軍事行動(dòng)來(lái)說(shuō),其重要性更是不言而喻。傳統(tǒng)加密技術(shù)建立在復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算基礎(chǔ)之上,好的密碼往往有著強(qiáng)健的加密算法,以及受到保護(hù)的密鑰[3]。但理論上來(lái)說(shuō),任何傳統(tǒng)密碼皆可破譯,[1]特別是伴隨著計(jì)算機(jī)機(jī)技術(shù)計(jì)算能力的飛速發(fā)展,更使得基于計(jì)算安全性的密碼不再絕對(duì)安全。比如1977年三位美國(guó)科學(xué)家提出了用于數(shù)據(jù)加密的RSA公鑰加密算法,號(hào)稱以當(dāng)時(shí)人類的運(yùn)算能力需要4x1016年才能被破解,卻在公布十七年后就被成功攻破,這一事件充分說(shuō)明了傳統(tǒng)加密技術(shù)的脆弱。
而量子密碼是利用物理學(xué)原理保護(hù)信息,量子自身的特征就決定了量子通訊的過(guò)程是無(wú)條件安全的。量子通訊中的密鑰以光子的形式傳送,量子的不可分割、不可克隆和測(cè)不準(zhǔn)的特性,共同保證了通訊信息絕對(duì)的不可竊聽、無(wú)法破譯。量子力學(xué)的基本原理之一海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理指出,觀察者無(wú)法同時(shí)準(zhǔn)確測(cè)得量子的位置和動(dòng)量,一旦進(jìn)行觀察就必定會(huì)導(dǎo)致量子狀態(tài)的改變。該原理進(jìn)一步擴(kuò)展,可推得單量子不可復(fù)制定理,即在不知道量子狀態(tài)的情況下,不可能對(duì)其進(jìn)行復(fù)制。為得到量子的狀態(tài)就必須進(jìn)行觀測(cè),而因?yàn)闇y(cè)不準(zhǔn)原理,觀察又是肯定無(wú)法準(zhǔn)確進(jìn)行的。根據(jù)這兩個(gè)原理,在竊密者企圖進(jìn)行竊密觀測(cè)的同時(shí),已經(jīng)改變了密鑰的量子狀態(tài),即便密鑰不幸落入竊密者手里,他們得到的也僅僅是毫無(wú)意義的數(shù)據(jù)。而發(fā)送者和接收者通過(guò)對(duì)糾纏光子對(duì)偏正性的比較,就能判斷是否有人試圖竊取該密鑰。如果密鑰光子的偏正方向有變,就代表該密鑰被人竊聽,發(fā)送方可發(fā)送新的密鑰,直至接受方收到一個(gè)沒有收到任何干擾的密鑰為止。[1]
量子衛(wèi)星通訊的另一好處是高效,地面信號(hào)的傳輸主要以光纖為媒介,而量子信號(hào)在光纖中的損耗很大,在傳播一百公里之后就僅剩百分之一的信號(hào)。如果想進(jìn)行遠(yuǎn)距離的量子通訊就必須建立多個(gè)信號(hào)中繼站,但這樣又會(huì)大大增加信號(hào)泄露的幾率[4]。而光在大氣間的傳輸損耗卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于在地面光纖中傳輸?shù)膿p耗,光子穿透整個(gè)大氣層后仍可保留80%左右的信號(hào)。利用這一原理,我們可以使用量子衛(wèi)星作為地面網(wǎng)絡(luò)的中轉(zhuǎn)站,從而極大的提升通訊的效率[5]。
2 量子雷達(dá):突破千里眼的局限
作為戰(zhàn)場(chǎng)上的千里眼,自二戰(zhàn)首次登上歷史舞臺(tái)以來(lái),雷達(dá)就是部隊(duì)不可或缺的關(guān)鍵裝備。但傳統(tǒng)雷達(dá)具有功率大;電磁泄露強(qiáng);體積大;機(jī)動(dòng)性差;成像弱等缺點(diǎn)。[6]特別是隨著現(xiàn)代隱形飛機(jī)的快速發(fā)展,傳統(tǒng)雷達(dá)反隱形能力弱的缺點(diǎn)更加明顯。而量子雷達(dá)借助量子力學(xué)原理可以很好克服傳統(tǒng)雷達(dá)的各項(xiàng)不足。
