機(jī)械能守恒定律相關(guān)問(wèn)題的思考

摘要：作為三大守恒定律之一的機(jī)械能守恒定律，本文將運(yùn)用數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)出其守恒的條件即外非保守力與內(nèi)非保守力均不做功；其次本文應(yīng)用經(jīng)改進(jìn)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律；最后本文對(duì)在應(yīng)用機(jī)械能守恒時(shí)普遍存在的幾個(gè)關(guān)鍵疑惑予以闡述，整理出應(yīng)用機(jī)械能守恒定律時(shí)所需要的方法與技巧。

關(guān)鍵詞：機(jī)械能守恒定律；保守力；非保守力

機(jī)械能守恒定律是動(dòng)力學(xué)中的基本定律，即任何物體系統(tǒng)如無(wú)外力做功或外力做功之和為零，系統(tǒng)內(nèi)又只有保守力做功時(shí)，則系統(tǒng)的機(jī)械能保持不變。作為力學(xué)基本定律之一，在很多文獻(xiàn)中對(duì)于機(jī)械能守恒定律各個(gè)環(huán)節(jié)都有描述，但通過(guò)查閱文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)目前未有一篇文獻(xiàn)全方面闡述機(jī)械能守恒定律的推導(dǎo)、驗(yàn)證、應(yīng)用等問(wèn)題。作為理工科類學(xué)生我們必須全面認(rèn)識(shí)機(jī)械能守恒定律。為此本文將全面、科學(xué)地討論這一經(jīng)典定律有關(guān)問(wèn)題，首先將應(yīng)用具體的數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)出機(jī)械能守恒定律及其條件，然后通過(guò)改進(jìn)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證這一定律，最后再將機(jī)械能守恒與實(shí)際問(wèn)題相聯(lián)系進(jìn)而得出應(yīng)用機(jī)械能守恒時(shí)所需的方法和技巧。以期通過(guò)以上工作加深理科類學(xué)生對(duì)機(jī)械能守恒定律有關(guān)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)。

一、 機(jī)械能守恒的數(shù)學(xué)推導(dǎo)

外力做功=外保守力做的功+外非保守力做的功

∑A外=∑A外保+∑A外非（1.1）

內(nèi)力做功=內(nèi)保守力作的功+內(nèi)非保守力做的功

∑A內(nèi)=∑A內(nèi)保+∑A內(nèi)非（1.2）

力所做的功=外力做的功+內(nèi)力做的功

∑A=∑A外+∑A內(nèi)（1.3）

將公式（1.1）（1.2）帶入公式（1.3）得：

∑A=∑A外保+∑A外非+∑A內(nèi)保+∑A內(nèi)非 （1.4）

勢(shì)能的改變量=末勢(shì)能-初勢(shì)能

ΔEP=EP-EP0（1.5）

又∵勢(shì)能的改變量=保守力做功的負(fù)值

ΔEP=-A保（1.6）

由公式（1.1）（1.2）（1.3）（1.4）（1.5）（1.6）可得：

∑A外非+∑A內(nèi)非=∑（E內(nèi)P+E外P+EK）-∑（E內(nèi)P0+E外P0+EK0）=∑（EP+EK）-∑（EP0+EK0）（1.7）

因此：當(dāng)∑A外非=0且∑A內(nèi)非=0時(shí)

∑（EP+EK）-∑（EP0+EK0）=0（1.8）

由此得證：當(dāng)外非保守力與內(nèi)非保守力均不做功時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能守恒。

二、 機(jī)械能守恒定律的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

在各大版本的教材中驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律大多利用打點(diǎn)計(jì)時(shí)器作為計(jì)時(shí)工具，且在忽略空氣阻力與打點(diǎn)計(jì)時(shí)器紙帶所受阻力，利用物體自由下落重力勢(shì)能與動(dòng)能的變化來(lái)驗(yàn)證系統(tǒng)總能量是否保持總量不變。

