線性卷積與循環(huán)卷積等價關(guān)系及水聲通信應用

戚晨皓， 王 昕， 張在琛

(東南大學 信息科學與工程學院, 江蘇 南京 210096)

0 引言

在“數(shù)字信號處理”課程教學中，卷積運算占據(jù)重要地位。其中，線性卷積與循環(huán)卷積之間的關(guān)系是學習過程中的難點之一。循環(huán)卷積和周期卷積的過程是一致的，不同的是循環(huán)卷積僅取周期卷積的主值序列。而周期卷積又是線性卷積的周期延拓，因此，可通過周期卷積在循環(huán)卷積和線性卷積之間建立聯(lián)系[1，2]。

在計算周期卷積時，需要對兩個有限長序列的線性卷積的結(jié)果按照卷積周期進行延拓，當周期長度小于線性卷積結(jié)果的長度時，會發(fā)生混疊現(xiàn)象[3]。在計算循環(huán)卷積時，通常利用線性卷積的周期延拓先計算周期卷積，再對周期卷積取主值區(qū)間得到循環(huán)卷積；該過程等價于將線性卷積結(jié)果的尾部加到頭部并將尾部刪除，其中相加的位數(shù)等于發(fā)生混疊的位數(shù)，這樣可直接得到循環(huán)卷積的結(jié)果。

通常，“數(shù)字信號處理”課程只介紹線性卷積與循環(huán)卷積的等價關(guān)系，沒有介紹其具體應用。由于線性卷積與循環(huán)卷積的等價關(guān)系具有一定難度，為了激發(fā)學生的興趣、加深學生對這一關(guān)系的認識，結(jié)合具體應用加以講授，這不失為一種可行的教改探索。

本文介紹了線性卷積與循環(huán)卷積的等價關(guān)系在水聲通信這一海洋信號處理領(lǐng)域的研究熱點中的應用。由于水聲信道時延很大，采用循環(huán)前綴填充保護間隔的正交頻分復用OFDM(Orthogonal Frequency Division Multiplexing)技術(shù)會占用很大的發(fā)射功率，因此，在水聲通信中常用補零ZP(Zero Padding)填充OFDM的保護間隔；相應的，在接收端需采用首尾混疊相加法消除符號間干擾ISI(Inter-symbol Interference)。

本文首先簡單回顧了“數(shù)字信號處理”課程中循環(huán)卷積、周期卷積與線性卷積之間的等價關(guān)系，隨后介紹了水聲通信中的ZP-OFDM系統(tǒng)。為消除ISI，給出了保護間隔長度所需滿足的條件以及在保護間隔內(nèi)補零后接收端實施首尾混疊相加法的步驟。最后通過Matlab實例，演示了首尾混疊相加法消除ISI的過程。

1 循環(huán)與線性卷積之間的等價關(guān)系

有限長序列x(n)與y(n)的長度分別為N1、N2，取L≤max{N1,N2},將x(n)與y(n)分別補零到L長度，記作xL(n)和yL(n)，再以L為周期構(gòu)造兩個周期序列為

(1)

(2)

則周期卷積為

(3)

式中，f(n)就是xL(n)和yL(n)的線性卷積，長度為N1+N2-1?？梢钥吹剑斁矸e周期L

需要注意的是，本文的首尾混疊相加法與“數(shù)字信號處理”課程介紹的重疊相加法不同，重疊相加法涉及到兩個不同的分段之間的線性卷積輸出的重疊相加，而本文的首尾混疊相加法僅僅是在同一個分段內(nèi)部將尾部重疊相加到頭部，并且把尾部刪除。

2 水聲通信中的ZP-OFDM系統(tǒng)

水聲信道中，發(fā)送信號經(jīng)過水面、水底的多次反射和散射到達接收端，密集的多徑效應造成嚴重的頻率選擇性衰落，導致信道具有很強的頻率選擇性[5]。另一方面，水聲信道時變性強，不同水域、不同溫度、不同鹽度都會導致水聲信道傳輸特性不同，遠不如無線信道穩(wěn)定。水聲信道具有頻率和時間雙重選擇性，給高速可靠的水聲通信帶來巨大挑戰(zhàn)。

由于聲信號在水中的傳播速度遠小于無線電波在空氣中的傳播速度，水聲通信收發(fā)機較小的相對運動即會產(chǎn)生顯著的多普勒頻偏。

現(xiàn)有的單載波水聲通信系統(tǒng)通常在接收端使用自適應判決反饋均衡器消除水聲信道引起的ISI，由于水聲信道時延擴展很大，均衡器長度很長，有時甚至高達上百上千個抽頭，復雜度很高。而OFDM多載波傳輸系統(tǒng)，可將頻率選擇性信道有效轉(zhuǎn)換成若干并行的頻率平坦子信道，大大降低了接收端均衡器的復雜度，因此，將OFDM技術(shù)應用到水聲通信中是目前水聲領(lǐng)域的研究熱點之一。

考慮到水聲信道時延擴展很大，而OFDM保護間隔長度要不小于信道時延擴展，采用循環(huán)前綴填充保護間隔的OFDM系統(tǒng)在循環(huán)前綴部分會占用很大的發(fā)射功率，因此，在水聲通信中常用補零填充OFDM的保護間隔，形成ZP-OFDM系統(tǒng)。該系統(tǒng)框圖如圖1所示，發(fā)送端主要包括串并變換、IFFT、并串變換、尾部插入保護間隔、上變頻等部分；接收端主要包括下變頻、首尾混疊相加法、尾部去除保護間隔、串并轉(zhuǎn)換、FFT、并串轉(zhuǎn)換等部分。