首先在反隱形能力方面。傳統(tǒng)的雷達(dá)通過(guò)發(fā)射電磁信號(hào)并接收目標(biāo)反射的回波信號(hào)來(lái)感知目標(biāo)位置、速度等信息[8]。而量子雷達(dá)的只采用相對(duì)較少的光量子對(duì)目標(biāo)進(jìn)行探測(cè),利用的是光量子的粒子特性。[9]隱形飛機(jī)攔截傳統(tǒng)雷達(dá)所發(fā)出信號(hào),并且重新發(fā)送一只鳥的虛假信號(hào)作為雷達(dá)回波,這樣就掩蓋了自身的位置。但是當(dāng)它攔截量子雷達(dá)所發(fā)出光子后,根據(jù)測(cè)不準(zhǔn)原理,光子原來(lái)的量子特征會(huì)被破壞,而由于光子的不可復(fù)制性,隱形飛機(jī)所發(fā)出的虛假信號(hào)也不能重新模擬出之前光子的物理特征。量子雷達(dá)只要通過(guò)對(duì)目標(biāo)反射回來(lái)的單光子狀態(tài)進(jìn)行識(shí)別,就能識(shí)破其干擾行為。此外,量子雷達(dá)可發(fā)射糾纏態(tài)的電磁波,將糾纏的光子對(duì)其中一個(gè)作為成像分子,另一個(gè)作為探測(cè)光子。成像光子留在量子存儲(chǔ)器中,探測(cè)光子被發(fā)射出去,經(jīng)目標(biāo)反射后被量子雷達(dá)重新接受。這樣根據(jù)量子糾纏的原理,通過(guò)比較糾纏光子對(duì)中兩光子各自的量子狀態(tài),可顯著提高雷達(dá)的探測(cè)性能。而且,量子雷達(dá)只將少數(shù)幾個(gè)甚至一個(gè)量子作為信息載體,使得其靈敏度相比于傳統(tǒng)雷達(dá)也有了質(zhì)的提高[6]。endprint
量子雷達(dá)的研究在近些年也有了很大的突破,在我國(guó)“墨子號(hào)”量子衛(wèi)星成功升天后不久,就傳來(lái)了由電子科技集團(tuán)第14研究所領(lǐng)銜研制的量子雷達(dá)取得突破性進(jìn)展的捷報(bào)。據(jù)悉該所已完成了量子探測(cè)機(jī)理、目標(biāo)散射特性研究以及量子探測(cè)原理的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。這一報(bào)導(dǎo)同時(shí)也再一次證明了我國(guó)在量子領(lǐng)域的國(guó)際領(lǐng)先地位。
3 量子武器:顛覆性威力
除了在衛(wèi)星通訊和雷達(dá)偵測(cè)方面的應(yīng)用之外,將量子理論應(yīng)用到武器領(lǐng)域,也可創(chuàng)造出多種顛覆性的新式武器。
首先是反物質(zhì)武器,反物質(zhì)是由反粒子構(gòu)成的一種物質(zhì)??茖W(xué)研究發(fā)現(xiàn),每一個(gè)基本粒子都有一個(gè)與自身外形相同但是“秉性”相反的“鏡像物”,這就是該粒子的反物質(zhì)。比如,帶正電的電子被稱為反電子,而帶負(fù)電的質(zhì)子被稱為反質(zhì)子。同理,由反電子和反質(zhì)子組合而成的氫原子被稱為反氫原子。萬(wàn)物同性相吸異性相斥的共性眾所周知,反物質(zhì)也不例外。當(dāng)反物質(zhì)一旦與正物質(zhì)相遇,就會(huì)相互結(jié)合,發(fā)生湮滅(annihilation)。湮滅效應(yīng)放出光子和介子,同時(shí)將正反物質(zhì)的全部質(zhì)量都轉(zhuǎn)變?yōu)槟芰酷尫臶11]。按照愛因斯坦著名的質(zhì)能方程E=mc2進(jìn)行計(jì)算,只需1毫克反物質(zhì)與1毫克正物質(zhì)湮滅產(chǎn)生的能量就相當(dāng)于430噸TNT炸藥的威力,遠(yuǎn)勝于原子彈和氫彈。此外反物質(zhì)還可以作為航天器、火箭等的燃料,僅僅數(shù)毫克的反物質(zhì)燃料,就可以在六周內(nèi)將太空船推動(dòng)到火星。反物質(zhì)武器的巨大軍事潛力和戰(zhàn)略意義深深吸引著各國(guó)軍界,美國(guó)氫彈之父泰勒以及蘇聯(lián)氫彈之父薩哈羅夫都很早就開始研究反物質(zhì)的軍事應(yīng)用[10]。