對(duì)于此種實(shí)驗(yàn)方法其自身設(shè)計(jì)上存在諸多不完善。比如由于對(duì)紙帶進(jìn)行長(zhǎng)度測(cè)量與計(jì)算由于讀數(shù)不準(zhǔn)確而產(chǎn)生誤差，紙帶下落時(shí)要受到阻力較大不能完全忽略。重物要克服阻力做功，所以動(dòng)能EK的增加量略小于重力勢(shì)能EP的減少量。更有甚者出現(xiàn)動(dòng)能EK的增加量比重力勢(shì)能EP的減少量還大這種錯(cuò)誤。

為了進(jìn)一步提高實(shí)驗(yàn)的精度，故設(shè)計(jì)了如下改進(jìn)實(shí)驗(yàn)。在此實(shí)驗(yàn)中將使用光束極細(xì)的光電門作為計(jì)時(shí)工具以提高實(shí)驗(yàn)的精度。

在此實(shí)驗(yàn)中為了進(jìn)一步減少金屬球在下落過(guò)程中受到的空氣阻力，故選用的金屬小球半徑極小，以便忽略其所受到的空氣阻力。當(dāng)小球自由下落并通過(guò)光電門時(shí)，由于小球的直徑極小，那么光電計(jì)時(shí)器所記錄的遮光時(shí)間t與小球直徑d倒數(shù)的比值即可近似等于小球通過(guò)光門的瞬時(shí)速度。隨即就可以通過(guò)比較物體動(dòng)能的增量是否等于物體重力勢(shì)能的減少量，由此便可以檢驗(yàn)系統(tǒng)機(jī)械能的總量是否保持不變。實(shí)驗(yàn)簡(jiǎn)圖如圖2.1所示，實(shí)驗(yàn)過(guò)程如下。

首先，將光電門固定在鐵架臺(tái)上然后再接入數(shù)字計(jì)時(shí)器，然后打開(kāi)計(jì)時(shí)器并且將擋位選擇為S1。用細(xì)線將小鋼球系于光電門上方某處并調(diào)節(jié)其所在位置，使之能夠在自由下落的情況下順利通過(guò)光電門。

其次，測(cè)量光電門與小球之間的距離記為h。將數(shù)字計(jì)時(shí)器調(diào)整到初始位置，剪斷細(xì)線使小球自由下落，記錄小球通過(guò)光電門所用時(shí)間并記之為t。用螺旋測(cè)微儀測(cè)量小球的直徑記之為d，此長(zhǎng)度即為小球在通過(guò)光電門這一時(shí)間段所內(nèi)產(chǎn)生的位移。所以小球通過(guò)光電門的瞬時(shí)速度v近似等于小球直徑d與遮光時(shí)間t的比值。將所得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄于表一的中。

最后驗(yàn)證動(dòng)能EK的增加量與重力勢(shì)能EP的減少量在誤差允許范圍內(nèi)是否相等。

三、 機(jī)械能守恒的應(yīng)用

內(nèi)力、外力做功與否是判定系統(tǒng)機(jī)械能守恒與否的重要依據(jù)，在多數(shù)情況下可以通過(guò)直接判定系統(tǒng)各力做功的情況，既能在合理應(yīng)用機(jī)械能守恒定律的基礎(chǔ)上列方程解答有關(guān)問(wèn)題，但是如果內(nèi)力是變力時(shí)，此方法卻有先天不足。通過(guò)下面實(shí)例我們將對(duì)此種問(wèn)題做出合理的處理。

【例1】如圖3.1所示，現(xiàn)有兩物體A、B其質(zhì)量均為m。初始時(shí)刻物體A靜止套在光滑的水平桿上，此刻水平桿到定滑輪上邊緣的長(zhǎng)度為a，通過(guò)定滑輪與A相連的繩長(zhǎng)為b，與水平桿夾角為α，將物體B由靜止釋放，求物體A能達(dá)到的最大速度？