圖1 ZP-OFDM系統(tǒng)框圖

3 首尾混疊相加法在ZP-OFDM中的應用

在OFDM系統(tǒng)中，為消除ISI，通常需要在每個OFDM符號間插入一定長度的保護間隔。假設(shè)每個OFDM符號由Nu個數(shù)據(jù)部分和NG個保護間隔部分組成，滿足

NG≥L-1

(4)

由于聲信號在海水中的傳播速度約為1500米/秒，遠小于無線電波在空氣的傳播速度3×108米/秒，在相同傳輸距離下，水聲信道中的時延要比無線信道中的時延大得多。如果采用傳統(tǒng)的循環(huán)前綴填充保護間隔的方法，會占用很大的發(fā)射功率，所以在水聲通信中，保護間隔通常使用零填充，即ZP-OFDM。此外，填充零元素具有更強的魯棒性。

OFDM發(fā)送端首先通過串并轉(zhuǎn)換將輸入連續(xù)的數(shù)據(jù)流轉(zhuǎn)換為若干個并行的長度為Nu的數(shù)據(jù)向量；其次，每個數(shù)據(jù)向量通過IFFT得到每個OFDM符號的數(shù)據(jù)部分，通過并串轉(zhuǎn)換以后得到su，在su尾部增加長度為NG(NG≥L-1)的全零序列szp，之后將完整的OFDM符號s=[su,szp]發(fā)送進入沖激響應為h為水聲信道，信道長度為L。發(fā)送信號與接收信號之間的關(guān)系表示為

r=s*h+n

(5)

其中，n是加性噪聲向量。

接收端采用首尾混疊相加進行OFDM信號解調(diào)。首尾混疊相加的本質(zhì)是用線性卷積來計算循環(huán)卷積。

首尾混疊相加法的具體步驟如下：

首先保留接收信號r的前Nu個OFDM樣點，其次將尾部的NG個OFDM樣點對應加到頭部的NG個OFDM樣點上，最終得到所需的ru，即

ru= [r(0)+r(Nu),r(1)+r(Nu+1)],

…，r(NG-1)+r(Nu+NG-1),

r(NG),r(NG+1),…,r(Nu-1)]

(6)

該過程如圖2所示。得到所需的ru后，再依次進行串并轉(zhuǎn)換、FFT、并串轉(zhuǎn)換以后，提取出發(fā)送數(shù)據(jù)。不難發(fā)現(xiàn)，ru是su與h的Nu點循環(huán)卷積與信道加性噪聲之和，即

ru=suh+η

(7)

圖2 首尾混疊相加法示意圖

其中，η為長庋Nu的加性噪聲。進而具有如下關(guān)系

DFT{ru}=DFT{su}·DFT{h}+DFT{η}

(8)

(9)

4 Matlab實例

假設(shè)水聲信道沖激響應序列為h，即水聲信道長度L=3;設(shè)OFDM符號的數(shù)據(jù)部分su=[1,2,3,4,5,6]，長度Nu=6。根據(jù)式(4)可計算得到ZP的長度NG≥2。本例不妨取NG=2，尾部補零以后構(gòu)成完整的ZP-OFDM符號s=[1,2,3,4,5,6,0,0]。發(fā)送信號通過水聲信道的過程可使用Matlab庫函數(shù)filter實現(xiàn)；信道噪聲可通過庫函數(shù)awgn實現(xiàn)。由于本例重點關(guān)注首尾混疊相加法，此處忽略信道噪聲。因此，r=filter{h,1,s}={3,8,14,20,26,32,17,6}

filter函數(shù)本質(zhì)上實現(xiàn)了線性卷積，在su尾部補2個零的作用是使filter輸出等價于su與h的線性卷積輸出。根據(jù)式(6)得到ru=[20,14,14,20,26,32]。其實，ru為發(fā)送的OFDM符號數(shù)據(jù)部分su與h的Nu點循環(huán)卷積，即ru=IDFT{DFT{su}DFT{h}}，計算可得ru[20,14,20,26,32]。

當ZP長度不滿足式(4)時，例如NG=1時，s=[1,2,3,4,5,6,0]，r=[3,8,14,20,26,32,17]，ru=[20,8,14,20,26,32]。但是su和h的Nu點循環(huán)卷積的結(jié)果[20,8,14,20,26,32]和ru不同，說明發(fā)生了ISI。由此也驗證了式(4)。

5 結(jié)語

“數(shù)字信號處理”課程通常只介紹線性卷積與循環(huán)卷積的等價關(guān)系的理論部分，并未涉及它的實際應用，由于比較抽象，學生掌握時具有一定難度。本文通過結(jié)合水聲通信中的ZP-OFDM系統(tǒng)介紹線性卷積與循環(huán)卷積的等價關(guān)系，理論聯(lián)合實際，不但可以進一步加深學生對兩種卷積關(guān)系等基礎(chǔ)知識與重要概念的理解，還可以拓展學生的專業(yè)知識面，在實際教學中已獲得較好反響。

[1] 吳鎮(zhèn)揚. 數(shù)字信號處理[M]. 第3版，北京：高等教育出版社，2016.

[2] 王大倫.數(shù)字信號處理[M]. 第1版，北京：清華大學出版社，2014.

[3] 胡廣書.數(shù)字信號處理導論[M]. 第2版，北京：清華大學出版社，2013.

[4] 程佩青. 數(shù)字信號處理教程[M]. 第4版，北京：清華大學出版社，2013.

[5] C. Qi, L. Wu and X. Wang. Underwater Acoustic Channel Estimation via Complex Homotopy [C], in Proc. IEEE International Conference on Communications (ICC), pp. 3821-3825, Ottawa, June 2012.