雖然反物質(zhì)武器威力巨大,前景廣闊,但是距其實(shí)際投入應(yīng)用還有一段長(zhǎng)路。一方面,盡管早在1932年,美國(guó)科學(xué)家卡爾·安德森就第一次發(fā)現(xiàn)了正電子,但迄今為止也尚未在地球上發(fā)現(xiàn)任何天然存在的反物質(zhì),而在實(shí)驗(yàn)室制造反物質(zhì)又是一項(xiàng)成本極高難度極大的工作,甚至還有很多科學(xué)家傾向于在茫茫宇宙中搜尋反物質(zhì)。另一方面,即便可以順利制造,反物質(zhì)的貯藏和運(yùn)輸也將是一項(xiàng)難以進(jìn)行的工作[10]。
除此之外,量子力學(xué)應(yīng)用于軍事領(lǐng)域還將產(chǎn)生利用量子凝縮的重力波炮,該武器可以在宇宙中發(fā)射不受媒介限制高能重力波造成殺傷,而其余武器由于在宇宙中缺乏傳播媒介,殺傷力將大打折扣;被稱為人造黑洞的重力場(chǎng)發(fā)生器;以及可抵抗大量物理攻擊的量子防護(hù)罩。隨著近些年量子力學(xué)研究的進(jìn)一步成熟,這些量子武器距離實(shí)際投入應(yīng)用也更近了一步。而其中任意的一種武器的實(shí)現(xiàn),其帶來(lái)軍隊(duì)?wèi)?zhàn)斗力顛覆性的提升,都必將在全球軍界引發(fā)軒然大波[12]。
4 量子計(jì)算機(jī):使傳統(tǒng)密碼無(wú)密可保
作為由軍事需求直接催生的產(chǎn)物,計(jì)算機(jī)在軍事領(lǐng)域一經(jīng)使用,就大大改變戰(zhàn)爭(zhēng)的形式。自1946年世界上第一臺(tái)電子計(jì)算機(jī)ENIAC問(wèn)世以來(lái),它就不但部分地代替和延伸了人腦的功能,帶來(lái)了信息化戰(zhàn)爭(zhēng)和數(shù)字化戰(zhàn)爭(zhēng)的概念,更將人類引入了智能對(duì)抗的時(shí)代。[13]隨著量子研究的深入,量子計(jì)算機(jī)的產(chǎn)生成為可能。作為基于量子物理學(xué)的新一代計(jì)算機(jī),量子計(jì)算機(jī)將利用其與生俱來(lái)的超強(qiáng)計(jì)算能力,再一次改變世界格局。
經(jīng)典計(jì)算機(jī)是依據(jù)馮諾依曼(von Neumann)體系結(jié)構(gòu),以及艾倫·圖靈(Alan Turing)1936提出的圖靈機(jī)(Turing Machine)模型制造的[14]。自20世紀(jì)60年代以來(lái),經(jīng)典計(jì)算機(jī)的發(fā)展近似地遵從與摩爾定律(Moore`s Law ),即集成電路上可容納的元器件數(shù)量每隔18~24個(gè)月就會(huì)增加一倍,性能也將提升一倍。隨著電子器件尺寸的進(jìn)一步縮小,用于經(jīng)典計(jì)算機(jī)制造的傳統(tǒng)方法開始顯得力不從心,因而大部分專家預(yù)測(cè)摩爾定律將在本世紀(jì)前20年失效[15]。另外經(jīng)典計(jì)算機(jī)為達(dá)到尺寸小、容量大、速度快的目標(biāo),集成電路的線寬將進(jìn)一步縮小,當(dāng)其小于0.1μm時(shí),量子效應(yīng)的作用將大大加強(qiáng)[16]。因此,傳統(tǒng)的計(jì)算模型即將步入盡頭,為了進(jìn)一步提高計(jì)算機(jī)的性能,科學(xué)家將目光轉(zhuǎn)向量子力學(xué)的領(lǐng)域,并于1982年由物理學(xué)家費(fèi)曼(Feynman)首次提出了量子計(jì)算機(jī)的概念,他指出在經(jīng)典計(jì)算機(jī)上模擬量子力學(xué)系統(tǒng)存在本質(zhì)困難,建議在量子力學(xué)的基礎(chǔ)上構(gòu)造計(jì)算機(jī)以克服這些困難[17]。