解析：首先判斷此系統(tǒng)機(jī)械能是否守，由于在此系統(tǒng)中繩的拉力做功所以此系統(tǒng)機(jī)械能不守恒。對(duì)于A物體，其受重力、支持力、拉力的共同作用，且拉力的大小與方向都是時(shí)刻變化，因此只有當(dāng)拉力的方向與支持面垂直時(shí)A物體的速度達(dá)到最大。對(duì)于B物體，其受重力與拉力，但是由于拉力是變力，所以B物體做豎直向下的變加速運(yùn)動(dòng)。

對(duì)A進(jìn)行受力分析如圖3.2所示：

由于只有TA對(duì)物體A做功，所以TA剛到豎直方向時(shí)A速度最大

WTA=12mv2max-12mv20（3.1.1）

對(duì)B進(jìn)行受力分析如圖3.3所示

B在下落過(guò)程中只受重力GB與拉力TB的共同作用

WGB+WTB=12mv2B-12mv20（3.1.2）endprint

WGB=mgh（3.1.3）

對(duì)于方程（3.1.1）（3.1.2）TATB均為變力，因此WTA與WTB為變功，為了計(jì)算變量WTA與WTB需使用極限法

即假設(shè)A，B發(fā)生的位移均極小

對(duì)于A：當(dāng)其水平向右移動(dòng)s→0時(shí)

WTA=TA·s·cosα（3.1.4）

∵s→0

∴s=hcosα（3.1.5）

將（3.1.5）帶入（3.1.4）得

WTA=TA·h（3.1.6）

對(duì)于B：當(dāng)其豎直下落距離h→0時(shí)

WTB=-TBh（選取初始位置為零勢(shì)能面）（3.1.7）

∵s→0h→0

∴TA=TB（3.1.8）

由公式（3.1.6）（3.1.7）（3.1.8）可得

WTA+WTB=0（3.1.9）

公式（3.1.1）+（3.1.2）得

WTA+WGB+WTB=12mv2max-12mv20+12mv2B-12mv20=12mv2max+12mv2B（v0=0m/s）（3.1.10）

由公式（3.1.9）與（3.1.10）可得

WGB=12mv2max+12mv2B（3.1.11）

將公式（3.1.3）帶入（3.1.11）得

mgh=12mv2max+12mv2B（3.1.12）

由（3.1.12）可得此系統(tǒng)機(jī)械能守恒。

由題意可知，在此系統(tǒng)中當(dāng)vB=0m/s時(shí)vmax取極大值

綜上：vmax=1m/s

通過(guò)以上實(shí)例，可知當(dāng)系統(tǒng)中某一內(nèi)力為變力時(shí)，我們就不能簡(jiǎn)單的判定系統(tǒng)內(nèi)力做功之和是否等于零。此時(shí)怎么處理此種情況？通過(guò)分析例1可知在此系統(tǒng)中能量只在動(dòng)能與勢(shì)能之間發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，而在其他形式的能量之間卻沒(méi)有發(fā)生相互轉(zhuǎn)化。當(dāng)系統(tǒng)中能量只在動(dòng)能與勢(shì)能之間發(fā)生相互轉(zhuǎn)化時(shí)，我們即可判定此時(shí)系統(tǒng)機(jī)械能守恒。因此我們可以另辟蹊徑將判定內(nèi)力是否做功轉(zhuǎn)化為探究能量是否在某些形式之間發(fā)生相互轉(zhuǎn)移。此即為解決當(dāng)內(nèi)力為變力時(shí)的解題方法。

【例2】一光滑曲面與放置在水平面的傳送帶平滑連接，如圖3.4。一質(zhì)量為m=0.1kg的滑塊由靜止從距傳送帶h=0.2m高處?kù)o止滑下。已知傳送帶水平切面長(zhǎng)為l=1.8m，傳送帶與滑塊之間動(dòng)摩擦因素為μ=0.1，試求：（g=10m/s2）