量子計(jì)算機(jī)主要利用了量子的疊加性和糾纏性。經(jīng)典計(jì)算機(jī)基于香農(nóng)(Claude Shannon)1948年提出的信息論,利用電流的通斷或者電壓的高低來(lái)表示二進(jìn)制中的“位”(bit),每一位的取值為0或1,通過(guò)對(duì)位操作來(lái)進(jìn)行計(jì)算。而量子計(jì)算機(jī)中則利用光子的不同偏正態(tài)、原子不同取向的自旋態(tài)或者超導(dǎo)體中電流的左旋右旋等來(lái)對(duì)應(yīng)“量子位”中的0和1。但與經(jīng)典計(jì)算機(jī)中的位不同的是,量子計(jì)算機(jī)中的量子位可同時(shí)處于0和1的疊加態(tài),所以,對(duì)量子位操作一次,就相當(dāng)于對(duì)經(jīng)典位操作兩次,這是量子計(jì)算機(jī)相對(duì)于經(jīng)典計(jì)算機(jī)的一大優(yōu)勢(shì)。
量子糾纏原理使得量子計(jì)算機(jī)具有了更大的優(yōu)勢(shì),即兩個(gè)量子位可同時(shí)處于4個(gè)狀態(tài)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)。同理,3個(gè)量子位就可以同時(shí)處于8個(gè)不同狀態(tài),n個(gè)量子位可同時(shí)處于2n個(gè)不同狀態(tài)。這樣一個(gè)經(jīng)典32位計(jì)算機(jī)要進(jìn)行232次(約4G次)操作才能完成的運(yùn)算,一個(gè)糾纏的32個(gè)量子位的量子計(jì)算機(jī)僅僅只需要一次操作。而在搜索能力方面,對(duì)于總計(jì)N種可能的組合,經(jīng)典計(jì)算機(jī)平均要嘗試N/2次才能成功,而量子計(jì)算機(jī)只需要次。在N的數(shù)量很大時(shí),量子計(jì)算機(jī)的優(yōu)勢(shì)就變得極為明顯。例如在N為200萬(wàn)的情況下,經(jīng)典計(jì)算機(jī)需要嘗試100萬(wàn)次,而量子計(jì)算機(jī)只需要1000次。這一點(diǎn)是因?yàn)榱孔佑?jì)算機(jī)將總數(shù)為N的被搜索對(duì)象疊加為Hilbert空間中的一個(gè)態(tài),要搜尋的態(tài)只是其中的一個(gè)分量[16]。
目前的研究和實(shí)驗(yàn)表明,在一些問(wèn)題的計(jì)算中,量子計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度相對(duì)經(jīng)典計(jì)算機(jī)具有指數(shù)級(jí)的提高。特別是對(duì)于軍事領(lǐng)域至關(guān)重要的解密問(wèn)題,大因數(shù)分解的困難是目前經(jīng)典計(jì)算機(jī)RSA公共加密系統(tǒng)的基礎(chǔ)。在經(jīng)典計(jì)算機(jī)上,解密所需運(yùn)算次數(shù)隨輸入量的大小呈指數(shù)次方增長(zhǎng),對(duì)于56位數(shù)的解密時(shí)間,即便使用當(dāng)前運(yùn)算最快的經(jīng)典巨型計(jì)算機(jī)(千億次/s),都將花費(fèi)107s才能完成,這個(gè)時(shí)間相當(dāng)于宇宙的壽命。而且這種情況在經(jīng)典物理學(xué)的范圍內(nèi)是本質(zhì)上不可能得到解決的,因而可以認(rèn)為RSA加密系統(tǒng)是安全的。而對(duì)于相同的56位數(shù)解密問(wèn)題,采用量子計(jì)算機(jī)在幾秒之內(nèi)就可以解決。這樣的話,RSA加密系統(tǒng)的安全性將面臨極大挑戰(zhàn),甚至可以說(shuō)在量子計(jì)算機(jī)面前,傳統(tǒng)密碼將無(wú)密可保。[16]這樣看來(lái),在功能如此強(qiáng)大量子計(jì)算機(jī)面前,唯一對(duì)手就是同樣基于量子力學(xué)原理的量子密碼了。endprint
作為21世紀(jì)最重大的理論突破,量子力學(xué)的發(fā)展在很大程度上推動(dòng)了近代科技的進(jìn)步,而科技的進(jìn)步必將推動(dòng)軍事的變革,量子力學(xué)也必將引領(lǐng)未來(lái)軍事裝備的發(fā)展。相信在不遠(yuǎn)的將來(lái),建立在量子力學(xué)基礎(chǔ)上的量子通訊、量子雷達(dá)、量子武器和量子計(jì)算機(jī)將投入實(shí)際的軍事斗爭(zhēng)之中,并且最終成為改變整個(gè)世界軍事格局的革命性力量。
參考文獻(xiàn):
[1]朱岳超,田永泰.量子密碼技術(shù)及其軍事應(yīng)?[J].信息安全與通信保密, 2004(5).
[2]劉詩(shī)瑤.揭秘全球首顆量子衛(wèi)星[J].中國(guó)經(jīng)濟(jì)周刊,2016(8).
[3]王立新,俞永超,王薇.量子密碼—數(shù)字化戰(zhàn)場(chǎng)信息防御的“金鎖”[J].理論探討,2008(2).
[4]吳晶晶、楊維漢、徐海濤.“墨子號(hào)”開啟星際首航—全球首顆量子衛(wèi)星揭秘[J].中國(guó)產(chǎn)經(jīng),2016(8).
[5]潘建偉,姜俊芳.世界首顆量子衛(wèi)星—開啟量子通訊新時(shí)代[J].科普中國(guó),2016(8).
[6]譚宏,戴志平.量子雷達(dá)的關(guān)鍵技術(shù)研究[J]華中師范大學(xué)學(xué)報(bào),2012(6).
[7]LANZAGORTA M. Quantum Radar [J].Synthesis Lectures on Quantum Computing, 2012, 3(1); 1-139.
[8]韓國(guó)強(qiáng),葉瑞芳,劉麗,等.對(duì)新型ISAR欺騙干擾效果仿真分析[J].雷達(dá)科學(xué)與技術(shù),2014,12(5);532-538.
[9]周城宏,錢衛(wèi)平.雷達(dá)技術(shù)發(fā)展與展望[J].雷達(dá)科學(xué)與技術(shù),2015(5).
[10]羅上庚.反物質(zhì)武器:第四代核武器?[J].現(xiàn)代軍事,2006(9).
[11]李正群,候本春.反粒子·反物質(zhì)·反物質(zhì)武器[J].現(xiàn)代物理知識(shí),2006(3).
[12]孫立華.威力超群的量子武器[J].百科知識(shí),2016(8).
[13]劉戟鋒,趙陽(yáng)輝,曾華鋒.自然科學(xué)與軍事技術(shù)史.第1版[M].長(zhǎng)沙:湖南科學(xué)技術(shù)出版社,2007.
[14] Turing A M.On computable numbers, with an application to the Entscheidungs problems[C].Proc Lond Math Soc2, 1936, 42:230-265
[15]吳楠,宋方敏.量子計(jì)算與量子計(jì)算機(jī)[J].計(jì)算機(jī)科學(xué)與探索,2007,1(1).
[16]張鎮(zhèn)九,張昭理.量子計(jì)算機(jī)進(jìn)展[J].計(jì)算機(jī)工程,2004(4).
[17]Feynman. Simulation physical with computer [J].International J Theor Phys, 1982, 21:467-488.endprint