（1）若傳送帶始終保持靜止，則滑塊能否滑離傳送帶，產(chǎn)生多少熱量？

（2）若傳送帶以1m/s的速度做逆時(shí)針?lè)较蛏系膭蛩龠\(yùn)動(dòng)，則此時(shí)滑塊能否滑離傳送帶，在此過(guò)程中產(chǎn)生多少熱量？

（3）若傳送帶以1m/s的速度做順時(shí)針?lè)较蛏系膭蛩龠\(yùn)動(dòng)，則滑塊需要多長(zhǎng)時(shí)間才能滑離傳送帶，在此過(guò)程中產(chǎn)生多少熱量？

解析：在此過(guò)程中，需對(duì)全過(guò)程進(jìn)行能量分析，涉及功能關(guān)系和能量守恒定律。對(duì)于第一問(wèn)，當(dāng)小滑塊剛滑離傳送帶且速度恰好為零時(shí)即為臨界條件。對(duì)于第二問(wèn)，則需判斷物體是否在全過(guò)程受到滑動(dòng)摩擦力，而且還需要分析小滑塊在下落過(guò)程中是否能量守恒。對(duì)于第三問(wèn)，當(dāng)傳送帶順時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí)需要判斷小滑塊運(yùn)動(dòng)的時(shí)間及靜止后其與傳送帶一同運(yùn)動(dòng)的距離。

（1）當(dāng)傳送帶始終靜止時(shí)：

假設(shè)傳送帶足夠長(zhǎng)。則可對(duì)小滑塊運(yùn)動(dòng)全過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理

mgh-μmgl0=12mv′20-12mv20（3.2.1）

對(duì)于（3.2.1）中v0與v′0由于小滑塊是由靜止到靜止

即：v0=0m/sv′0=0m/s（3.2.2）

由（3.2.2）帶入（3.2.1）可得傳送帶的最短長(zhǎng)度為

l′=hμ（3.2.3）

將數(shù)據(jù)帶入（3.2.3）可得到

l′=2.0m

產(chǎn)生的熱量

Q1=μmgl0=0.182J

（2）當(dāng)傳送帶逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)：

∵l

∴小滑塊始終受到摩擦力的作用，且能滑離傳送帶

對(duì)于小滑塊下落這一過(guò)程，機(jī)械能守恒

mgh+12mv21-12mv20=0（3.2.4）

由（3.2.2）（3.2.4）可得小滑塊離開(kāi)曲面時(shí)的速度

v1=2m/s（3.2.5）

小滑塊在傳送帶運(yùn)動(dòng)過(guò)程中由牛頓第二定律F=ma可得

μmg=ma（3.2.6）

由（3.2.6）可知小滑塊在傳送帶上做勻變速運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)

l=v1t-12at2（3.2.7）

由（3.2.5）（3.2.6）（3.2.7）得小滑塊在傳送帶上運(yùn)動(dòng)時(shí)間

t=10-105（3.2.8）

在滑塊滑動(dòng)過(guò)程中傳送帶某一點(diǎn)移動(dòng)的路程為

l″=v2·t其中v2=1m/s（3.2.9）

由（3.2.8）（3.2.9）可得

l″=1.37m（3.2.10）

由在此過(guò)程中產(chǎn)生熱量為

Q2=μmg（l+l″）（3.2.11）

由（3.2.10）（3.2.11）可得

Q2=0.32J

（3）當(dāng)傳送帶順時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí)：

當(dāng)小滑塊靜止時(shí)v3=v1-at′其中v3=1m/s（3.2.12）

由（3.2.5）（3.2.6）（3.2.12）可得

t′=1s（3.2.13）

小滑塊相對(duì)滑動(dòng)的距離

l=v3+v12·t′（3.2.14）

由（3.2.5）（3.2.13）（3.2.14）可得

l=1.5m（3.2.15）

小滑塊與傳送帶相對(duì)靜止后

運(yùn)動(dòng)位移l″″=l-l=0.3m

運(yùn)動(dòng)時(shí)間t″=l″″v3=0.3m/s（3.2.16）

由（3.2.13）（3.2.16）可知小滑塊滑離傳送帶所用時(shí)間

T=t′+t″=1.3s

由（3.2.13）（3.2.15）可知在小滑塊滑離過(guò)程中產(chǎn)生的熱量為

Q3=μmg（l″-v3t′）=0.05J

通過(guò)上述例題我們可以得出：滑動(dòng)摩擦力在其做功過(guò)程中伴隨著能量的轉(zhuǎn)移與轉(zhuǎn)化，可能是部分機(jī)械能由一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到系統(tǒng)中另一個(gè)物體，也有可能有機(jī)械能的損失，例如部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。

四、 總結(jié)

通過(guò)以上三部分的討論，我們對(duì)于機(jī)械能守恒的數(shù)學(xué)推導(dǎo)、實(shí)驗(yàn)證明和應(yīng)用有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。為了更好地解答中學(xué)生在應(yīng)用機(jī)械能守恒時(shí)普遍存在的問(wèn)題，現(xiàn)將機(jī)械能守恒的判定方法介紹如下。

首先，判定系統(tǒng)內(nèi)部除重力與彈力外，其他形式的力是否做功；若其他形式力不做功，則此系統(tǒng)機(jī)械能守恒，若其他形式的力做功，則此系統(tǒng)機(jī)械能不守恒。

其次，應(yīng)用能量轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析，如果系統(tǒng)內(nèi)的能量只在重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能與動(dòng)能之間做相互轉(zhuǎn)化，而沒(méi)有與其他形式的能量發(fā)生此種能量的相互的轉(zhuǎn)化，并且系統(tǒng)也沒(méi)有與外界發(fā)生任何形式的機(jī)械能的導(dǎo)入與傳出過(guò)程，則我們也可以認(rèn)定系統(tǒng)機(jī)械能守恒。

最后，直接判斷各種形式的能在機(jī)械運(yùn)動(dòng)前后總量的增減情況；若系統(tǒng)的動(dòng)能與勢(shì)能在機(jī)械運(yùn)動(dòng)前后總量均發(fā)生了變化，則系統(tǒng)機(jī)械能不守恒，若系統(tǒng)內(nèi)各物體在機(jī)械運(yùn)動(dòng)前后機(jī)械能的總量均發(fā)生了變化，則系統(tǒng)機(jī)械能不守恒。

作為力學(xué)中一個(gè)重要定律，機(jī)械能守恒定律有著舉足輕重的地位。我們有理由相信機(jī)械能守恒定律是能量守恒定律的特殊情況，機(jī)械能守恒定律是關(guān)于能量的轉(zhuǎn)移與轉(zhuǎn)化的定律。在中學(xué)階段我們可以認(rèn)為當(dāng)能量只在動(dòng)能、彈性及重力勢(shì)能之間相互轉(zhuǎn)化時(shí)機(jī)械能才守恒。合理運(yùn)用機(jī)械能守恒定律能夠?yàn)槲覀冊(cè)谌粘＝鉀Q有關(guān)問(wèn)題提供極大的方便，它可以將一些在牛頓力學(xué)看起來(lái)較為復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，而且應(yīng)用機(jī)械能守恒定律解決力學(xué)問(wèn)題可以有效避免應(yīng)用牛頓定律時(shí)可能出現(xiàn)的不可預(yù)期的困難，是解決力學(xué)問(wèn)題不可或缺的一種簡(jiǎn)便方法。

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作者簡(jiǎn)介：

廖二寧，四川省閬中市，四川省閬中中學(xué)校。endprint